Страница 33 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 12

Площадь криволинейной трапеции.

Определённый интеграл.

Вычисление объёмов тел

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $y = x^2 + 2x + 1$ и $y = 5 - x^2$;

2) $y = x + 4$ и $y = |x^2 + 4x|$.

2. Найдите, при каком значении параметра а площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 9x^2$ и прямыми $y = 0$, $x = a$, $x = a - 3$, принимает наименьшее значение.

3. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите

$\int_{-4}^{-2} \sqrt{-4x - x^2} dx$.

4. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{x - 3}$ и прямыми $x = 7$ и $y = 0$.

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2 + 2x + 1$ и $y = 5 - x^2$, сначала найдем точки их пересечения, приравняв выражения для $y$:
$x^2 + 2x + 1 = 5 - x^2$
$2x^2 + 2x - 4 = 0$
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Это будут пределы интегрирования.

Далее определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $(-2, 1)$. Возьмем пробную точку $x=0$:
$y_1 = 0^2 + 2 \cdot 0 + 1 = 1$
$y_2 = 5 - 0^2 = 5$
Так как $5 > 1$, на интервале $[-2, 1]$ график функции $y = 5 - x^2$ лежит выше графика функции $y = x^2 + 2x + 1$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{-2}^{1} ((5 - x^2) - (x^2 + 2x + 1)) dx = \int_{-2}^{1} (4 - 2x - 2x^2) dx$
Вычислим определенный интеграл:
$S = [4x - 2\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3}]_{-2}^{1} = [4x - x^2 - \frac{2}{3}x^3]_{-2}^{1}$
$S = (4(1) - (1)^2 - \frac{2}{3}(1)^3) - (4(-2) - (-2)^2 - \frac{2}{3}(-2)^3)$
$S = (4 - 1 - \frac{2}{3}) - (-8 - 4 - \frac{2}{3}(-8)) = (3 - \frac{2}{3}) - (-12 + \frac{16}{3})$
$S = \frac{7}{3} - (\frac{-36 + 16}{3}) = \frac{7}{3} - (-\frac{20}{3}) = \frac{7 + 20}{3} = \frac{27}{3} = 9$
Ответ: 9

2)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками $y = x + 4$ и $y = |x^2 + 4x|$, найдем точки их пересечения.
$x + 4 = |x^2 + 4x|$. Так как левая часть $x+4$ должна быть неотрицательной, то $x \ge -4$.
Раскроем модуль:
1) $x^2 + 4x \ge 0 \implies x(x+4) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$.
Уравнение: $x+4 = x^2+4x \implies x^2+3x-4=0 \implies (x+4)(x-1)=0$. Корни $x=-4$ и $x=1$. Оба удовлетворяют условию.2) $x^2 + 4x < 0 \implies x(x+4) < 0 \implies x \in (-4, 0)$.
Уравнение: $x+4 = -(x^2+4x) \implies x^2+5x+4=0 \implies (x+4)(x+1)=0$. Корни $x=-4$ (не входит в интервал) и $x=-1$.

Точки пересечения: $x = -4$, $x = -1$, $x = 1$. Площадь нужно разбить на интегралы по промежуткам $[-4, -1]$ и $[-1, 1]$.
На интервале $[-4, -1]$: $x \in (-4,0)$, поэтому $|x^2+4x| = -x^2-4x$. Сравним функции: $(-x^2-4x) - (x+4) = -x^2-5x-4 = -(x+1)(x+4)$. На $(-4,-1)$ это выражение положительно, значит $-x^2-4x$ больше.$S_1 = \int_{-4}^{-1} ((-x^2-4x) - (x+4)) dx = \int_{-4}^{-1} (-x^2-5x-4) dx = [-\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - 4x]_{-4}^{-1} = (\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4) - (\frac{64}{3} - 40 + 16) = \frac{11}{6} - (-\frac{8}{3}) = \frac{11+16}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

На интервале $[-1, 1]$: нужно разбить на два участка: $[-1, 0]$ и $[0, 1]$.
На $[-1, 0]$: $|x^2+4x| = -x^2-4x$. Функция $x+4$ больше.$S_2 = \int_{-1}^{0} ((x+4) - (-x^2-4x)) dx = \int_{-1}^{0} (x^2+5x+4) dx = [\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 4x]_{-1}^{0} = 0 - (-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4) = -(\frac{-2+15-24}{6}) = \frac{11}{6}$.

На $[0, 1]$: $|x^2+4x| = x^2+4x$. Функция $x+4$ больше.$S_3 = \int_{0}^{1} ((x+4) - (x^2+4x)) dx = \int_{0}^{1} (-x^2-3x+4) dx = [-\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 4x]_{0}^{1} = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4 - 0 = \frac{-2-9+24}{6} = \frac{13}{6}$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{9}{2} + \frac{11}{6} + \frac{13}{6} = \frac{27}{6} + \frac{11}{6} + \frac{13}{6} = \frac{51}{6} = \frac{17}{2}$.
Ответ: $\frac{17}{2}$

2.

Фигура ограничена параболой $y = 9x^2$, осью абсцисс $y=0$ и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=a-3$. Так как $9x^2 \ge 0$ для любого $x$, площадь фигуры $S$ можно найти с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования — от $a-3$ до $a$.
$S(a) = \int_{a-3}^{a} 9x^2 dx$
Вычислим интеграл:
$S(a) = [9\frac{x^3}{3}]_{a-3}^{a} = [3x^3]_{a-3}^{a} = 3a^3 - 3(a-3)^3$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$S(a) = 3a^3 - 3(a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 - 3^3) = 3a^3 - 3(a^3 - 9a^2 + 27a - 27)$
$S(a) = 3a^3 - 3a^3 + 27a^2 - 81a + 81 = 27a^2 - 81a + 81$
Получили квадратичную функцию от $a$. Это парабола с ветвями вверх, ее наименьшее значение достигается в вершине. Найдем координату вершины $a_0$ по формуле $a_0 = -\frac{B}{2A}$:
$a_0 = -\frac{-81}{2 \cdot 27} = \frac{81}{54} = \frac{3}{2}$
Таким образом, площадь принимает наименьшее значение при $a = 1.5$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

3.

Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{a}^{b} f(x) dx$ — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$, $x=b$.
Рассмотрим функцию под интегралом: $y = \sqrt{-4x - x^2}$.
Возведем обе части в квадрат: $y^2 = -4x - x^2$ (при условии $y \ge 0$).
$x^2 + 4x + y^2 = 0$
Выделим полный квадрат для $x$:
$(x^2 + 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$
$(x+2)^2 + y^2 = 4 = 2^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $C(-2, 0)$ и радиусом $R=2$. Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем верхнюю полуокружность.
Интеграл $\int_{-4}^{-2} \sqrt{-4x - x^2} dx$ представляет собой площадь фигуры под верхней полуокружностью от $x=-4$ до $x=-2$. Пределы интегрирования соответствуют левой четверти окружности (от самой левой точки $x=-4$ до центра $x=-2$).
Площадь всей окружности равна $A = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.
Площадь, соответствующая интегралу, равна площади четверти круга:
$S = \frac{1}{4} A = \frac{1}{4} \cdot 4\pi = \pi$
Ответ: $\pi$

4.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$, $x=b$, вычисляется по формуле:
$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$
В данном случае фигура ограничена $y = \sqrt{x-3}$, $y=0$ (ось абсцисс) и $x=7$. Нижний предел интегрирования найдем из условия $y=0 \implies \sqrt{x-3} = 0 \implies x=3$. Таким образом, пределы интегрирования от $a=3$ до $b=7$.
Подставим данные в формулу:
$f(x) = \sqrt{x-3} \implies [f(x)]^2 = (\sqrt{x-3})^2 = x-3$
$V = \pi \int_{3}^{7} (x-3) dx$
Вычислим интеграл:
$V = \pi [\frac{x^2}{2} - 3x]_{3}^{7} = \pi ((\frac{7^2}{2} - 3 \cdot 7) - (\frac{3^2}{2} - 3 \cdot 3))$
$V = \pi ((\frac{49}{2} - 21) - (\frac{9}{2} - 9)) = \pi ((\frac{49-42}{2}) - (\frac{9-18}{2})) = \pi (\frac{7}{2} - (-\frac{9}{2}))$
$V = \pi (\frac{7+9}{2}) = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi$
Ответ: $8\pi$

Самостоятельная работа № 13

Множество комплексных чисел

1. Дано: $z_1 = 2 + i$, $z_2 = 3 - 4i$. Вычислите:

1) $3z_1 + z_2$;

2) $3z_1 - \overline{z_2}$;

3) $|z_1 z_2|$;

4) $\frac{z_1}{z_2}$.

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 6i)(1 - 6i) - i(2 + 3i)^2$;

2) $\frac{1 - 6i}{1 + 6i} - \frac{1 + 6i}{1 - 6i}$;

3) $(3 - 2i)^4$.

3. Найдите все такие комплексные числа $z$, что $z^2 = 3 - 4i$.

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + \dots + i^{45}$.

1. Дано: $z_1 = 2 + i$, $z_2 = 3 - 4i$. Вычислите:

1) $3z_1 + z_2$
Подставим значения $z_1$ и $z_2$ в выражение:
$3(2 + i) + (3 - 4i) = 6 + 3i + 3 - 4i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$(6 + 3) + (3i - 4i) = 9 - i$
Ответ: $9 - i$

2) $3z_1 - \bar{z_2}$
Найдем комплексно-сопряженное число к $z_2$: $\bar{z_2} = \overline{3 - 4i} = 3 + 4i$.
Подставим значения в выражение:
$3(2 + i) - (3 + 4i) = 6 + 3i - 3 - 4i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$(6 - 3) + (3i - 4i) = 3 - i$
Ответ: $3 - i$

3) $|z_1 z_2|$
Воспользуемся свойством модуля произведения комплексных чисел: $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.
Найдем модули каждого числа:
$|z_1| = |2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$
$|z_2| = |3 - 4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
Перемножим модули:
$|z_1 z_2| = \sqrt{5} \cdot 5 = 5\sqrt{5}$
Ответ: $5\sqrt{5}$

4) $\frac{z_1}{z_2}$
Подставим значения $z_1$ и $z_2$ и умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю ($3 + 4i$):
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + i}{3 - 4i} = \frac{(2 + i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)}$
Раскроем скобки в числителе:
$(2 + i)(3 + 4i) = 6 + 8i + 3i + 4i^2 = 6 + 11i - 4 = 2 + 11i$
Раскроем скобки в знаменателе:
$(3 - 4i)(3 + 4i) = 3^2 - (4i)^2 = 9 - 16i^2 = 9 + 16 = 25$
Получим частное:
$\frac{2 + 11i}{25} = \frac{2}{25} + \frac{11}{25}i$
Ответ: $\frac{2}{25} + \frac{11}{25}i$

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 6i)(1 - 6i) - i(2 + 3i)^2$
Упростим каждую часть выражения по отдельности.
Первая часть (разность квадратов):
$(1 + 6i)(1 - 6i) = 1^2 - (6i)^2 = 1 - 36i^2 = 1 + 36 = 37$
Вторая часть (квадрат суммы):
$(2 + 3i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3i + (3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i$
Подставим результаты в исходное выражение:
$37 - i(-5 + 12i) = 37 + 5i - 12i^2 = 37 + 5i + 12 = 49 + 5i$
Ответ: $49 + 5i$

2) $\frac{1 - 6i}{1 + 6i} - \frac{1 + 6i}{1 - 6i}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + 6i)(1 - 6i)$:
$(1 + 6i)(1 - 6i) = 1^2 - (6i)^2 = 1 + 36 = 37$
$\frac{(1 - 6i)^2 - (1 + 6i)^2}{37}$
В числителе воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$a - b = (1 - 6i) - (1 + 6i) = 1 - 6i - 1 - 6i = -12i$
$a + b = (1 - 6i) + (1 + 6i) = 2$
Числитель равен $(-12i)(2) = -24i$.
Таким образом, выражение равно:
$\frac{-24i}{37} = -\frac{24}{37}i$
Ответ: $-\frac{24}{37}i$

3) $(3 - 2i)^4$
Представим степень как $( (3 - 2i)^2 )^2$.
Сначала возведем в квадрат:
$(3 - 2i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2i + (2i)^2 = 9 - 12i + 4i^2 = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i$
Теперь возведем результат в квадрат:
$(5 - 12i)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 12i + (12i)^2 = 25 - 120i + 144i^2 = 25 - 120i - 144 = -119 - 120i$
Ответ: $-119 - 120i$

3. Найдите все такие комплексные числа z, что $z^2 = 3 - 4i$.

Пусть $z = x + yi$, где $x, y \in \mathbb{R}$.
Тогда $z^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = (x^2 - y^2) + (2xy)i$.
Приравниваем это выражение к $3 - 4i$ и составляем систему уравнений для действительной и мнимой частей:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ 2xy = -4 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y = -\frac{2}{x}$ и подставим в первое:
$x^2 - \left(-\frac{2}{x}\right)^2 = 3$
$x^2 - \frac{4}{x^2} = 3$
$x^4 - 4 = 3x^2$
$x^4 - 3x^2 - 4 = 0$
Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):
$t^2 - 3t - 4 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не подходит, так как $t = x^2 \ge 0$.
Следовательно, $x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = -\frac{2}{2} = -1$. Получаем число $z_1 = 2 - i$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -\frac{2}{-2} = 1$. Получаем число $z_2 = -2 + i$.
Ответ: $z = 2 - i$ и $z = -2 + i$

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + ... + i^{45}$.

Данное выражение является суммой членов геометрической прогрессии, где первый член $a_1 = 1$, знаменатель $q = i$, а количество членов $n = 45 - 0 + 1 = 46$.
Воспользуемся формулой суммы $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
$S_{46} = \frac{1(i^{46} - 1)}{i - 1}$
Найдем значение $i^{46}$. Степени мнимой единицы повторяются с циклом 4 ($i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$).
$46 = 4 \cdot 11 + 2$, поэтому $i^{46} = (i^4)^{11} \cdot i^2 = 1^{11} \cdot (-1) = -1$.
Подставим это значение в формулу суммы:
$S_{46} = \frac{-1 - 1}{i - 1} = \frac{-2}{i - 1} = \frac{2}{1 - i}$
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $(1 + i)$:
$\frac{2(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2(1 + i)}{1^2 - i^2} = \frac{2(1 + i)}{1 - (-1)} = \frac{2(1 + i)}{2} = 1 + i$
Ответ: $1 + i$