Номер 5, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Логарифмическая функция и её свойства

1. Сравните:

1) $log_{0,7} 3$ и $log_{0,7} 2$;

2) $log_4 60$ и $3$;

3) $log_{21} 22$ и $log_{22} 21$;

4) $log_{0,5} 0,4$ и $log_{0,4} 0,5$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = log_6(4x + 7)$;

2) $y = log_{2-x}(x + 4)$;

3) $y = log_{\frac{1}{6}}(8x - 12 - x^2) + \frac{1}{log_{\frac{1}{6}}(x - 4)}$.

3. Постройте график функции:

1) $y = log_{0,5} x + 1$;

2) $y = -log_2(x - 2)$;

3) $y = log_2 |x|$.

4. Найдите наибольшее значение функции

$y = log_{\frac{1}{6}}(x^2 + 4x + 10)$.

1. Сравните:

1) $\log_{0,7} 3$ и $\log_{0,7} 2$
Функция $y = \log_{0,7} x$ является убывающей, так как ее основание $a = 0,7$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку $3 > 2$, то $\log_{0,7} 3 < \log_{0,7} 2$.
Ответ: $\log_{0,7} 3 < \log_{0,7} 2$.

2) $\log_4 60$ и $3$
Представим число $3$ в виде логарифма с основанием $4$: $3 = \log_4 4^3 = \log_4 64$. Теперь сравним $\log_4 60$ и $\log_4 64$. Функция $y = \log_4 x$ является возрастающей, так как ее основание $a = 4 > 1$. Для возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку $60 < 64$, то $\log_4 60 < \log_4 64$, следовательно, $\log_4 60 < 3$.
Ответ: $\log_4 60 < 3$.

3) $\log_{21} 22$ и $\log_{22} 21$
Сравним каждое из чисел с единицей.
Для $\log_{21} 22$: основание $a = 21 > 1$ и аргумент $22 > 21$, следовательно, $\log_{21} 22 > \log_{21} 21 = 1$.
Для $\log_{22} 21$: основание $a = 22 > 1$ и аргумент $21 < 22$, следовательно, $\log_{22} 21 < \log_{22} 22 = 1$.
Поскольку $\log_{21} 22 > 1$ и $\log_{22} 21 < 1$, то $\log_{21} 22 > \log_{22} 21$.
Ответ: $\log_{21} 22 > \log_{22} 21$.

4) $\log_{0,5} 0,4$ и $\log_{0,4} 0,5$
Сравним каждое из чисел с единицей.
Для $\log_{0,5} 0,4$: основание $a = 0,5 < 1$ и аргумент $0,4 < 0,5$, следовательно, $\log_{0,5} 0,4 > \log_{0,5} 0,5 = 1$.
Для $\log_{0,4} 0,5$: основание $a = 0,4 < 1$ и аргумент $0,5 > 0,4$, следовательно, $\log_{0,4} 0,5 < \log_{0,4} 0,4 = 1$.
Поскольку $\log_{0,5} 0,4 > 1$ и $\log_{0,4} 0,5 < 1$, то $\log_{0,5} 0,4 > \log_{0,4} 0,5$.
Ответ: $\log_{0,5} 0,4 > \log_{0,4} 0,5$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_6(4x + 7)$
Область определения логарифмической функции определяется условием, что ее аргумент должен быть строго положительным. Основание $6 > 0$ и $6 \neq 1$.
$4x + 7 > 0$
$4x > -7$
$x > -\frac{7}{4}$
Ответ: $D(y) = (-7/4; +\infty)$.

2) $y = \log_{2-x}(x + 4)$
Область определения этой функции задается системой условий:
1. Аргумент логарифма должен быть положительным: $x + 4 > 0 \implies x > -4$.
2. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: $2 - x > 0$ и $2 - x \neq 1$.
Из $2 - x > 0$ следует $x < 2$.
Из $2 - x \neq 1$ следует $x \neq 1$.
Объединяя все условия в систему: $\left\{ \begin{array}{l} x > -4 \\ x < 2 \\ x \neq 1 \end{array} \right.$ Решением системы является объединение интервалов $(-4; 1) \cup (1; 2)$.
Ответ: $D(y) = (-4; 1) \cup (1; 2)$.

3) $y = \log_{\frac{1}{6}}(8x - 12 - x^2) + \frac{1}{\log_{\frac{1}{6}}(x-4)}$
Область определения функции находится из системы условий:
1. Аргумент первого логарифма положителен: $8x - 12 - x^2 > 0 \implies x^2 - 8x + 12 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 8x + 12 = 0$ равны $x_1=2, x_2=6$. Решение неравенства: $x \in (2; 6)$.
2. Аргумент второго логарифма положителен: $x - 4 > 0 \implies x > 4$.
3. Знаменатель не равен нулю: $\log_{\frac{1}{6}}(x-4) \neq 0 \implies x-4 \neq 1 \implies x \neq 5$.
Найдем пересечение всех условий: $\left\{ \begin{array}{l} 2 < x < 6 \\ x > 4 \\ x \neq 5 \end{array} \right.$.
Общее решение: $x \in (4; 5) \cup (5; 6)$.
Ответ: $D(y) = (4; 5) \cup (5; 6)$.

3. Постройте график функции:

1) $y = \log_{0,5} x + 1$
Построение графика осуществляется в два этапа:
1. Строим график базовой функции $y = \log_{0,5} x$. Это убывающая логарифмическая кривая (основание $0,5 < 1$), проходящая через точку $(1, 0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.
2. Сдвигаем построенный график на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.
Ответ: График функции $y = \log_{0,5} x + 1$ — это убывающая кривая с вертикальной асимптотой $x=0$, проходящая через точки $(1, 1)$ и $(2, 0)$.

2) $y = -\log_2(x - 2)$
Построение графика осуществляется в три этапа:
1. Строим график базовой функции $y = \log_2 x$. Это возрастающая логарифмическая кривая (основание $2 > 1$), проходящая через точку $(1, 0)$ с асимптотой $x=0$.
2. Сдвигаем график на 2 единицы вправо вдоль оси Ox, получаем график $y = \log_2(x - 2)$. Асимптота смещается в $x=2$.
3. Отражаем полученный график симметрично относительно оси Ox, чтобы получить искомый график $y = -\log_2(x - 2)$.
Ответ: График функции $y = -\log_2(x - 2)$ — это убывающая кривая с вертикальной асимптотой $x=2$, проходящая через точку $(3, 0)$.

3) $y = \log_2|x|$
Функция является четной ($y(-x) = y(x)$), поэтому ее график симметричен относительно оси Oy.
1. Для $x > 0$, функция имеет вид $y = \log_2 x$. Строим эту часть графика - возрастающая кривая, проходящая через $(1, 0)$ с асимптотой $x=0$.
2. Для $x < 0$, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy.
Ответ: График функции $y = \log_2|x|$ состоит из двух ветвей: графика $y = \log_2 x$ в правой полуплоскости и его симметричного отражения относительно оси Oy в левой. График имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и проходит через точки $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

4. Найдите наибольшее значение функции $y = \log_{\frac{1}{6}}(x^2 + 4x + 10)$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{6}$ меньше 1, поэтому функция $y = \log_{\frac{1}{6}}(t)$ является убывающей. Она достигает своего наибольшего значения, когда ее аргумент $t(x) = x^2 + 4x + 10$ принимает наименьшее значение.
Аргумент является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине.
Координата вершины по оси абсцисс: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Наименьшее значение аргумента: $t_{min} = t(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 10 = 4 - 8 + 10 = 6$.
Теперь находим наибольшее значение исходной функции:
$y_{max} = \log_{\frac{1}{6}}(t_{min}) = \log_{\frac{1}{6}}(6) = -1$.
Ответ: -1.