Номер 3, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 3

Показательные неравенства

Решите неравенство:

1) $ \left( \frac{3}{7} \right)^{x^2} \le \left( \frac{7}{3} \right)^{4x - 21} $;

2) $ 3^{x - 1} + 3^{x - 2} - 3^{x - 4} \le 315 $;

3) $ 9^{x + 0.5} + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0 $;

4) $ 25 \cdot 0.2^{2x} - 126 \cdot 0.2^x + 5 \le 0 $;

5) $ \frac{0.6^x - 0.216}{2 - x} \le 0 $;

6) $ (5^x - 25)\sqrt{3 - x} \le 0 $.

1) $(\frac{3}{7})^{x^2} < (\frac{7}{3})^{4x-21}$

Приведем неравенство к одному основанию. Заметим, что $\frac{7}{3} = (\frac{3}{7})^{-1}$.

$(\frac{3}{7})^{x^2} < ((\frac{3}{7})^{-1})^{4x-21}$

$(\frac{3}{7})^{x^2} < (\frac{3}{7})^{-(4x-21)}$

$(\frac{3}{7})^{x^2} < (\frac{3}{7})^{21-4x}$

Так как основание степени $a = \frac{3}{7}$ и $0 < a < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 > 21-4x$

$x^2 + 4x - 21 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x - 21 = 0$.

По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -4$, $x_1 \cdot x_2 = -21$. Корни: $x_1 = -7$, $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 + 4x - 21$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

$x \in (-\infty; -7) \cup (3; +\infty)$

Ответ: $(-\infty; -7) \cup (3; +\infty)$.

2) $3^{x-1} + 3^{x-2} - 3^{x-4} \le 315$

Вынесем за скобки множитель с наименьшим показателем степени, то есть $3^{x-4}$:

$3^{x-4} \cdot 3^3 + 3^{x-4} \cdot 3^2 - 3^{x-4} \cdot 1 \le 315$

$3^{x-4}(3^3 + 3^2 - 1) \le 315$

$3^{x-4}(27 + 9 - 1) \le 315$

$3^{x-4} \cdot 35 \le 315$

Разделим обе части на 35:

$3^{x-4} \le \frac{315}{35}$

$3^{x-4} \le 9$

Представим 9 как степень 3:

$3^{x-4} \le 3^2$

Так как основание степени $a=3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x-4 \le 2$

$x \le 6$

Ответ: $(-\infty; 6]$.

3) $9^{x + 0,5} + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$

Приведем все степени к основанию 3:

$(3^2)^{x+0,5} + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$

$3^{2(x+0,5)} + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$

$3^{2x+1} + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$

$3^{2x} \cdot 3^1 + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$

$3 \cdot (3^x)^2 + 2 \cdot 3^x - 1 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

$3t^2 + 2t - 1 \ge 0$

Найдем корни уравнения $3t^2 + 2t - 1 = 0$.

Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

$t_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 4}{6} = -1$.

$t_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Решением неравенства $3t^2 + 2t - 1 \ge 0$ являются $t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{3}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t \ge \frac{1}{3}$.

Вернемся к исходной переменной:

$3^x \ge \frac{1}{3}$

$3^x \ge 3^{-1}$

Так как основание $a=3>1$, знак неравенства сохраняется:

$x \ge -1$

Ответ: $[-1; +\infty)$.

4) $25 \cdot 0,2^{2x} - 126 \cdot 0,2^x + 5 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 0,2^x$, где $t > 0$.

$25t^2 - 126t + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $25t^2 - 126t + 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-126)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 5 = 15876 - 500 = 15376 = 124^2$.

$t_1 = \frac{126 - 124}{2 \cdot 25} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}$.

$t_2 = \frac{126 + 124}{2 \cdot 25} = \frac{250}{50} = 5$.

Решением неравенства $25t^2 - 126t + 5 \le 0$ является интервал между корнями: $\frac{1}{25} \le t \le 5$.

Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t>0$.

Вернемся к исходной переменной:

$\frac{1}{25} \le 0,2^x \le 5$

Представим все числа в виде степени с основанием 0,2. Заметим, что $0,2 = \frac{1}{5}$, $\frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2 = 0,2^2$, и $5 = (\frac{1}{5})^{-1} = 0,2^{-1}$.

$0,2^2 \le 0,2^x \le 0,2^{-1}$

Так как основание степени $a = 0,2$ и $0 < a < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знаки неравенства меняются на противоположные:

$2 \ge x \ge -1$

Или, в более привычном виде: $-1 \le x \le 2$.

Ответ: $[-1; 2]$.

5) $\frac{0,6^x - 0,216}{2-x} \le 0$

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

1. Нуль числителя: $0,6^x - 0,216 = 0$.

$0,6^x = 0,216$

$0,6^x = \frac{216}{1000} = \frac{6^3}{10^3} = (\frac{6}{10})^3 = 0,6^3$

$x=3$.

2. Нуль знаменателя: $2-x = 0$.

$x=2$. (Эта точка будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю).

Нанесем точки $x=2$ и $x=3$ на числовую ось и определим знаки выражения в полученных интервалах.

Интервалы: $(-\infty; 2)$, $(2; 3)$, $(3; +\infty)$.

Пусть $f(x) = \frac{0,6^x - 0,216}{2-x}$.

При $x > 3$ (например, $x=4$): числитель $0,6^4 - 0,6^3 < 0$, знаменатель $2-4 < 0$. $f(x) > 0$.

При $2 < x < 3$ (например, $x=2,5$): числитель $0,6^{2,5} - 0,6^3 > 0$, знаменатель $2-2,5 < 0$. $f(x) < 0$.

При $x < 2$ (например, $x=0$): числитель $0,6^0 - 0,216 = 1 - 0,216 > 0$, знаменатель $2-0 > 0$. $f(x) > 0$.

Нам нужно, чтобы $f(x) \le 0$. Это выполняется на интервале $(2; 3)$. Также нужно включить точку, где числитель равен нулю, то есть $x=3$.

Таким образом, решение: $x \in (2; 3]$.

Ответ: $(2; 3]$.

6) $(5^x - 25)\sqrt{3-x} \le 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$3-x \ge 0 \implies x \le 3$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Произведение равно нулю.

Это возможно, если один из множителей равен нулю (и при этом выражение определено):

$5^x - 25 = 0 \implies 5^x = 25 \implies 5^x = 5^2 \implies x=2$. $x=2$ входит в ОДЗ.

$\sqrt{3-x} = 0 \implies 3-x = 0 \implies x=3$. $x=3$ входит в ОДЗ.

Значит, $x=2$ и $x=3$ являются решениями.

Случай 2: Произведение строго меньше нуля.

$(5^x - 25)\sqrt{3-x} < 0$.

На ОДЗ, при $x < 3$, множитель $\sqrt{3-x} > 0$. Чтобы произведение было отрицательным, второй множитель должен быть отрицательным:

$5^x - 25 < 0$

$5^x < 25$

$5^x < 5^2$

Так как основание $a=5>1$, знак неравенства сохраняется:

$x < 2$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \le 3$).

Объединяя решения из обоих случаев, получаем:

$x < 2$, $x=2$ и $x=3$.

Это можно записать как $x \in (-\infty; 2] \cup \{3\}$.

Ответ: $(-\infty; 2] \cup \{3\}$.