Страница 17 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 3

Показательные неравенства

Решите неравенство:

1) $ \left( \frac{3}{7} \right)^{x^2} \le \left( \frac{7}{3} \right)^{4x - 21} $;

2) $ 3^{x - 1} + 3^{x - 2} - 3^{x - 4} \le 315 $;

3) $ 9^{x + 0.5} + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0 $;

4) $ 25 \cdot 0.2^{2x} - 126 \cdot 0.2^x + 5 \le 0 $;

5) $ \frac{0.6^x - 0.216}{2 - x} \le 0 $;

6) $ (5^x - 25)\sqrt{3 - x} \le 0 $.

1) $(\frac{3}{7})^{x^2} < (\frac{7}{3})^{4x-21}$

Приведем неравенство к одному основанию. Заметим, что $\frac{7}{3} = (\frac{3}{7})^{-1}$.

$(\frac{3}{7})^{x^2} < ((\frac{3}{7})^{-1})^{4x-21}$

$(\frac{3}{7})^{x^2} < (\frac{3}{7})^{-(4x-21)}$

$(\frac{3}{7})^{x^2} < (\frac{3}{7})^{21-4x}$

Так как основание степени $a = \frac{3}{7}$ и $0 < a < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 > 21-4x$

$x^2 + 4x - 21 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x - 21 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -4$, $x_1 \cdot x_2 = -21$. Корни: $x_1 = -7$, $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 + 4x - 21$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

$x \in (-\infty; -7) \cup (3; +\infty)$

Ответ: $(-\infty; -7) \cup (3; +\infty)$.

2) $3^{x-1} + 3^{x-2} - 3^{x-4} \le 315$

Вынесем за скобки множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{x-4}$:

$3^{x-4} \cdot 3^3 + 3^{x-4} \cdot 3^2 - 3^{x-4} \cdot 1 \le 315$

$3^{x-4}(3^3 + 3^2 - 1) \le 315$

$3^{x-4}(27 + 9 - 1) \le 315$

$3^{x-4} \cdot 35 \le 315$

Разделим обе части на 35:

$3^{x-4} \le \frac{315}{35}$

$3^{x-4} \le 9$

Представим 9 как степень 3:

$3^{x-4} \le 3^2$

Так как основание степени $a=3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x-4 \le 2$

$x \le 6$

Ответ: $(-\infty; 6]$.

3) $9^{x + 0,5} + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$

Приведем все степени к основанию 3:

$(3^2)^{x+0,5} + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$

$3^{2(x+0,5)} + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$

$3^{2x+1} + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$

$3^{2x} \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$

$3 \cdot (3^x)^2 + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

$3t^2 + 2t - 1 \ge 0$

Найдем корни уравнения $3t^2 + 2t - 1 = 0$.

Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$t_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = -1$.

$t_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Решением неравенства $3t^2 + 2t - 1 \ge 0$ являются $t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{3}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t \ge \frac{1}{3}$.

Вернемся к исходной переменной:

$3^x \ge \frac{1}{3}$

$3^x \ge 3^{-1}$

Так как основание $a=3>1$, знак неравенства сохраняется:

$x \ge -1$

Ответ: $[-1; +\infty)$.

4) $25 \cdot 0,2^{2x} - 126 \cdot 0,2^x + 5 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 0,2^x$, где $t > 0$.

$25t^2 - 126t + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $25t^2 - 126t + 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-126)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 5 = 15876 - 500 = 15376 = 124^2$.

$t_1 = \frac{126 - 124}{2 \cdot 25} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}$.

$t_2 = \frac{126 + 124}{2 \cdot 25} = \frac{250}{50} = 5$.

Решением неравенства $25t^2 - 126t + 5 \le 0$ является интервал между корнями: $\frac{1}{25} \le t \le 5$.

Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t>0$.

Вернемся к исходной переменной:

$\frac{1}{25} \le 0,2^x \le 5$

Представим все числа в виде степени с основанием 0,2. Заметим, что $0,2 = \frac{1}{5}$, $\frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2 = 0,2^2$, и $5 = (\frac{1}{5})^{-1} = 0,2^{-1}$.

$0,2^2 \le 0,2^x \le 0,2^{-1}$

Так как основание степени $a = 0,2$ и $0 < a < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знаки неравенства меняются на противоположные:

$2 \ge x \ge -1$

Или, в более привычном виде: $-1 \le x \le 2$.

Ответ: $[-1; 2]$.

5) $\frac{0,6^x - 0,216}{2-x} \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

1. Нуль числителя: $0,6^x - 0,216 = 0$.

$0,6^x = 0,216$

$0,6^x = \frac{216}{1000} = \frac{6^3}{10^3} = (\frac{6}{10})^3 = 0,6^3$

$x=3$.

2. Нуль знаменателя: $2-x = 0$.

$x=2$. (Эта точка будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю).

Нанесем точки $x=2$ и $x=3$ на числовую ось и определим знаки выражения в полученных интервалах.

Интервалы: $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$, $(3; +\infty)$.

Пусть $f(x) = \frac{0,6^x - 0,216}{2-x}$.

При $x > 3$ (например, $x=4$): числитель $0,6^4 - 0,6^3 < 0$, знаменатель $2-4 < 0$. $f(x) > 0$.

При $2 < x < 3$ (например, $x=2,5$): числитель $0,6^{2,5} - 0,6^3 > 0$, знаменатель $2-2,5 < 0$. $f(x) < 0$.

При $x < 2$ (например, $x=0$): числитель $0,6^0 - 0,216 = 1 - 0,216 > 0$, знаменатель $2-0 > 0$. $f(x) > 0$.

Нам нужно, чтобы $f(x) \le 0$. Это выполняется на интервале $(2; 3)$. Также нужно включить точку, где числитель равен нулю, то есть $x=3$.

Таким образом, решение: $x \in (2; 3]$.

Ответ: $(2; 3]$.

6) $(5^x - 25)\sqrt{3-x} \le 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$3-x \ge 0 \implies x \le 3$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Произведение равно нулю.

Это возможно, если один из множителей равен нулю (и при этом выражение определено):

$5^x - 25 = 0 \implies 5^x = 25 \implies 5^x = 5^2 \implies x=2$. $x=2$ входит в ОДЗ.

$\sqrt{3-x} = 0 \implies 3-x = 0 \implies x=3$. $x=3$ входит в ОДЗ.

Значит, $x=2$ и $x=3$ являются решениями.

Случай 2: Произведение строго меньше нуля.

$(5^x - 25)\sqrt{3-x} < 0$.

На ОДЗ, при $x < 3$, множитель $\sqrt{3-x} > 0$. Чтобы произведение было отрицательным, второй множитель должен быть отрицательным:

$5^x - 25 < 0$

$5^x < 25$

$5^x < 5^2$

Так как основание $a=5>1$, знак неравенства сохраняется:

$x < 2$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \le 3$).

Объединяя решения из обоих случаев, получаем:

$x < 2$, $x=2$ и $x=3$.

Это можно записать как $x \in (-\infty; 2] \cup \{3\}$.

Ответ: $(-\infty; 2] \cup \{3\}$.

Самостоятельная работа № 4

Логарифм и его свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $log_{0,5}log_3 81;$

2) $log_{13}26 - log_{13}2;$

3) $\frac{log_4 0,0001}{log_4 10};$

4) $log_{\sqrt{2}} 1024;$

5) $49^{1 + log_7 2};$

6) $2^{2log_{81}\frac{1}{2}}.$

2. Решите уравнение:

1) $4^x = 9;$

2) $log_{x+3} 256 = 4.$

3. Найдите значение выражения $\frac{2log_5 6 + log_5 0,75}{log_5 6 - log_5 18}.$

4. Постройте график функции:

1) $y = 8^{log_8 (x + 4)};$

2) $y = log_{x-3} (x - 3).$

5. Найдите $log_{15}5$, если $log_{15}27 = b$.

1. Найдите значение выражения:

1) $log_{0,5}log_{3}81$
Сначала вычислим внутренний логарифм: $log_{3}81$. Так как $3^4 = 81$, то $log_{3}81 = 4$.
Теперь выражение принимает вид: $log_{0,5}4$.
Пусть $log_{0,5}4 = x$. По определению логарифма, $(0,5)^x = 4$.
Так как $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2$, получаем:
$(2^{-1})^x = 2^2$
$2^{-x} = 2^2$
$-x = 2$, откуда $x = -2$.
Ответ: -2

2) $log_{13}26 - log_{13}2$
Используем свойство разности логарифмов $log_a b - log_a c = log_a(\frac{b}{c})$:
$log_{13}26 - log_{13}2 = log_{13}(\frac{26}{2}) = log_{13}13$.
По определению логарифма, $log_a a = 1$.
$log_{13}13 = 1$.
Ответ: 1

3) $\frac{log_4 0,0001}{log_4 10}$
Используем формулу перехода к новому основанию $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$:
$\frac{log_4 0,0001}{log_4 10} = log_{10} 0,0001$.
Так как $0,0001 = 10^{-4}$, то:
$log_{10} 10^{-4} = -4$.
Ответ: -4

4) $log_{\sqrt{2}}1024$
Пусть $log_{\sqrt{2}}1024 = x$. По определению логарифма, $(\sqrt{2})^x = 1024$.
Представим основание и число в виде степени 2: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ и $1024 = 2^{10}$.
$(2^{1/2})^x = 2^{10}$
$2^{x/2} = 2^{10}$
$\frac{x}{2} = 10$, откуда $x = 20$.
Ответ: 20

5) $49^{1+log_7 2}$
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$49^{1+log_7 2} = 49^1 \cdot 49^{log_7 2}$.
Представим 49 как $7^2$:
$49 \cdot (7^2)^{log_7 2} = 49 \cdot 7^{2 \cdot log_7 2}$.
Используем свойство логарифма $k \cdot log_a b = log_a (b^k)$:
$49 \cdot 7^{log_7 (2^2)} = 49 \cdot 7^{log_7 4}$.
Используем основное логарифмическое тождество $a^{log_a b} = b$:
$49 \cdot 4 = 196$.
Ответ: 196

6) $2^{2\log_{81} 2}$
Используем свойство логарифма $k \cdot log_a b = log_a (b^k)$:
$2\log_{81} 2 = \log_{81} (2^2) = \log_{81} 4$.
Выражение принимает вид $2^{\log_{81} 4}$.
Воспользуемся свойством $log_{a^k} b = \frac{1}{k}log_a b$. Так как $81 = 3^4$:
$\log_{81} 4 = \log_{3^4} 4 = \frac{1}{4}\log_3 4$.
Выражение: $2^{\frac{1}{4}\log_3 4} = 2^{\frac{1}{4}\log_3 (2^2)} = 2^{\frac{2}{4}\log_3 2} = 2^{\frac{1}{2}\log_3 2} = 2^{\log_3 (2^{1/2})} = 2^{\log_3 \sqrt{2}}$.
Это и есть значение выражения. Можно также записать его, используя свойство $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$: $(\sqrt{2})^{\log_3 2}$.
Ответ: $2^{\log_3 \sqrt{2}}$

2. Решите уравнение:

1) $4^x = 9$
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 4:
$log_4(4^x) = log_4(9)$.
Используя свойство $log_a(a^b)=b$, получаем:
$x = log_4 9$.
Можно упростить ответ: $x = log_{2^2} (3^2) = \frac{2}{2} log_2 3 = log_2 3$.
Ответ: $log_4 9$ (или $log_2 3$)

2) $log_{x+3} 256 = 4$
По определению логарифма, уравнение равносильно $(x+3)^4 = 256$, при условии, что основание $x+3 > 0$ и $x+3 \neq 1$.
Найдем корень четвертой степени из 256. Так как $4^4 = 256$, то:
$(x+3)^4 = 4^4$.
Отсюда следует, что $x+3 = 4$ или $x+3 = -4$.
1. $x+3 = 4 \implies x = 1$.
2. $x+3 = -4 \implies x = -7$.
Проверим выполнение условий для основания логарифма:
Для $x=1$: основание равно $1+3=4$. Условия $4>0$ и $4 \neq 1$ выполнены. Корень подходит.
Для $x=-7$: основание равно $-7+3=-4$. Условие $-4>0$ не выполнено. Корень не подходит.
Ответ: 1

3. Найдите значение выражения $\frac{2log_5 6 + log_5 0,75}{log_5 6 - log_5 18}$

Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $2log_5 6 + log_5 0,75 = log_5(6^2) + log_5(0,75) = log_5 36 + log_5(\frac{3}{4}) = log_5(36 \cdot \frac{3}{4}) = log_5(9 \cdot 3) = log_5 27$.
Знаменатель: $log_5 6 - log_5 18 = log_5(\frac{6}{18}) = log_5(\frac{1}{3})$.
Выражение принимает вид: $\frac{log_5 27}{log_5(1/3)}$.
Используем формулу перехода к новому основанию $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$:
$\frac{log_5 27}{log_5(1/3)} = log_{1/3} 27$.
Пусть $log_{1/3} 27 = y$. Тогда $(\frac{1}{3})^y = 27$.
$(3^{-1})^y = 3^3 \implies 3^{-y} = 3^3 \implies -y=3 \implies y=-3$.
Ответ: -3

4. Постройте график функции:

1) $y = 8^{log_8 (x + 4)}$
1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x+4 > 0 \implies x > -4$.
2. На ОДЗ используем основное логарифмическое тождество $a^{log_a b} = b$:
$y = x+4$.
3. Графиком функции является прямая $y=x+4$ с ограничением $x > -4$. Это луч, который начинается в точке $(-4, 0)$, причем сама точка не включена (изображается выколотой точкой), и проходит, например, через точку $(0, 4)$.
Ответ: График — луч прямой $y=x+4$, начинающийся из выколотой точки $(-4, 0)$ и идущий вправо вверх.

2) $y = log_{x-3} (x - 3)$
1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Основание логарифма должно быть строго положительным и не равняться единице:
$x-3 > 0 \implies x > 3$.
$x-3 \neq 1 \implies x \neq 4$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (3; 4) \cup (4; \infty)$.
2. На ОДЗ используем свойство $log_a a = 1$:
$y = 1$.
3. Графиком функции является горизонтальная прямая $y=1$ с ограничениями из ОДЗ. Это два луча: один на интервале $(3; 4)$, другой на интервале $(4; \infty)$. Точки с абсциссами 3 и 4 не включены (выколоты).
Ответ: График — два луча прямой $y=1$. Первый — от точки $(3, 1)$ до $(4, 1)$, не включая концы. Второй — от точки $(4, 1)$ вправо в бесконечность, не включая начало.

5. Найдите $log_{15} 5$, если $log_{15} 27 = b$.

Преобразуем данное условие $log_{15} 27 = b$:
$log_{15}(3^3) = b$
$3 \cdot log_{15} 3 = b$
$log_{15} 3 = \frac{b}{3}$.
Теперь выразим искомый логарифм. Представим число 5 как $\frac{15}{3}$:
$log_{15} 5 = log_{15}(\frac{15}{3})$.
Используем свойство разности логарифмов:
$log_{15}(\frac{15}{3}) = log_{15} 15 - log_{15} 3$.
Так как $log_{15} 15 = 1$ и $log_{15} 3 = \frac{b}{3}$, подставляем эти значения:
$log_{15} 5 = 1 - \frac{b}{3}$.
Ответ: $1 - \frac{b}{3}$

Самостоятельная работа № 5

Логарифмическая функция и её свойства

1. Сравните:

1) $log_{0,7} 3$ и $log_{0,7} 2$;

2) $log_4 60$ и $3$;

3) $log_{21} 22$ и $log_{22} 21$;

4) $log_{0,5} 0,4$ и $log_{0,4} 0,5$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = log_6(4x + 7)$;

2) $y = log_{2-x}(x + 4)$;

3) $y = log_{\frac{1}{6}}(8x - 12 - x^2) + \frac{1}{log_{\frac{1}{6}}(x - 4)}$.

3. Постройте график функции:

1) $y = log_{0,5} x + 1$;

2) $y = -log_2(x - 2)$;

3) $y = log_2 |x|$.

4. Найдите наибольшее значение функции

$y = log_{\frac{1}{6}}(x^2 + 4x + 10)$.

1. Сравните:

1) $\log_{0,7} 3$ и $\log_{0,7} 2$
Функция $y = \log_{0,7} x$ является убывающей, так как ее основание $a = 0,7$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку $3 > 2$, то $\log_{0,7} 3 < \log_{0,7} 2$.
Ответ: $\log_{0,7} 3 < \log_{0,7} 2$.

2) $\log_4 60$ и $3$
Представим число $3$ в виде логарифма с основанием $4$: $3 = \log_4 4^3 = \log_4 64$. Теперь сравним $\log_4 60$ и $\log_4 64$. Функция $y = \log_4 x$ является возрастающей, так как ее основание $a = 4 > 1$. Для возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку $60 < 64$, то $\log_4 60 < \log_4 64$, следовательно, $\log_4 60 < 3$.
Ответ: $\log_4 60 < 3$.

3) $\log_{21} 22$ и $\log_{22} 21$
Сравним каждое из чисел с единицей.
Для $\log_{21} 22$: основание $a = 21 > 1$ и аргумент $22 > 21$, следовательно, $\log_{21} 22 > \log_{21} 21 = 1$.
Для $\log_{22} 21$: основание $a = 22 > 1$ и аргумент $21 < 22$, следовательно, $\log_{22} 21 < \log_{22} 22 = 1$.
Поскольку $\log_{21} 22 > 1$ и $\log_{22} 21 < 1$, то $\log_{21} 22 > \log_{22} 21$.
Ответ: $\log_{21} 22 > \log_{22} 21$.

4) $\log_{0,5} 0,4$ и $\log_{0,4} 0,5$
Сравним каждое из чисел с единицей.
Для $\log_{0,5} 0,4$: основание $a = 0,5 < 1$ и аргумент $0,4 < 0,5$, следовательно, $\log_{0,5} 0,4 > \log_{0,5} 0,5 = 1$.
Для $\log_{0,4} 0,5$: основание $a = 0,4 < 1$ и аргумент $0,5 > 0,4$, следовательно, $\log_{0,4} 0,5 < \log_{0,4} 0,4 = 1$.
Поскольку $\log_{0,5} 0,4 > 1$ и $\log_{0,4} 0,5 < 1$, то $\log_{0,5} 0,4 > \log_{0,4} 0,5$.
Ответ: $\log_{0,5} 0,4 > \log_{0,4} 0,5$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_6(4x + 7)$
Область определения логарифмической функции определяется условием, что ее аргумент должен быть строго положительным. Основание $6 > 0$ и $6 \neq 1$.
$4x + 7 > 0$
$4x > -7$
$x > -\frac{7}{4}$
Ответ: $D(y) = (-7/4; +\infty)$.

2) $y = \log_{2-x}(x + 4)$
Область определения этой функции задается системой условий:
1. Аргумент логарифма должен быть положительным: $x + 4 > 0 \implies x > -4$.
2. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: $2 - x > 0$ и $2 - x \neq 1$.
Из $2 - x > 0$ следует $x < 2$.
Из $2 - x \neq 1$ следует $x \neq 1$.
Объединяя все условия в систему: $\left\{ \begin{array}{l} x > -4 \\ x < 2 \\ x \neq 1 \end{array} \right.$ Решением системы является объединение интервалов $(-4; 1) \cup (1; 2)$.
Ответ: $D(y) = (-4; 1) \cup (1; 2)$.

3) $y = \log_{\frac{1}{6}}(8x - 12 - x^2) + \frac{1}{\log_{\frac{1}{6}}(x-4)}$
Область определения функции находится из системы условий:
1. Аргумент первого логарифма положителен: $8x - 12 - x^2 > 0 \implies x^2 - 8x + 12 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$ равны $x_1=2, x_2=6$. Решение неравенства: $x \in (2; 6)$.
2. Аргумент второго логарифма положителен: $x - 4 > 0 \implies x > 4$.
3. Знаменатель не равен нулю: $\log_{\frac{1}{6}}(x-4) \neq 0 \implies x-4 \neq 1 \implies x \neq 5$.
Найдем пересечение всех условий: $\left\{ \begin{array}{l} 2 < x < 6 \\ x > 4 \\ x \neq 5 \end{array} \right.$.
Общее решение: $x \in (4; 5) \cup (5; 6)$.
Ответ: $D(y) = (4; 5) \cup (5; 6)$.

3. Постройте график функции:

1) $y = \log_{0,5} x + 1$
Построение графика осуществляется в два этапа:
1. Строим график базовой функции $y = \log_{0,5} x$. Это убывающая логарифмическая кривая (основание $0,5 < 1$), проходящая через точку $(1, 0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.
2. Сдвигаем построенный график на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.
Ответ: График функции $y = \log_{0,5} x + 1$ — это убывающая кривая с вертикальной асимптотой $x=0$, проходящая через точки $(1, 1)$ и $(2, 0)$.

2) $y = -\log_2(x - 2)$
Построение графика осуществляется в три этапа:
1. Строим график базовой функции $y = \log_2 x$. Это возрастающая логарифмическая кривая (основание $2 > 1$), проходящая через точку $(1, 0)$ с асимптотой $x=0$.
2. Сдвигаем график на 2 единицы вправо вдоль оси Ox, получаем график $y = \log_2(x - 2)$. Асимптота смещается в $x=2$.
3. Отражаем полученный график симметрично относительно оси Ox, чтобы получить искомый график $y = -\log_2(x - 2)$.
Ответ: График функции $y = -\log_2(x - 2)$ — это убывающая кривая с вертикальной асимптотой $x=2$, проходящая через точку $(3, 0)$.

3) $y = \log_2|x|$
Функция является четной ($y(-x) = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси Oy.
1. Для $x > 0$, функция имеет вид $y = \log_2 x$. Строим эту часть графика - возрастающая кривая, проходящая через $(1, 0)$ с асимптотой $x=0$.
2. Для $x < 0$, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy.
Ответ: График функции $y = \log_2|x|$ состоит из двух ветвей: графика $y = \log_2 x$ в правой полуплоскости и его симметричного отражения относительно оси Oy в левой. График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и проходит через точки $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

4. Найдите наибольшее значение функции $y = \log_{\frac{1}{6}}(x^2 + 4x + 10)$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{6}$ меньше 1, поэтому функция $y = \log_{\frac{1}{6}}(t)$ является убывающей. Она достигает своего наибольшего значения, когда ее аргумент $t(x) = x^2 + 4x + 10$ принимает наименьшее значение.
Аргумент является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине.
Координата вершины по оси абсцисс: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Наименьшее значение аргумента: $t_{min} = t(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 10 = 4 - 8 + 10 = 6$.
Теперь находим наибольшее значение исходной функции:
$y_{max} = \log_{\frac{1}{6}}(t_{min}) = \log_{\frac{1}{6}}(6) = -1$.
Ответ: -1.