Страница 26 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Схема Бернулли. Биномиальное распределение

1. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна $\frac{5}{7}$. Какова вероятность того, что в десяти выстрелах будет сделано три промаха?

2. Игральный кубик бросают девять раз. Какова вероятность того, что нечётное число выпадает:

1) не более двух раз;

2) больше семи раз?

3. Случайная величина $z$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n = 6$ и $p = 0,4$. Найдите $P(2 \le z < 4)$.

1. Данная задача решается с помощью формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. Вероятность наступления события $k$ раз в $n$ испытаниях равна:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где $n$ – общее число испытаний, $k$ – число наступлений интересующего события, $p$ – вероятность наступления этого события в одном испытании, а $q = 1-p$ – вероятность его ненаступления.
В нашем случае:

• Общее число выстрелов (испытаний) $n = 10$.
• Интересующее нас событие – промах.
• Вероятность попадания в мишень равна $\frac{5}{7}$.
• Следовательно, вероятность промаха (событие $p$) в одном выстреле равна $p = 1 - \frac{5}{7} = \frac{2}{7}$.
• Вероятность попадания (событие $q$) равна $q = 1 - p = \frac{5}{7}$.
• Требуется найти вероятность того, что будет сделано ровно три промаха, то есть $k = 3$.

Подставим эти значения в формулу Бернулли:
$P_{10}(3) = C_{10}^3 \cdot (\frac{2}{7})^3 \cdot (\frac{5}{7})^{10-3} = C_{10}^3 \cdot (\frac{2}{7})^3 \cdot (\frac{5}{7})^7$
Рассчитаем число сочетаний $C_{10}^3$:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$
Теперь вычислим итоговую вероятность:
$P_{10}(3) = 120 \cdot \frac{2^3}{7^3} \cdot \frac{5^7}{7^7} = 120 \cdot \frac{8 \cdot 78125}{7^{10}} = \frac{960 \cdot 78125}{282475249} = \frac{75000000}{282475249}$
Ответ: $P_{10}(3) = \frac{120 \cdot 2^3 \cdot 5^7}{7^{10}} = \frac{75000000}{282475249}$

2. Используем ту же формулу Бернулли. В данном случае:

• Число бросков кубика (испытаний) $n = 9$.
• Интересующее событие – выпадение нечётного числа. На стандартном кубике 3 нечётных числа (1, 3, 5) из 6 возможных.
• Вероятность успеха (выпадение нечётного числа) $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
• Вероятность неудачи (выпадение чётного числа) $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

1) не более двух раз
Событие "нечётное число выпадет не более двух раз" означает, что оно выпадет 0, 1 или 2 раза. Нам нужно найти сумму вероятностей этих событий: $P(k \le 2) = P_9(0) + P_9(1) + P_9(2)$.
$P_9(k) = C_9^k \cdot (\frac{1}{2})^k \cdot (\frac{1}{2})^{9-k} = C_9^k \cdot (\frac{1}{2})^9 = C_9^k \cdot \frac{1}{512}$
$P_9(0) = C_9^0 \cdot \frac{1}{512} = 1 \cdot \frac{1}{512} = \frac{1}{512}$
$P_9(1) = C_9^1 \cdot \frac{1}{512} = 9 \cdot \frac{1}{512} = \frac{9}{512}$
$P_9(2) = C_9^2 \cdot \frac{1}{512} = \frac{9 \cdot 8}{2} \cdot \frac{1}{512} = 36 \cdot \frac{1}{512} = \frac{36}{512}$
Суммируем вероятности:
$P(k \le 2) = \frac{1}{512} + \frac{9}{512} + \frac{36}{512} = \frac{46}{512} = \frac{23}{256}$
Ответ: $\frac{23}{256}$

2) больше семи раз
Событие "нечётное число выпадет больше семи раз" означает, что оно выпадет 8 или 9 раз. Нам нужно найти сумму вероятностей: $P(k > 7) = P_9(8) + P_9(9)$.
$P_9(8) = C_9^8 \cdot \frac{1}{512} = C_9^1 \cdot \frac{1}{512} = 9 \cdot \frac{1}{512} = \frac{9}{512}$
$P_9(9) = C_9^9 \cdot \frac{1}{512} = 1 \cdot \frac{1}{512} = \frac{1}{512}$
Суммируем вероятности:
$P(k > 7) = \frac{9}{512} + \frac{1}{512} = \frac{10}{512} = \frac{5}{256}$
Ответ: $\frac{5}{256}$

3. Случайная величина $z$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n=6$ и $p=0,4$. Вероятность того, что величина $z$ примет значение $k$, вычисляется по формуле:
$P(z=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где $n=6$, $p=0,4$, а $q = 1 - p = 1 - 0,4 = 0,6$.
Нам нужно найти $P(2 \le z < 4)$. Поскольку $z$ – дискретная величина (принимает только целые значения), это неравенство эквивалентно тому, что $z$ может быть равно 2 или 3. Таким образом, искомая вероятность равна сумме вероятностей:
$P(2 \le z < 4) = P(z=2) + P(z=3)$
Вычислим каждое слагаемое:
$P(z=2) = C_6^2 \cdot (0,4)^2 \cdot (0,6)^{6-2} = \frac{6 \cdot 5}{2} \cdot 0,16 \cdot (0,6)^4 = 15 \cdot 0,16 \cdot 0,1296 = 2,4 \cdot 0,1296 = 0,31104$
$P(z=3) = C_6^3 \cdot (0,4)^3 \cdot (0,6)^{6-3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 0,064 \cdot (0,6)^3 = 20 \cdot 0,064 \cdot 0,216 = 1,28 \cdot 0,216 = 0,27648$
Теперь найдем сумму:
$P(2 \le z < 4) = 0,31104 + 0,27648 = 0,58752$
Ответ: $0,58752$

Самостоятельная работа № 23

Характеристики случайной величины

1. В коробке лежат 5 красных и 6 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 4 шара и записывают количество вынутых красных шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

2. Случайная величина $x$ имеет следующее распределение вероятностей.

Значение $x$: 1, 2, 4

Вероятность, %: 30, 25, 45

Найдите:

1) математическое ожидание;

2) дисперсию;

3) стандартное отклонение;

4) среднее абсолютное отклонение.

1.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству вынутых красных шаров. Всего в коробке находится $5$ красных и $6$ синих шаров, то есть $5 + 6 = 11$ шаров. Из коробки случайным образом вынимают $4$ шара.

Математическое ожидание случайной величины можно найти, составив её закон распределения. Случайная величина $X$ может принимать значения $0, 1, 2, 3, 4$.

Общее число способов выбрать $4$ шара из $11$ равно числу сочетаний $C_{11}^4$.

$C_{11}^4 = \frac{11!}{4!(11-4)!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 330$.

Теперь найдем вероятности для каждого возможного значения $X$. Вероятность $P(X=k)$ находится по формуле гипергеометрического распределения: $P(X=k) = \frac{C_5^k \cdot C_6^{4-k}}{C_{11}^4}$.

• Вероятность вынуть 0 красных шаров (и 4 синих):
  $P(X=0) = \frac{C_5^0 \cdot C_6^4}{C_{11}^4} = \frac{1 \cdot \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}}{330} = \frac{15}{330}$.
• Вероятность вынуть 1 красный шар (и 3 синих):
  $P(X=1) = \frac{C_5^1 \cdot C_6^3}{C_{11}^4} = \frac{5 \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{330} = \frac{5 \cdot 20}{330} = \frac{100}{330}$.
• Вероятность вынуть 2 красных шара (и 2 синих):
  $P(X=2) = \frac{C_5^2 \cdot C_6^2}{C_{11}^4} = \frac{\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1}}{330} = \frac{10 \cdot 15}{330} = \frac{150}{330}$.
• Вероятность вынуть 3 красных шара (и 1 синий):
  $P(X=3) = \frac{C_5^3 \cdot C_6^1}{C_{11}^4} = \frac{\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 6}{330} = \frac{10 \cdot 6}{330} = \frac{60}{330}$.
• Вероятность вынуть 4 красных шара (и 0 синих):
  $P(X=4) = \frac{C_5^4 \cdot C_6^0}{C_{11}^4} = \frac{5 \cdot 1}{330} = \frac{5}{330}$.

Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется по формуле $M(X) = \sum_{i} x_i p_i$:

$M(X) = 0 \cdot \frac{15}{330} + 1 \cdot \frac{100}{330} + 2 \cdot \frac{150}{330} + 3 \cdot \frac{60}{330} + 4 \cdot \frac{5}{330}$

$M(X) = \frac{0 + 100 + 300 + 180 + 20}{330} = \frac{600}{330} = \frac{60}{33} = \frac{20}{11}$.

Также можно использовать формулу математического ожидания для гипергеометрического распределения: $M(X) = n \cdot \frac{K}{N}$, где $n=4$ — размер выборки, $K=5$ — количество "успехов" в совокупности (красные шары), $N=11$ — размер совокупности.

$M(X) = 4 \cdot \frac{5}{11} = \frac{20}{11}$.

Ответ: $\frac{20}{11}$.

2.

Дано распределение вероятностей случайной величины $x$. Вероятности, указанные в процентах, переведем в доли:

1) математическое ожидание

Математическое ожидание $M(x)$ находится по формуле $M(x) = \sum_{i} x_i p_i$.

$M(x) = 1 \cdot 0.30 + 2 \cdot 0.25 + 4 \cdot 0.45 = 0.30 + 0.50 + 1.80 = 2.6$.

Ответ: $2.6$.

2) дисперсию

Дисперсия $D(x)$ вычисляется по формуле $D(x) = M(x^2) - [M(x)]^2$. Сначала найдем $M(x^2)$:

$M(x^2) = \sum_{i} x_i^2 p_i = 1^2 \cdot 0.30 + 2^2 \cdot 0.25 + 4^2 \cdot 0.45 = 1 \cdot 0.30 + 4 \cdot 0.25 + 16 \cdot 0.45 = 0.30 + 1.00 + 7.20 = 8.5$.

Теперь вычислим дисперсию:

$D(x) = M(x^2) - [M(x)]^2 = 8.5 - (2.6)^2 = 8.5 - 6.76 = 1.74$.

Ответ: $1.74$.

3) стандартное отклонение

Стандартное (среднее квадратическое) отклонение $\sigma(x)$ равно квадратному корню из дисперсии:

$\sigma(x) = \sqrt{D(x)} = \sqrt{1.74} \approx 1.319$.

Ответ: $\approx 1.319$.

4) среднее абсолютное отклонение

Среднее абсолютное отклонение $MAD(x)$ вычисляется по формуле $MAD(x) = \sum_{i} |x_i - M(x)| p_i$.

$MAD(x) = |1 - 2.6| \cdot 0.30 + |2 - 2.6| \cdot 0.25 + |4 - 2.6| \cdot 0.45$

$MAD(x) = 1.6 \cdot 0.30 + 0.6 \cdot 0.25 + 1.4 \cdot 0.45 = 0.48 + 0.15 + 0.63 = 1.26$.

Ответ: $1.26$.