Номер 24, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 24

Математическое ожидание суммы случайных величин

1. О случайных величинах $x$ и $y$ известно, что $M(x) = 4$, $M(y) = -1$. Найдите математическое ожидание случайной величины:

1) $x - y$;

2) $x + 2y$;

3) $\frac{3y - x}{2}$.

2. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 80%. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины, равной количеству попаданий стрелка в мишень в серии, состоящей из шести выстрелов. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

3. В каждом из трёх ящиков находится по 100 шаров. Количество красных шаров в этих ящиках равно соответственно 17, 21, 63. Из каждого ящика достают по одному шару. Найдите математическое ожидание количества вынутых красных шаров.

1.

Для решения воспользуемся свойствами математического ожидания:
1) $M(X+Y) = M(X) + M(Y)$
2) $M(cX) = cM(X)$, где $c$ — константа.
Из этих свойств следует, что $M(aX + bY) = aM(X) + bM(Y)$.

1) $x-y$

Найдём математическое ожидание величины $x-y$:

$M(x - y) = M(x) - M(y)$

Подставим заданные значения $M(x) = 4$ и $M(y) = -1$:

$M(x - y) = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$

Ответ: 5

2) $x+2y$

Найдём математическое ожидание величины $x+2y$:

$M(x + 2y) = M(x) + M(2y) = M(x) + 2 \cdot M(y)$

Подставим заданные значения:

$M(x + 2y) = 4 + 2 \cdot (-1) = 4 - 2 = 2$

Ответ: 2

3) $\frac{3y - x}{2}$

Найдём математическое ожидание величины $\frac{3y - x}{2}$:

$M(\frac{3y - x}{2}) = M(\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}x) = \frac{3}{2}M(y) - \frac{1}{2}M(x)$

Подставим заданные значения:

$M(\frac{3y - x}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (-1) - \frac{1}{2} \cdot 4 = -1.5 - 2 = -3.5$

Ответ: -3.5

2.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству попаданий в мишень в серии из 6 выстрелов. Эта серия представляет собой последовательность из $n=6$ независимых испытаний Бернулли. Вероятность успеха (попадания) в каждом испытании равна $p = 80\% = 0.8$. Вероятность неудачи (промаха) равна $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$.

Случайная величина $X$ имеет биномиальное распределение. Вероятность того, что в серии из $n$ выстрелов будет ровно $k$ попаданий, вычисляется по формуле Бернулли:

$P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Рассчитаем вероятности для всех возможных значений $k$ от 0 до 6:

$P(X=0) = C_6^0 \cdot (0.8)^0 \cdot (0.2)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.000064 = 0.000064$

$P(X=1) = C_6^1 \cdot (0.8)^1 \cdot (0.2)^5 = 6 \cdot 0.8 \cdot 0.00032 = 0.001536$

$P(X=2) = C_6^2 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^4 = 15 \cdot 0.64 \cdot 0.0016 = 0.01536$

$P(X=3) = C_6^3 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^3 = 20 \cdot 0.512 \cdot 0.008 = 0.08192$

$P(X=4) = C_6^4 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^2 = 15 \cdot 0.4096 \cdot 0.04 = 0.24576$

$P(X=5) = C_6^5 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^1 = 6 \cdot 0.32768 \cdot 0.2 = 0.393216$

$P(X=6) = C_6^6 \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^0 = 1 \cdot 0.262144 \cdot 1 = 0.262144$

Таблица распределения вероятностей случайной величины $X$:

Математическое ожидание для биномиального распределения находится по формуле $M(X) = n \cdot p$.

$M(X) = 6 \cdot 0.8 = 4.8$

Ответ: 4.8

3.

Пусть $X$ — общее число вынутых красных шаров. Обозначим $X_1$, $X_2$, $X_3$ как случайные величины, соответствующие факту извлечения красного шара из первого, второго и третьего ящика соответственно. Каждая из этих величин является индикатором события и может принимать значение 1 (если вынут красный шар) или 0 (в противном случае).

Общее число красных шаров $X$ является суммой этих величин: $X = X_1 + X_2 + X_3$.

По свойству линейности математического ожидания:

$M(X) = M(X_1 + X_2 + X_3) = M(X_1) + M(X_2) + M(X_3)$.

Математическое ожидание индикаторной случайной величины равно вероятности события, которое она индицирует. Рассчитаем вероятности извлечения красного шара для каждого ящика:

Для первого ящика: $P(X_1 = 1) = \frac{17}{100} = 0.17$. Следовательно, $M(X_1) = 0.17$.

Для второго ящика: $P(X_2 = 1) = \frac{21}{100} = 0.21$. Следовательно, $M(X_2) = 0.21$.

Для третьего ящика: $P(X_3 = 1) = \frac{63}{100} = 0.63$. Следовательно, $M(X_3) = 0.63$.

Теперь найдем искомое математическое ожидание, сложив математические ожидания для каждого ящика:

$M(X) = 0.17 + 0.21 + 0.63 = 1.01$

Ответ: 1.01