Номер 15, страница 22 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 15

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Корень n-й степени из комплексного числа

1. Найдите произведение и частное комплексных чисел $z_1$ и $z_2$, если:

1) $z_1 = 3(\cos \frac{3\pi}{8} - i\sin \frac{3\pi}{8})$, $z_2 = 4(\cos \frac{\pi}{8} + i\sin \frac{\pi}{8})$

2) $z_1 = 2(\cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6})$, $z_2 = \sqrt{3} - i$

2. Найдите значение выражения $(\sqrt{3} - i)^7$.

3. Изобразите на комплексной плоскости числа, являющиеся корнями третьей степени из числа $z = 1 + \sqrt{3}i$.

1.

1)

Даны комплексные числа $z_1 = 3(\cos\frac{3\pi}{8} - i\sin\frac{3\pi}{8})$ и $z_2 = 4(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8})$.

Приведем число $z_1$ к стандартной тригонометрической форме $r(\cos\phi + i\sin\phi)$, используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$):

$z_1 = 3(\cos(-\frac{3\pi}{8}) + i\sin(-\frac{3\pi}{8}))$

Таким образом, для $z_1$ модуль $r_1 = 3$ и аргумент $\phi_1 = -\frac{3\pi}{8}$.

Для $z_2$ модуль $r_2 = 4$ и аргумент $\phi_2 = \frac{\pi}{8}$.

Для нахождения произведения $z_1 \cdot z_2$ используем формулу:

$z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2))$

$z_1 z_2 = 3 \cdot 4 (\cos(-\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) + i\sin(-\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}))$

$z_1 z_2 = 12 (\cos(-\frac{2\pi}{8}) + i\sin(-\frac{2\pi}{8})) = 12 (\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

$z_1 z_2 = 12 (\cos\frac{\pi}{4} - i\sin\frac{\pi}{4}) = 12(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2}i$

Для нахождения частного $\frac{z_1}{z_2}$ используем формулу:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2))$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{4} (\cos(-\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8}) + i\sin(-\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8}))$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{4} (\cos(-\frac{4\pi}{8}) + i\sin(-\frac{4\pi}{8})) = \frac{3}{4} (\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{4} (0 - i \cdot 1) = -\frac{3}{4}i$

Ответ: $z_1 z_2 = 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2}i$; $\frac{z_1}{z_2} = -\frac{3}{4}i$.

2)

Даны комплексные числа $z_1 = 2(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$ и $z_2 = \sqrt{3} - i$.

Сначала представим число $z_2$ в тригонометрической форме $z_2 = r_2(\cos\phi_2 + i\sin\phi_2)$.

Находим модуль: $r_2 = |\sqrt{3} - i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

Находим аргумент: $\cos\phi_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\phi_2 = -\frac{1}{2}$. Угол находится в IV четверти, следовательно $\phi_2 = -\frac{\pi}{6}$.

Итак, $z_2 = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Для $z_1$ имеем: $r_1 = 2$, $\phi_1 = \frac{5\pi}{6}$.

Произведение $z_1 \cdot z_2$:

$z_1 z_2 = 2 \cdot 2 (\cos(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}))$

$z_1 z_2 = 4 (\cos(\frac{4\pi}{6}) + i\sin(\frac{4\pi}{6})) = 4 (\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3})$

$z_1 z_2 = 4(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + 2\sqrt{3}i$

Частное $\frac{z_1}{z_2}$:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{2} (\cos(\frac{5\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6})) + i\sin(\frac{5\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6})))$

$\frac{z_1}{z_2} = 1 (\cos(\frac{6\pi}{6}) + i\sin(\frac{6\pi}{6})) = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 \cdot i = -1$

Ответ: $z_1 z_2 = -2 + 2\sqrt{3}i$; $\frac{z_1}{z_2} = -1$.

2.

Чтобы найти значение выражения $(\sqrt{3}-i)^7$, необходимо представить комплексное число $z = \sqrt{3}-i$ в тригонометрической форме и затем применить формулу Муавра $z^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$.

Тригонометрическая форма числа $z = \sqrt{3}-i$ была найдена в задаче 1.2):

$z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$

Здесь модуль $r=2$, аргумент $\phi = -\frac{\pi}{6}$, степень $n=7$.

Подставляем в формулу Муавра:

$(\sqrt{3}-i)^7 = 2^7 (\cos(7 \cdot (-\frac{\pi}{6})) + i\sin(7 \cdot (-\frac{\pi}{6})))$

$= 128 (\cos(-\frac{7\pi}{6}) + i\sin(-\frac{7\pi}{6}))$

Вычисляем значения косинуса и синуса:

$\cos(-\frac{7\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(-\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -(-\sin(\frac{\pi}{6})) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Тогда:

$(\sqrt{3}-i)^7 = 128(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -64\sqrt{3} + 64i$

Ответ: $-64\sqrt{3} + 64i$.

3.

Требуется найти и изобразить на комплексной плоскости все корни третьей степени из числа $z = 1 + \sqrt{3}i$.

Шаг 1: Представление числа в тригонометрической форме.

Найдем модуль $r$ и аргумент $\phi$ числа $z$.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

Аргумент: $\cos\phi = \frac{1}{r} = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{3}}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол находится в I четверти, значит $\phi = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, $z = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$.

Шаг 2: Вычисление корней.

Формула для корней n-й степени из комплексного числа $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$ имеет вид:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

В нашем случае $n=3$, $r=2$, $\phi = \frac{\pi}{3}$.

$w_k = \sqrt[3]{2} \left( \cos\left(\frac{\frac{\pi}{3} + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{3} + 2\pi k}{3}\right) \right) = \sqrt[3]{2} \left( \cos\left(\frac{\pi + 6\pi k}{9}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 6\pi k}{9}\right) \right)$

Вычислим корни для $k=0, 1, 2$:

• При $k=0$: $w_0 = \sqrt[3]{2} (\cos\frac{\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{9})$
• При $k=1$: $w_1 = \sqrt[3]{2} (\cos\frac{7\pi}{9} + i\sin\frac{7\pi}{9})$
• При $k=2$: $w_2 = \sqrt[3]{2} (\cos\frac{13\pi}{9} + i\sin\frac{13\pi}{9})$

Шаг 3: Изображение корней на комплексной плоскости.

Все три корня лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt[3]{2}$. Они являются вершинами правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

Углы, которые образуют радиус-векторы корней с положительным направлением действительной оси (Re), равны $\frac{\pi}{9} (20^\circ)$, $\frac{7\pi}{9} (140^\circ)$ и $\frac{13\pi}{9} (260^\circ)$.

Ответ: Корни $w_0 = \sqrt[3]{2} (\cos\frac{\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{9})$, $w_1 = \sqrt[3]{2} (\cos\frac{7\pi}{9} + i\sin\frac{7\pi}{9})$, $w_2 = \sqrt[3]{2} (\cos\frac{13\pi}{9} + i\sin\frac{13\pi}{9})$. Изображение корней на комплексной плоскости представлено выше.