Номер 9, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 9

Первообразная

1. Докажите, что функция $F$ является первообразной функции $f$ на промежутке $I$:

1) $F(x) = \sqrt{4x + 9}$, $f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x + 9}}$, $I = (-2,25; +\infty)$;

2) $F(x) = \ln x^6 - x^3$, $f(x) = \frac{6 - 3x^3}{x}$, $I = (0; +\infty)$.

2. Является ли функция $F(x) = |4 - x|$ первообразной функции $f(x) = -1$ на промежутке:

1) $(-2; 3)$;

2) $(-1; 5)$?

3. Для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ на промежутке $I = (0; \pi)$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $M \left(\frac{\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

1. Докажите, что функция F является первообразной функции f на промежутке I:

1)

Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке I, необходимо показать, что производная $F'(x)$ равна $f(x)$ для всех $x$ из этого промежутка.

Даны функции: $F(x) = \sqrt{4x + 9}$ и $f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x + 9}}$ на промежутке $I = (-2,25; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

$F'(x) = (\sqrt{4x + 9})' = ((4x+9)^{1/2})' = \frac{1}{2}(4x+9)^{1/2 - 1} \cdot (4x+9)' = \frac{1}{2}(4x+9)^{-1/2} \cdot 4 = 2(4x+9)^{-1/2} = \frac{2}{(4x+9)^{1/2}} = \frac{2}{\sqrt{4x + 9}}$

Полученное выражение для $F'(x)$ в точности совпадает с функцией $f(x)$. Область определения $F'(x)$ и $f(x)$ — это $4x+9 > 0$, то есть $x > -2,25$, что соответствует промежутку $I$.

Таким образом, $F'(x) = f(x)$ на промежутке $I$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

Аналогично предыдущему пункту, найдем производную функции $F(x) = \ln x^6 - x^3$ и сравним ее с $f(x) = \frac{6 - 3x^3}{x}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$.

На промежутке $I = (0; +\infty)$, где $x > 0$, мы можем упростить $F(x)$, используя свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$:

$F(x) = \ln x^6 - x^3 = 6 \ln x - x^3$

Теперь найдем производную:

$F'(x) = (6 \ln x - x^3)' = (6 \ln x)' - (x^3)' = 6 \cdot \frac{1}{x} - 3x^2 = \frac{6}{x} - 3x^2$

Приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$F'(x) = \frac{6}{x} - \frac{3x^2 \cdot x}{x} = \frac{6 - 3x^3}{x}$

Результат $F'(x)$ полностью совпадает с функцией $f(x)$ на заданном промежутке $I = (0; +\infty)$.

Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Доказано.

2. Является ли функция $F(x) = |4 - x|$ первообразной функции $f(x) = -1$ на промежутке:

Для решения этой задачи раскроем модуль в функции $F(x)$:

$F(x) = |4-x| = \begin{cases} 4-x, & \text{если } 4-x \ge 0, \text{ т.е. } x \le 4 \\ -(4-x), & \text{если } 4-x < 0, \text{ т.е. } x > 4 \end{cases} = \begin{cases} 4-x, & \text{если } x \le 4 \\ x-4, & \text{если } x > 4 \end{cases}$

Теперь найдем производную $F'(x)$:

$F'(x) = \begin{cases} (4-x)' = -1, & \text{если } x < 4 \\ (x-4)' = 1, & \text{если } x > 4 \end{cases}$

В точке $x=4$ функция $F(x)$ не имеет производной (график имеет излом).

1) $(-2; 3)$

Весь промежуток $(-2; 3)$ лежит в области, где $x < 4$. На этом промежутке $F(x) = 4-x$, и ее производная $F'(x) = -1$.

Поскольку $F'(x) = f(x) = -1$ для всех $x$ из промежутка $(-2; 3)$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да, является.

2) $(-1; 5)$?

Промежуток $(-1; 5)$ содержит точку $x=4$.

На части этого промежутка, от $-1$ до $4$, производная $F'(x) = -1$.

Однако на другой части, от $4$ до $5$, производная $F'(x) = 1$.

Поскольку производная $F'(x)$ не равна $f(x)=-1$ на всем промежутке $(-1; 5)$, функция $F(x)$ не является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.

Ответ: Нет, не является.

3. Для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ на промежутке $I = (0; \pi)$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $M\left(\frac{\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Сначала найдем общее выражение для первообразной функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$. Это табличный интеграл.

$F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

По условию, график искомой первообразной проходит через точку $M\left(\frac{\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Это означает, что при $x = \frac{\pi}{3}$ значение функции $F(x)$ должно быть равно $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим координаты точки $M$ в уравнение для $F(x)$, чтобы найти константу $C$:

$F\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) + C = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Вычислим значение котангенса: $\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\tan(\pi/3)} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим это значение в наше уравнение:

$-\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + C = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Отсюда находим $C$:

$C = -\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = 0$

Таким образом, постоянная $C=0$. Подставляем ее в общее выражение для первообразной и получаем искомую функцию:

$F(x) = -\cot x$

Ответ: $F(x) = -\cot x$.