Страница 22 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Комплексная плоскость.

Тригонометрическая форма

комплексного числа

1. Запишите в тригонометрической форме комплексное число:

1) -4;

2) 9i;

3) $2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$;

4) $\frac{1+5i}{1-i}$.

2. Изобразите на комплексной плоскости все числа $z$, удовлетворяющие условию:

1) $Im \, z = -2$;

2) $z\bar{z} \le 9$;

3) $|z + 2i| > 2$;

4) $|z + 3| = |z + 1 - i|$.

1. Запишите в тригонометрической форме комплексное число:

2. Изобразите на комплексной плоскости все числа z, удовлетворяющие условию:

Самостоятельная работа № 15

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Корень n-й степени из комплексного числа

1. Найдите произведение и частное комплексных чисел $z_1$ и $z_2$, если:

1) $z_1 = 3(\cos \frac{3\pi}{8} - i\sin \frac{3\pi}{8})$, $z_2 = 4(\cos \frac{\pi}{8} + i\sin \frac{\pi}{8})$

2) $z_1 = 2(\cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6})$, $z_2 = \sqrt{3} - i$

2. Найдите значение выражения $(\sqrt{3} - i)^7$.

3. Изобразите на комплексной плоскости числа, являющиеся корнями третьей степени из числа $z = 1 + \sqrt{3}i$.

1.

1)

Даны комплексные числа $z_1 = 3(\cos\frac{3\pi}{8} - i\sin\frac{3\pi}{8})$ и $z_2 = 4(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8})$.

Приведем число $z_1$ к стандартной тригонометрической форме $r(\cos\phi + i\sin\phi)$, используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos\alpha$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$):

$z_1 = 3(\cos(-\frac{3\pi}{8}) + i\sin(-\frac{3\pi}{8}))$

Таким образом, для $z_1$ модуль $r_1 = 3$ и аргумент $\phi_1 = -\frac{3\pi}{8}$.

Для $z_2$ модуль $r_2 = 4$ и аргумент $\phi_2 = \frac{\pi}{8}$.

Для нахождения произведения $z_1 \cdot z_2$ используем формулу:

$z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2))$

$z_1 z_2 = 3 \cdot 4 (\cos(-\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) + i\sin(-\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8}))$

$z_1 z_2 = 12 (\cos(-\frac{2\pi}{8}) + i\sin(-\frac{2\pi}{8})) = 12 (\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

$z_1 z_2 = 12 (\cos\frac{\pi}{4} - i\sin\frac{\pi}{4}) = 12(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2}i$

Для нахождения частного $\frac{z_1}{z_2}$ используем формулу:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} (\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2))$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{4} (\cos(-\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8}) + i\sin(-\frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8}))$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{4} (\cos(-\frac{4\pi}{8}) + i\sin(-\frac{4\pi}{8})) = \frac{3}{4} (\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{4} (0 - i \cdot 1) = -\frac{3}{4}i$

Ответ: $z_1 z_2 = 6\sqrt{2} - 6\sqrt{2}i$; $\frac{z_1}{z_2} = -\frac{3}{4}i$.

2)

Даны комплексные числа $z_1 = 2(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$ и $z_2 = \sqrt{3} - i$.

Сначала представим число $z_2$ в тригонометрической форме $z_2 = r_2(\cos\phi_2 + i\sin\phi_2)$.

Находим модуль: $r_2 = |\sqrt{3} - i| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

Находим аргумент: $\cos\phi_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\phi_2 = -\frac{1}{2}$. Угол находится в IV четверти, следовательно $\phi_2 = -\frac{\pi}{6}$.

Итак, $z_2 = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$.

Для $z_1$ имеем: $r_1 = 2$, $\phi_1 = \frac{5\pi}{6}$.

Произведение $z_1 \cdot z_2$:

$z_1 z_2 = 2 \cdot 2 (\cos(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}))$

$z_1 z_2 = 4 (\cos(\frac{4\pi}{6}) + i\sin(\frac{4\pi}{6})) = 4 (\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3})$

$z_1 z_2 = 4(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 + 2\sqrt{3}i$

Частное $\frac{z_1}{z_2}$:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{2} (\cos(\frac{5\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6})) + i\sin(\frac{5\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6})))$

$\frac{z_1}{z_2} = 1 (\cos(\frac{6\pi}{6}) + i\sin(\frac{6\pi}{6})) = \cos\pi + i\sin\pi = -1 + 0 \cdot i = -1$

Ответ: $z_1 z_2 = -2 + 2\sqrt{3}i$; $\frac{z_1}{z_2} = -1$.

2.

Чтобы найти значение выражения $(\sqrt{3}-i)^7$, необходимо представить комплексное число $z = \sqrt{3}-i$ в тригонометрической форме и затем применить формулу Муавра $z^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$.

Тригонометрическая форма числа $z = \sqrt{3}-i$ была найдена в задаче 1.2):

$z = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$

Здесь модуль $r=2$, аргумент $\phi = -\frac{\pi}{6}$, степень $n=7$.

Подставляем в формулу Муавра:

$(\sqrt{3}-i)^7 = 2^7 (\cos(7 \cdot (-\frac{\pi}{6})) + i\sin(7 \cdot (-\frac{\pi}{6})))$

$= 128 (\cos(-\frac{7\pi}{6}) + i\sin(-\frac{7\pi}{6}))$

Вычисляем значения косинуса и синуса:

$\cos(-\frac{7\pi}{6}) = \cos(\frac{7\pi}{6}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(-\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\pi + \frac{\pi}{6}) = -(-\sin(\frac{\pi}{6})) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Тогда:

$(\sqrt{3}-i)^7 = 128(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -64\sqrt{3} + 64i$

Ответ: $-64\sqrt{3} + 64i$.

3.

Требуется найти и изобразить на комплексной плоскости все корни третьей степени из числа $z = 1 + \sqrt{3}i$.

Шаг 1: Представление числа в тригонометрической форме.

Найдем модуль $r$ и аргумент $\phi$ числа $z$.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.

Аргумент: $\cos\phi = \frac{1}{r} = \frac{1}{2}$, $\sin\phi = \frac{\sqrt{3}}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Угол находится в I четверти, значит $\phi = \frac{\pi}{3}$.

Таким образом, $z = 2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$.

Шаг 2: Вычисление корней.

Формула для корней n-й степени из комплексного числа $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$ имеет вид:

$w_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{\phi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

В нашем случае $n=3$, $r=2$, $\phi = \frac{\pi}{3}$.

$w_k = \sqrt[3]{2} \left( \cos\left(\frac{\frac{\pi}{3} + 2\pi k}{3}\right) + i\sin\left(\frac{\frac{\pi}{3} + 2\pi k}{3}\right) \right) = \sqrt[3]{2} \left( \cos\left(\frac{\pi + 6\pi k}{9}\right) + i\sin\left(\frac{\pi + 6\pi k}{9}\right) \right)$

Вычислим корни для $k=0, 1, 2$:

• При $k=0$: $w_0 = \sqrt[3]{2} (\cos\frac{\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{9})$
• При $k=1$: $w_1 = \sqrt[3]{2} (\cos\frac{7\pi}{9} + i\sin\frac{7\pi}{9})$
• При $k=2$: $w_2 = \sqrt[3]{2} (\cos\frac{13\pi}{9} + i\sin\frac{13\pi}{9})$

Шаг 3: Изображение корней на комплексной плоскости.

Все три корня лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt[3]{2}$. Они являются вершинами правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

Углы, которые образуют радиус-векторы корней с положительным направлением действительной оси (Re), равны $\frac{\pi}{9} (20^\circ)$, $\frac{7\pi}{9} (140^\circ)$ и $\frac{13\pi}{9} (260^\circ)$.

Ответ: Корни $w_0 = \sqrt[3]{2} (\cos\frac{\pi}{9} + i\sin\frac{\pi}{9})$, $w_1 = \sqrt[3]{2} (\cos\frac{7\pi}{9} + i\sin\frac{7\pi}{9})$, $w_2 = \sqrt[3]{2} (\cos\frac{13\pi}{9} + i\sin\frac{13\pi}{9})$. Изображение корней на комплексной плоскости представлено выше.

Самостоятельная работа № 16

Решение алгебраических уравнений

на множестве комплексных чисел

1. Решите уравнение:

1) $z^2 - 4z + 13 = 0$;

2) $z^2 + (3 + 2i)z + 6i = 0$;

3) $z^2 - 4z - 2 + 8i = 0$.

2. Решите уравнение:

1) $z^3 - 3z^2 + 16z - 48 = 0$;

2) $z^4 - 4i = 0$.

3. Корнями уравнения $x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = 0$ являются три комплексных числа $x_1$, $x_2$, $x_3$. Составьте кубическое уравнение с корнями $-2x_1$, $-2x_2$ и $-2x_3$.

1. Решите уравнение:

1) $z^2 - 4z + 13 = 0$

Это квадратное уравнение вида $az^2+bz+c=0$. Решим его с помощью формулы для нахождения корней:

$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Здесь $a=1, b=-4, c=13$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$.

Так как дискриминант отрицательный, корни будут комплексными.

$\sqrt{D} = \sqrt{-36} = \sqrt{36 \cdot (-1)} = 6i$.

Теперь найдем корни:

$z = \frac{-(-4) \pm 6i}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i$.

Таким образом, корни уравнения: $z_1 = 2 + 3i$ и $z_2 = 2 - 3i$.

Ответ: $z = 2 \pm 3i$.

2) $z^2 + (3 + 2i)z + 6i = 0$

Используем формулу для корней квадратного уравнения, где $a=1, b=3+2i, c=6i$.

Найдем дискриминант:

$D = (3+2i)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6i = (9 + 12i + 4i^2) - 24i = (9 - 4 + 12i) - 24i = 5 - 12i$.

Нужно найти квадратный корень из комплексного числа $D = 5 - 12i$. Пусть $\sqrt{5 - 12i} = x + yi$.

Тогда $(x+yi)^2 = 5 - 12i$, что равносильно $x^2 - y^2 + 2xyi = 5 - 12i$.

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 5 \\ 2xy = -12 \end{cases}$

Из второго уравнения $y = -6/x$. Подставляем в первое:

$x^2 - (-6/x)^2 = 5 \implies x^2 - 36/x^2 = 5 \implies x^4 - 5x^2 - 36 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Пусть $t = x^2$ ($t \ge 0$).

$t^2 - 5t - 36 = 0$. Корни этого уравнения по теореме Виета $t_1 = 9$ и $t_2 = -4$.

Так как $t$ не может быть отрицательным, выбираем $t=9$.

$x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

Если $x=3$, то $y = -6/3 = -2$. Если $x=-3$, то $y = -6/(-3) = 2$.

Таким образом, $\sqrt{5 - 12i} = \pm(3 - 2i)$.

Подставляем в формулу для корней:

$z = \frac{-(3+2i) \pm (3-2i)}{2}$.

$z_1 = \frac{-3-2i + 3-2i}{2} = \frac{-4i}{2} = -2i$.

$z_2 = \frac{-3-2i - (3-2i)}{2} = \frac{-3-2i - 3+2i}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Ответ: $z_1 = -3, z_2 = -2i$.

3) $z^2 - 4z - 2 + 8i = 0$

Используем формулу для корней квадратного уравнения, где $a=1, b=-4, c=-2+8i$.

Найдем дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2+8i) = 16 + 8 - 32i = 24 - 32i$.

Найдем квадратный корень из $D = 24 - 32i$. Пусть $\sqrt{24 - 32i} = x + yi$.

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 24 \\ 2xy = -32 \end{cases}$

Также $|x+yi|^2 = x^2+y^2 = |24-32i| = \sqrt{24^2+(-32)^2} = \sqrt{576+1024} = \sqrt{1600} = 40$.

Получаем новую систему:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 24 \\ x^2 + y^2 = 40 \end{cases}$

Складывая уравнения, получаем $2x^2 = 64 \implies x^2 = 32 \implies x = \pm\sqrt{32} = \pm4\sqrt{2}$.

Вычитая первое из второго, получаем $2y^2 = 16 \implies y^2 = 8 \implies y = \pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$.

Так как $2xy = -32 < 0$, знаки $x$ и $y$ должны быть противоположными.

Следовательно, $\sqrt{24 - 32i} = \pm(4\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i)$.

Подставляем в формулу для корней:

$z = \frac{-(-4) \pm (4\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i)}{2} = \frac{4 \pm (4\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i)}{2} = 2 \pm (2\sqrt{2} - i\sqrt{2})$.

Ответ: $z_1 = 2 + 2\sqrt{2} - i\sqrt{2}, z_2 = 2 - 2\sqrt{2} + i\sqrt{2}$.

2. Решите уравнение:

1) $z^3 - 3z^2 + 16z - 48 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(z^3 - 3z^2) + (16z - 48) = 0$

$z^2(z-3) + 16(z-3) = 0$

$(z^2+16)(z-3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $z-3 = 0 \implies z_1 = 3$.

2. $z^2+16 = 0 \implies z^2 = -16 \implies z = \pm\sqrt{-16} = \pm 4i$.

Ответ: $z_1 = 3, z_2 = 4i, z_3 = -4i$.

2) $z^4 - 4i = 0$

Уравнение можно переписать как $z^4 = 4i$. Это задача на извлечение корня 4-й степени из комплексного числа $4i$.

Сначала представим число $4i$ в тригонометрической форме $w = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$.

Модуль $r = |4i| = \sqrt{0^2 + 4^2} = 4$.

Аргумент $\varphi = \arg(4i) = \frac{\pi}{2}$ (число лежит на положительной мнимой оси).

Итак, $4i = 4(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$.

Корни $z_k$ находятся по формуле Муавра:

$z_k = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) \right)$, где $k = 0, 1, ..., n-1$.

В нашем случае $n=4, r=4, \varphi=\frac{\pi}{2}$.

$z_k = \sqrt[4]{4} \left( \cos\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{4}\right) + i \sin\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{4}\right) \right) = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right) \right)$.

Вычисляем корни для $k=0, 1, 2, 3$:

$z_0 = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{8}\right) \right)$

$z_1 = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{5\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{5\pi}{8}\right) \right)$

$z_2 = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{9\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{9\pi}{8}\right) \right)$

$z_3 = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{13\pi}{8}\right) + i \sin\left(\frac{13\pi}{8}\right) \right)$

Ответ: $z_k = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}\right) \right)$ для $k=0, 1, 2, 3$.

3. Корнями уравнения $x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = 0$ являются три комплексных числа $x_1, x_2, x_3$. Составьте кубическое уравнение с корнями $-2x_1, -2x_2$ и $-2x_3$.

Пусть исходное уравнение $P(x) = x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = 0$ имеет корни $x_1, x_2, x_3$.

Требуется составить новое кубическое уравнение $Q(y) = 0$, корнями которого являются $y_1 = -2x_1$, $y_2 = -2x_2$, $y_3 = -2x_3$.

Из соотношения $y = -2x$ выразим $x$: $x = -\frac{y}{2}$.

Подставим это выражение для $x$ в исходное уравнение $P(x)=0$:

$P(-\frac{y}{2}) = \left(-\frac{y}{2}\right)^3 + 4\left(-\frac{y}{2}\right)^2 - 3\left(-\frac{y}{2}\right) + 1 = 0$.

Выполним преобразования:

$-\frac{y^3}{8} + 4\left(\frac{y^2}{4}\right) + \frac{3y}{2} + 1 = 0$

$-\frac{y^3}{8} + y^2 + \frac{3y}{2} + 1 = 0$

Чтобы избавиться от дробей и сделать старший коэффициент положительным, умножим всё уравнение на -8:

$-8 \cdot \left(-\frac{y^3}{8}\right) - 8 \cdot y^2 - 8 \cdot \left(\frac{3y}{2}\right) - 8 \cdot 1 = 0$

$y^3 - 8y^2 - 12y - 8 = 0$.

Это и есть искомое кубическое уравнение. Обычно переменную в уравнении обозначают как $x$.

Ответ: $x^3 - 8x^2 - 12x - 8 = 0$.