Страница 11 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Элементы комбинаторики и бином Ньютона

1. Сколько существует чётных пятизначных чисел, в записи которых каждая из цифр 1, 3, 6, 7, 9 используется по одному разу?

2. В легкоатлетической секции занимаются 11 десятиклассников и 5 девятиклассников. Сколько существует способов сформировать команду для участия в эстафете, состоящей из шести этапов, если на первом и последнем этапе должны участвовать девятиклассники?

3. В первые три вагона поезда надо рассадить 30 пассажиров по 10 в каждый вагон. Сколько существует способов это сделать?

4. Найдите сумму чисел, стоящих на чётных местах в 21-й строке треугольника Паскаля.

1.

Пятизначное число является чётным, если его последняя цифра — чётная. Из предложенного набора цифр {1, 3, 6, 7, 9} только одна цифра является чётной — это 6. Следовательно, чтобы число было чётным, оно должно оканчиваться на 6.

У нас есть 5 позиций для цифр. Последняя позиция зафиксирована:

_ _ _ _ 6

Остальные четыре цифры {1, 3, 7, 9} должны занять первые четыре позиции, причём каждая используется один раз. Количество способов расставить 4 различных элемента по 4 местам равно числу перестановок из 4 элементов, которое вычисляется по формуле $P_4 = 4!$.

$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.

Таким образом, существует 24 способа составить такое число.

Ответ: 24

2.

Команда для эстафеты состоит из 6 человек, и порядок их выступления на этапах важен. Всего в секции $11 + 5 = 16$ спортсменов.

1. На первый и последний (шестой) этапы нужно поставить девятиклассников. Всего девятиклассников 5. Выбор двух человек на две конкретные позиции из пяти является размещением. Число способов выбрать и расставить двух девятиклассников на 1-й и 6-й этапы равно $A_5^2$.

$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20$ способов.

2. После того как два девятиклассника заняли свои места, осталось $16 - 2 = 14$ спортсменов (3 девятиклассника и 11 десятиклассников). Также осталось $6 - 2 = 4$ свободных этапа (со 2-го по 5-й). Нужно выбрать 4 человека из 14 и расставить их по этим этапам. Число способов для этого также является размещением, $A_{14}^4$.

$A_{14}^4 = \frac{14!}{(14-4)!} = \frac{14!}{10!} = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 = 24024$ способа.

3. Согласно комбинаторному правилу умножения, общее число способов сформировать команду равно произведению числа способов для каждого независимого шага.

Общее число способов = $A_5^2 \cdot A_{14}^4 = 20 \cdot 24024 = 480480$.

Ответ: 480480

3.

Задача заключается в том, чтобы разделить 30 различных пассажиров на 3 упорядоченные группы (поскольку вагоны различны) размером по 10 человек.

1. Сначала выберем 10 пассажиров для первого вагона из 30. Так как порядок выбора пассажиров не важен, используем сочетания. Число способов это сделать: $C_{30}^{10}$.

2. Затем из оставшихся $30 - 10 = 20$ пассажиров выберем 10 для второго вагона. Число способов: $C_{20}^{10}$.

3. Оставшиеся 10 пассажиров отправятся в третий вагон. Есть только один способ выбрать 10 из 10: $C_{10}^{10} = 1$.

По правилу умножения, общее число способов рассадки равно произведению числа способов на каждом шаге:

$N = C_{30}^{10} \cdot C_{20}^{10} \cdot C_{10}^{10} = \frac{30!}{10!(30-10)!} \cdot \frac{20!}{10!(20-10)!} \cdot \frac{10!}{10!(10-10)!}$

Упростим выражение:

$N = \frac{30!}{10! \cdot 20!} \cdot \frac{20!}{10! \cdot 10!} \cdot \frac{10!}{10! \cdot 0!} = \frac{30!}{10! \cdot 10! \cdot 10!}$ (так как $0!=1$).

Ответ: $\frac{30!}{(10!)^3}$

4.

В общепринятой нумерации строк треугольника Паскаля (начиная с первой), $k$-я строка содержит биномиальные коэффициенты для разложения $(a+b)^{k-1}$. Следовательно, 21-я строка соответствует степени $n = 21 - 1 = 20$.

Элементы 21-й строки (для $n=20$) имеют вид: $C_{20}^0, C_{20}^1, C_{20}^2, \dots, C_{20}^{20}$.

Места (позиции) в строке нумеруются с 1. Первое место занимает $C_{20}^0$, второе — $C_{20}^1$, третье — $C_{20}^2$ и так далее. Нам нужно найти сумму чисел, стоящих на чётных местах (2-м, 4-м, ..., 20-м).

Искомая сумма S равна: $S = C_{20}^1 + C_{20}^3 + C_{20}^5 + \dots + C_{20}^{19}$.

Для нахождения этой суммы воспользуемся свойствами биномиальных коэффициентов, которые следуют из формулы бинома Ньютона для $(1+x)^{20}$ при $x=1$ и $x=-1$:

1. Сумма всех коэффициентов в строке: $(1+1)^{20} = C_{20}^0 + C_{20}^1 + C_{20}^2 + \dots + C_{20}^{20} = 2^{20}$.

2. Знакопеременная сумма коэффициентов: $(1-1)^{20} = C_{20}^0 - C_{20}^1 + C_{20}^2 - \dots + C_{20}^{20} = 0$.

Из второго равенства следует, что сумма коэффициентов с чётными нижними индексами (стоящих на нечётных местах) равна сумме коэффициентов с нечётными нижними индексами (стоящих на чётных местах):

$(C_{20}^0 + C_{20}^2 + \dots + C_{20}^{20}) = (C_{20}^1 + C_{20}^3 + \dots + C_{20}^{19}) = S$.

Подставим это соотношение в первое равенство:

$(C_{20}^0 + C_{20}^2 + \dots + C_{20}^{20}) + (C_{20}^1 + C_{20}^3 + \dots + C_{20}^{19}) = S + S = 2S = 2^{20}$.

Отсюда находим S:

$S = \frac{2^{20}}{2} = 2^{19}$.

Вычислим значение: $2^{19} = 2^{10} \cdot 2^9 = 1024 \cdot 512 = 524288$.

Ответ: 524288

Самостоятельная работа № 18

Аксиомы теории вероятностей

1. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,04, в девятку — 0,1, в восьмёрку — 0,2. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберёт:

1) не меньше 9 очков;

2) не меньше 8 очков;

3) меньше 8 очков?

2. В двух колодах лежат по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. Событие $A$ состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках чётная; событие $B$ — в том, что по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 1.

Найдите вероятность события:

1) $A$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

3. В школе работают две спортивные секции — волейбольная и баскетбольная. Вероятность встретить среди учащихся школы волейболиста равна 12%, баскетболиста — 17%, а ученика, посещающего обе секции, — 7%. Какова вероятность того, что выбранный наугад учащийся этой школы посещает хотя бы одну из указанных секций?

Задача 1

Обозначим события: $A_{10}$ — попадание в десятку с вероятностью $P(A_{10}) = 0,04$; $A_9$ — попадание в девятку с вероятностью $P(A_9) = 0,1$; $A_8$ — попадание в восьмёрку с вероятностью $P(A_8) = 0,2$. Эти события являются несовместными, так как одним выстрелом нельзя попасть одновременно в разные зоны.

1) не меньше 9 очков

Событие "набрать не меньше 9 очков" означает, что стрелок попал либо в девятку ($A_9$), либо в десятку ($A_{10}$). Так как эти события несовместны, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:

$P(\text{не меньше 9 очков}) = P(A_9 \cup A_{10}) = P(A_9) + P(A_{10}) = 0,1 + 0,04 = 0,14$

Ответ: 0,14

2) не меньше 8 очков

Событие "набрать не меньше 8 очков" означает, что стрелок попал в восьмёрку ($A_8$), девятку ($A_9$) или десятку ($A_{10}$). Вероятность этого события равна сумме вероятностей несовместных событий $A_8$, $A_9$ и $A_{10}$:

$P(\text{не меньше 8 очков}) = P(A_8 \cup A_9 \cup A_{10}) = P(A_8) + P(A_9) + P(A_{10}) = 0,2 + 0,1 + 0,04 = 0,34$

Ответ: 0,34

3) меньше 8 очков

Событие "набрать меньше 8 очков" является противоположным (дополнительным) событию "набрать не меньше 8 очков". Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Следовательно:

$P(\text{меньше 8 очков}) = 1 - P(\text{не меньше 8 очков}) = 1 - 0,34 = 0,66$

Ответ: 0,66

Задача 2

В каждой из двух колод по 3 карточки с номерами 1, 2, 3. При выборе по одной карточке из каждой колоды общее число равновозможных исходов равно $3 \times 3 = 9$. Перечислим все возможные исходы в виде пар (карта 1, карта 2):
(1, 1), (1, 2), (1, 3)
(2, 1), (2, 2), (2, 3)
(3, 1), (3, 2), (3, 3)

Событие A: сумма очков на выбранных карточках чётная. Сумма двух чисел чётная, если оба числа чётные или оба нечётные. Благоприятствующие исходы: (1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (3, 3). Всего 5 исходов. Вероятность события A: $P(A) = \frac{5}{9}$.

Событие B: по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 1. Благоприятствующие исходы: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1). Всего 5 исходов. Вероятность события B: $P(B) = \frac{5}{9}$.

1) $\bar{A}$

Событие $\bar{A}$ является противоположным событию A. Оно означает, что сумма очков нечётная. Вероятность противоположного события можно найти по формуле:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

2) A ∩ B

Событие $A \cap B$ (пересечение) означает, что происходят оба события одновременно: сумма очков чётная, и при этом хотя бы одна карточка имеет номер 1. Найдём общие исходы для событий A и B. Это исходы, в которых есть цифра 1 и сумма чётная: (1, 1), (1, 3), (3, 1). Всего 3 благоприятствующих исхода. Вероятность события $A \cap B$ равна:

$P(A \cap B) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

3) A ∪ B

Событие $A \cup B$ (объединение) означает, что происходит хотя бы одно из событий: либо сумма очков чётная, либо хотя бы одна карточка имеет номер 1. Вероятность объединения событий находится по формуле сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$P(A \cup B) = \frac{5}{9} + \frac{5}{9} - \frac{3}{9} = \frac{5+5-3}{9} = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$

Задача 3

Введём обозначения для событий: $В$ — случайно выбранный учащийся является волейболистом, $P(В) = 12\% = 0,12$; $Б$ — случайно выбранный учащийся является баскетболистом, $P(Б) = 17\% = 0,17$; $В \cap Б$ — случайно выбранный учащийся посещает обе секции, $P(В \cap Б) = 7\% = 0,07$.

Требуется найти вероятность того, что выбранный наугад учащийся посещает хотя бы одну из указанных секций. Это событие является объединением событий $В$ и $Б$, то есть $В \cup Б$. Для нахождения вероятности объединения двух событий используем формулу сложения вероятностей:

$P(В \cup Б) = P(В) + P(Б) - P(В \cap Б)$

Подставим известные значения в формулу:

$P(В \cup Б) = 0,12 + 0,17 - 0,07 = 0,29 - 0,07 = 0,22$

Таким образом, вероятность того, что учащийся посещает хотя бы одну секцию, составляет 0,22.

Ответ: 0,22