Номер 12, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 12

Площадь криволинейной трапеции.

Определённый интеграл.

Вычисление объёмов тел

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $y = x^2 + 2x + 2$ и $y = 6 - x^2$;

2) $y = 2 - x$ и $y = |x^2 - 4|$.

2. Найдите, при каком значении параметра $a$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x^2$ и прямыми $y = 0$, $x = a$, $x = a + 3$, принимает наименьшее значение.

3. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите

$\int_0^2 \sqrt{4x - x^2} dx$.

4. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции

$y = \sqrt{x + 2}$ и прямыми $x = 7$ и $y = 0$.

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2 + 2x + 2$ и $y = 6 - x^2$, сначала найдем точки пересечения этих графиков, приравняв их уравнения:

$x^2 + 2x + 2 = 6 - x^2$

$2x^2 + 2x - 4 = 0$

$x^2 + x - 2 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Это будут пределы интегрирования.

Чтобы определить, какая функция находится выше на интервале $[-2, 1]$, выберем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$.

Для первой функции: $y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 + 2 = 2$.

Для второй функции: $y(0) = 6 - 0^2 = 6$.

Так как $6 > 2$, график функции $y = 6 - x^2$ находится выше графика $y = x^2 + 2x + 2$ на данном интервале.

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-2}^{1} ((6 - x^2) - (x^2 + 2x + 2)) \,dx = \int_{-2}^{1} (4 - 2x - 2x^2) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$\int_{-2}^{1} (4 - 2x - 2x^2) \,dx = (4x - \frac{2x^2}{2} - \frac{2x^3}{3}) \Big|_{-2}^{1} = (4x - x^2 - \frac{2}{3}x^3) \Big|_{-2}^{1}$

$= (4(1) - (1)^2 - \frac{2}{3}(1)^3) - (4(-2) - (-2)^2 - \frac{2}{3}(-2)^3)$

$= (4 - 1 - \frac{2}{3}) - (-8 - 4 - \frac{2}{3}(-8)) = (3 - \frac{2}{3}) - (-12 + \frac{16}{3})$

$= \frac{7}{3} - (-\frac{36}{3} + \frac{16}{3}) = \frac{7}{3} - (-\frac{20}{3}) = \frac{7}{3} + \frac{20}{3} = \frac{27}{3} = 9$

Ответ: 9

2)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = 2 - x$ и $y = |x^2 - 4|$, найдем точки их пересечения.

Функция $y = |x^2 - 4|$ может быть записана как:

$y = x^2 - 4$, если $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$

$y = 4 - x^2$, если $x \in (-2, 2)$

Найдем точки пересечения прямой с каждой частью параболы.

Случай 1: $2 - x = x^2 - 4$ на $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$

$x^2 + x - 6 = 0 \implies (x+3)(x-2) = 0 \implies x_1 = -3, x_2 = 2$. Оба корня принадлежат указанным промежуткам.

Случай 2: $2 - x = 4 - x^2$ на $(-2, 2)$

$x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0 \implies x_3 = 2, x_4 = -1$. Корень $x = -1$ принадлежит интервалу $(-2, 2)$.

Таким образом, точки пересечения: $x = -3, x = -1, x = 2$. Площадь фигуры будет суммой интегралов на промежутках $[-3, -1]$ и $[-1, 2]$.

На промежутке $[-3, -1]$, проверим, какая функция больше (например, в точке $x=-2$): $y_{линия} = 2 - (-2) = 4$, $y_{парабола} = |(-2)^2 - 4| = 0$. Линия выше.

На промежутке $[-1, 2]$, проверим в точке $x=0$: $y_{линия} = 2 - 0 = 2$, $y_{парабола} = |0^2 - 4| = 4$. Парабола выше.

Площадь $S$ является суммой двух интегралов. Заметим, что на отрезке $[-3, -1]$ модуль раскрывается по-разному до и после $x=-2$.

$S = \int_{-3}^{-2} ((2-x) - (x^2 - 4)) \,dx + \int_{-2}^{-1} ((2-x) - (4 - x^2)) \,dx + \int_{-1}^{2} ((4 - x^2) - (2 - x)) \,dx$

$S = \int_{-3}^{-2} (-x^2 - x + 6) \,dx + \int_{-2}^{-1} (x^2 - x - 2) \,dx + \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \,dx$

$S_1 = (-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x) \Big|_{-3}^{-2} = (\frac{8}{3} - 2 - 12) - (9 - \frac{9}{2} - 18) = -\frac{34}{3} - (-\frac{27}{2}) = \frac{13}{6}$

$S_2 = (\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x) \Big|_{-2}^{-1} = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (-\frac{8}{3} - 2 + 4) = \frac{7}{6} - (-\frac{2}{3}) = \frac{11}{6}$

$S_3 = (-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x) \Big|_{-1}^{2} = (-\frac{8}{3} + 2 + 4) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = \frac{10}{3} - (-\frac{7}{6}) = \frac{27}{6}$

$S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{13}{6} + \frac{11}{6} + \frac{27}{6} = \frac{51}{6} = \frac{17}{2} = 8.5$

Ответ: 8.5

2.

Площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x^2$ и прямыми $y = 0$, $x = a$, $x = a + 3$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Так как $y=3x^2 \ge 0$ для любого $x$, площадь $S$ равна:

$S(a) = \int_{a}^{a+3} 3x^2 \,dx$

Вычислим этот интеграл:

$S(a) = [x^3] \Big|_{a}^{a+3} = (a+3)^3 - a^3$

Раскроем скобки:

$S(a) = (a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 + 3^3) - a^3 = (a^3 + 9a^2 + 27a + 27) - a^3$

$S(a) = 9a^2 + 27a + 27$

Мы получили квадратичную функцию площади $S(a)$ от параметра $a$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, следовательно, она имеет наименьшее значение в своей вершине. Координату $a$ вершины параболы $Ax^2+Bx+C$ можно найти по формуле $a_0 = -B/(2A)$.

В нашем случае $A=9$, $B=27$.

$a = -\frac{27}{2 \cdot 9} = -\frac{27}{18} = -\frac{3}{2}$

Таким образом, площадь принимает наименьшее значение при $a = -1.5$.

Ответ: -1.5

3.

Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{0}^{2} \sqrt{4x - x^2} \,dx$ — это площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{4x - x^2}$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=0$ и $x=2$.

Рассмотрим уравнение кривой $y = \sqrt{4x - x^2}$.

Поскольку $y \ge 0$, мы можем возвести обе части в квадрат:

$y^2 = 4x - x^2$

$x^2 - 4x + y^2 = 0$

Выделим полный квадрат для переменной $x$:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$

Это уравнение окружности с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

Так как исходное уравнение было $y = \sqrt{4x - x^2}$, что подразумевает $y \ge 0$, речь идет о верхней половине этой окружности.

Интегрирование ведется от $x=0$ до $x=2$. Это соответствует левой четверти окружности (от самой левой точки $(0,0)$ до центра $(2,0)$).

Площадь всей окружности равна $A_{circle} = \pi r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Площадь четверти окружности равна $\frac{1}{4} A_{circle} = \frac{1}{4} \cdot 4\pi = \pi$.

Следовательно, значение интеграла равно площади этой четверти круга.

Ответ: $\pi$

4.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx$

В нашем случае функция $y = \sqrt{x+2}$. Фигура ограничена этим графиком, осью $y=0$ и прямой $x=7$. Найдем левую границу интегрирования, приравняв функцию к нулю: $\sqrt{x+2} = 0 \implies x = -2$.

Таким образом, пределы интегрирования от $a=-2$ до $b=7$.

Квадрат функции равен $[f(x)]^2 = (\sqrt{x+2})^2 = x+2$.

Подставляем в формулу объёма:

$V = \pi \int_{-2}^{7} (x+2) \,dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right] \Big|_{-2}^{7}$

$V = \pi \left( (\frac{7^2}{2} + 2 \cdot 7) - (\frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2)) \right)$

$V = \pi \left( (\frac{49}{2} + 14) - (\frac{4}{2} - 4) \right)$

$V = \pi \left( (\frac{49+28}{2}) - (2 - 4) \right)$

$V = \pi \left( \frac{77}{2} - (-2) \right) = \pi (\frac{77}{2} + 2) = \pi (\frac{77+4}{2}) = \frac{81\pi}{2}$

Ответ: $\frac{81\pi}{2}$