Номер 10, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 10

ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНОЙ

1. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = x^4 - \frac{3}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty);$

2) $f(x) = \frac{7}{\cos^2 x} + 2\sin x$ на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}).$

2. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, график которой проходит через данную точку:

1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{7x-5}}, I = (\frac{5}{7}; +\infty), A(3; 2);$

2) $f(x) = \frac{1}{4x-1} - e^{-3x}, I = (-\infty; \frac{1}{4}), M(0; 1).$

3. Скорость материальной точки, которая движется по координатной прямой, изменяется по закону $v(t) = 5 - 2t$. Найдите формулу, которая выражает зависимость координаты точки от времени, если в момент времени $t = 4$ с точка находилась на расстоянии 32 м от начала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

4. Найдите $\int \cos 7x \cos 4x \, dx$.

1.

1) Общий вид первообразных для функции $f(x)$ находится по формуле $F(x) = \int f(x) dx$.
Для функции $f(x) = x^4 - \frac{3}{\sqrt{x}}$ представим ее в виде $f(x) = x^4 - 3x^{-1/2}$.
Используя правило нахождения первообразной для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получим:
$F(x) = \int (x^4 - 3x^{-1/2}) dx = \int x^4 dx - 3 \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} - 3 \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^5}{5} - 3 \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^5}{5} - 6\sqrt{x} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^5}{5} - 6\sqrt{x} + C$.

2) Для функции $f(x) = \frac{7}{\cos^2 x} + 2\sin x$ на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ найдем общий вид первообразных.
Используя табличные первообразные $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$ и $\int \sin x dx = -\cos x + C$, получим:
$F(x) = \int (\frac{7}{\cos^2 x} + 2\sin x) dx = 7 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx + 2 \int \sin x dx = 7\tan x + 2(-\cos x) + C = 7\tan x - 2\cos x + C$.
Ответ: $F(x) = 7\tan x - 2\cos x + C$.

2.

1) Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{7x-5}} = (7x-5)^{-1/2}$.
Используя правило $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k}\frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, получим:
$F(x) = \int (7x-5)^{-1/2} dx = \frac{1}{7} \frac{(7x-5)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{7} \frac{(7x-5)^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{7}\sqrt{7x-5} + C$.
Так как график первообразной проходит через точку $A(3; 2)$, то должно выполняться условие $F(3) = 2$. Подставим значения:
$\frac{2}{7}\sqrt{7 \cdot 3 - 5} + C = 2$
$\frac{2}{7}\sqrt{16} + C = 2$
$\frac{2}{7} \cdot 4 + C = 2$
$\frac{8}{7} + C = 2$
$C = 2 - \frac{8}{7} = \frac{6}{7}$.
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \frac{2}{7}\sqrt{7x-5} + \frac{6}{7}$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{7}\sqrt{7x-5} + \frac{6}{7}$.

2) Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{4x-1} - e^{-3x}$.
Используя табличные первообразные $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$ и $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$, получим:
$F(x) = \int (\frac{1}{4x-1} - e^{-3x}) dx = \frac{1}{4}\ln|4x-1| - (\frac{1}{-3}e^{-3x}) + C = \frac{1}{4}\ln|4x-1| + \frac{1}{3}e^{-3x} + C$.
На промежутке $I = (-\infty; \frac{1}{4})$ выражение $4x-1$ отрицательно, поэтому $|4x-1| = -(4x-1) = 1-4x$.
$F(x) = \frac{1}{4}\ln(1-4x) + \frac{1}{3}e^{-3x} + C$.
Так как график первообразной проходит через точку $M(0; 1)$, то $F(0) = 1$. Подставим значения:
$\frac{1}{4}\ln(1-4 \cdot 0) + \frac{1}{3}e^{-3 \cdot 0} + C = 1$
$\frac{1}{4}\ln(1) + \frac{1}{3}e^0 + C = 1$
$0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + C = 1$
$C = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{4}\ln(1-4x) + \frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{2}{3}$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{4}\ln(1-4x) + \frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{2}{3}$.

3. Зависимость координаты точки от времени $x(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$.
Найдем общий вид первообразной для $v(t) = 5 - 2t$:
$x(t) = \int (5 - 2t) dt = 5t - 2\frac{t^2}{2} + C = 5t - t^2 + C$.
По условию, в момент времени $t = 4$ с точка находилась на расстоянии 32 м от начала координат, то есть $|x(4)| = 32$. Это означает, что $x(4) = 32$ или $x(4) = -32$.
Рассмотрим два возможных случая:
1) Если $x(4) = 32$:
$5(4) - (4)^2 + C = 32 \Rightarrow 20 - 16 + C = 32 \Rightarrow 4 + C = 32 \Rightarrow C = 28$.
В этом случае формула: $x(t) = -t^2 + 5t + 28$.
2) Если $x(4) = -32$:
$5(4) - (4)^2 + C = -32 \Rightarrow 20 - 16 + C = -32 \Rightarrow 4 + C = -32 \Rightarrow C = -36$.
В этом случае формула: $x(t) = -t^2 + 5t - 36$.
Ответ: $x(t) = -t^2 + 5t + 28$ или $x(t) = -t^2 + 5t - 36$.

4. Для нахождения интеграла $\int \cos 7x \cos 4x dx$ воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.
Применим эту формулу к подынтегральному выражению, где $\alpha=7x$ и $\beta=4x$:
$\cos 7x \cos 4x = \frac{1}{2}(\cos(7x - 4x) + \cos(7x + 4x)) = \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos 11x)$.
Теперь проинтегрируем полученное выражение:
$\int \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos 11x) dx = \frac{1}{2} \int (\cos 3x + \cos 11x) dx$
$= \frac{1}{2} (\int \cos 3x dx + \int \cos 11x dx) = \frac{1}{2} (\frac{1}{3}\sin 3x + \frac{1}{11}\sin 11x) + C$
$= \frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{22}\sin 11x + C$.
Ответ: $\frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{22}\sin 11x + C$.