Страница 40 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 1

Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция

1. Найдите значение выражения:

1) $3^{(1 + \sqrt{5})^2} : 3^{2\sqrt{5}};$

2) $3^{\sqrt{50}} : 81^{\sqrt{2}};$

3) $((\sqrt[6]{5})^{\sqrt{18}})^{\sqrt{18}}.$

2. Упростите выражение:

1) $(a^{\sqrt{5}} - 9)(a^{\sqrt{5}} + 9) - (a^{\sqrt{5}} + 4)^2;$

2) $\frac{a^{2\sqrt{7}} + 5a^{\sqrt{7}}}{a^{2\sqrt{7}} - 25}.$

3. Сравните значения выражений:

1) $8^{0,2}$ и $8^{\frac{1}{6}};

2) $1$ и $10^{-\frac{4}{5}};

3) $(\sqrt{7} - 2)^{-4,7}$ и $(\sqrt{7} - 2)^{-4,6};

4) $(4 - \sqrt{15})^{0,7}$ и $(4 + \sqrt{15})^{-0,8}$.

4. Найдите область значений функции:

1) $y = -6^x;$

2) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x + 7;$

3) $y = 11^{|x|};$

4) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|\sin x|} + 7.$

5. Постройте график функции:

1) $y = 4^x - 2;$

2) $y = \left|\left(\frac{1}{3}\right)^x - 1\right|.$

6. Решите неравенство:

$4^{|x| + 2} \le 10 \cos x + 6$.

1. Найдите значение выражения:

1) $3^{(1 + \sqrt{5})^2} : 3^{2\sqrt{5}}$

Сначала упростим показатель первой степени: $(1 + \sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}$.

Теперь выражение принимает вид: $3^{6 + 2\sqrt{5}} : 3^{2\sqrt{5}}$.

Используя свойство степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$, получаем:

$3^{(6 + 2\sqrt{5}) - 2\sqrt{5}} = 3^6 = 729$.

Ответ: 729

2) $3^{\sqrt{50}} : 81^{\sqrt{2}}$

Упростим основания и показатели. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

Представим 81 как степень 3: $81 = 3^4$.

Выражение принимает вид: $3^{5\sqrt{2}} : (3^4)^{\sqrt{2}}$.

Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $(3^4)^{\sqrt{2}} = 3^{4\sqrt{2}}$.

Теперь разделим степени с одинаковым основанием: $3^{5\sqrt{2}} : 3^{4\sqrt{2}} = 3^{5\sqrt{2} - 4\sqrt{2}} = 3^{\sqrt{2}}$.

Ответ: $3^{\sqrt{2}}$

3) $((\frac{6}{5})^{\sqrt{18}})^{\sqrt{18}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$((\frac{6}{5})^{\sqrt{18}})^{\sqrt{18}} = (\frac{6}{5})^{\sqrt{18} \cdot \sqrt{18}} = (\frac{6}{5})^{18}$.

Ответ: $(\frac{6}{5})^{18}$

2. Упростите выражение:

1) $(a^{\sqrt{5}} - 9)(a^{\sqrt{5}} + 9) - (a^{\sqrt{5}} + 4)^2$

Пусть $x = a^{\sqrt{5}}$. Тогда выражение примет вид: $(x - 9)(x + 9) - (x + 4)^2$.

Применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ и формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(x^2 - 9^2) - (x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) = (x^2 - 81) - (x^2 + 8x + 16)$.

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$x^2 - 81 - x^2 - 8x - 16 = -8x - 97$.

Подставляем обратно $x = a^{\sqrt{5}}$:

$-8a^{\sqrt{5}} - 97$.

Ответ: $-8a^{\sqrt{5}} - 97$

2) $\frac{a^{2\sqrt{7}} + 5a^{\sqrt{7}}}{a^{2\sqrt{7}} - 25}$

Пусть $x = a^{\sqrt{7}}$. Тогда $x^2 = (a^{\sqrt{7}})^2 = a^{2\sqrt{7}}$. Выражение принимает вид: $\frac{x^2 + 5x}{x^2 - 25}$.

Факторизуем числитель и знаменатель:

В числителе выносим общий множитель $x$: $x(x+5)$.

В знаменателе применяем формулу разности квадратов: $(x - 5)(x + 5)$.

Получаем дробь: $\frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)}$.

Сокращаем на $(x+5)$ (при условии $x \neq -5$): $\frac{x}{x-5}$.

Подставляем обратно $x = a^{\sqrt{7}}$:

$\frac{a^{\sqrt{7}}}{a^{\sqrt{7}} - 5}$.

Ответ: $\frac{a^{\sqrt{7}}}{a^{\sqrt{7}} - 5}$

3. Сравните значения выражений:

1) $8^{0.2}$ и $8^{\frac{1}{6}}$

Представим $0.2$ в виде дроби: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Сравниваем $8^{\frac{1}{5}}$ и $8^{\frac{1}{6}}$. Основание степени $8 > 1$, поэтому показательная функция $y=8^x$ является возрастающей. Большему значению показателя соответствует большее значение функции.

Сравним показатели: $\frac{1}{5} > \frac{1}{6}$. Следовательно, $8^{\frac{1}{5}} > 8^{\frac{1}{6}}$.

Ответ: $8^{0.2} > 8^{\frac{1}{6}}$

2) $1$ и $10^{-\frac{4}{5}}$

Представим $1$ как $10^0$. Сравниваем $10^0$ и $10^{-\frac{4}{5}}$.

Основание степени $10 > 1$, поэтому функция $y=10^x$ возрастающая. Сравниваем показатели: $0 > -\frac{4}{5}$.

Следовательно, $10^0 > 10^{-\frac{4}{5}}$, то есть $1 > 10^{-\frac{4}{5}}$.

Ответ: $1 > 10^{-\frac{4}{5}}$

3) $(\sqrt{7}-2)^{-4.7}$ и $(\sqrt{7}-2)^{-4.6}$

Оценим основание степени: $a = \sqrt{7}-2$. Так как $2 < \sqrt{7} < 3$, то $0 < \sqrt{7}-2 < 1$.

Поскольку основание $0 < a < 1$, показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Большему значению показателя соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатели: $-4.7 < -4.6$.

Так как функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $(\sqrt{7}-2)^{-4.7} > (\sqrt{7}-2)^{-4.6}$.

Ответ: $(\sqrt{7}-2)^{-4.7} > (\sqrt{7}-2)^{-4.6}$

4) $(4-\sqrt{15})^{0.7}$ и $(4+\sqrt{15})^{-0.8}$

Найдем произведение оснований: $(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15}) = 4^2 - (\sqrt{15})^2 = 16 - 15 = 1$.

Отсюда следует, что $4+\sqrt{15} = \frac{1}{4-\sqrt{15}} = (4-\sqrt{15})^{-1}$.

Преобразуем второе выражение: $(4+\sqrt{15})^{-0.8} = ((4-\sqrt{15})^{-1})^{-0.8} = (4-\sqrt{15})^{(-1) \cdot (-0.8)} = (4-\sqrt{15})^{0.8}$.

Теперь задача сводится к сравнению $(4-\sqrt{15})^{0.7}$ и $(4-\sqrt{15})^{0.8}$.

Оценим основание $a=4-\sqrt{15}$. Так как $3 < \sqrt{15} < 4$, то $0 < 4-\sqrt{15} < 1$.

Функция $y=a^x$ с основанием $0 < a < 1$ является убывающей. Сравним показатели: $0.7 < 0.8$.

Для убывающей функции, чем меньше показатель, тем больше значение: $(4-\sqrt{15})^{0.7} > (4-\sqrt{15})^{0.8}$.

Ответ: $(4-\sqrt{15})^{0.7} > (4+\sqrt{15})^{-0.8}$

4. Найдите область значений функции:

1) $y = -6^x$

Область значений показательной функции $f(x)=6^x$ есть интервал $(0; +\infty)$.

Функция $y = -f(x) = -6^x$ получается отражением графика $f(x)$ относительно оси Ox. Ее область значений будет $(-\infty; 0)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$

2) $y = (\frac{1}{5})^x + 7$

Область значений функции $f(x)=(\frac{1}{5})^x$ есть интервал $(0; +\infty)$.

Функция $y = f(x) + 7$ получается сдвигом графика $f(x)$ на 7 единиц вверх. Следовательно, ее область значений $(0+7; +\infty+7) = (7; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (7; +\infty)$

3) $y = 11^{|x|}$

Область значений модуля $|x|$ есть $[0; +\infty)$.

Так как основание $11 > 1$, функция $f(t)=11^t$ возрастающая. Наименьшее значение она примет при наименьшем значении показателя, то есть при $|x|=0$.

$y_{min} = 11^0 = 1$.

При $|x| \to +\infty$, $y \to +\infty$. Таким образом, область значений функции $[1; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$

4) $y = (\frac{1}{3})^{|\sin x|} + 7$

Найдем область значений показателя $|\sin x|$. Функция $\sin x$ принимает значения в отрезке $[-1; 1]$, значит $|\sin x|$ принимает значения в отрезке $[0; 1]$.

Рассмотрим функцию $f(t) = (\frac{1}{3})^t$ на отрезке $t \in [0; 1]$. Так как основание $\frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей.

Ее наибольшее значение достигается при $t=0$: $f(0) = (\frac{1}{3})^0 = 1$.

Ее наименьшее значение достигается при $t=1$: $f(1) = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$.

Значит, область значений $(\frac{1}{3})^{|\sin x|}$ есть отрезок $[\frac{1}{3}; 1]$.

Функция $y$ получается прибавлением 7, поэтому ее область значений $[\frac{1}{3}+7; 1+7] = [7\frac{1}{3}; 8]$.

Ответ: $E(y) = [7\frac{1}{3}; 8]$

5. Постройте график функции:

1) $y = 4^{x-2}$

График функции $y=4^{x-2}$ получается из графика показательной функции $y=4^x$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Основные свойства графика $y=4^{x-2}$:

• Это возрастающая кривая.
• Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox).
• График проходит через точку $(2, 1)$, так как $y(2)=4^{2-2}=4^0=1$.
• Другие точки на графике: $(3, 4)$, $(1, 1/4)$.

Ответ: График функции $y=4^{x-2}$ — это график $y=4^x$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Это возрастающая экспоненциальная кривая с асимптотой $y=0$, проходящая через точку $(2,1)$.

2) $y = |(\frac{1}{3})^x - 1|$

Построение графика выполняется в несколько шагов:

1. Строим график функции $y_1 = (\frac{1}{3})^x$. Это стандартная убывающая показательная функция, проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.
2. Строим график функции $y_2 = (\frac{1}{3})^x - 1$. Он получается сдвигом графика $y_1$ на 1 единицу вниз. График $y_2$ проходит через начало координат $(0, 0)$, а его асимптота смещается к $y=-1$.
3. Строим итоговый график $y = |y_2| = |(\frac{1}{3})^x - 1|$. Для этого часть графика $y_2$, которая лежит ниже оси Ox (при $x>0$), симметрично отражаем относительно оси Ox. Часть графика, которая была выше или на оси Ox (при $x \le 0$), остается без изменений.

Итоговый график имеет "угол" в точке $(0,0)$, проходит через точку $(-1, 2)$ и при $x \to +\infty$ приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$.

Ответ: График функции $y = |(\frac{1}{3})^x - 1|$ имеет минимум в точке $(0,0)$, проходит через $(-1,2)$, является убывающим при $x<0$ и возрастающим при $x>0$, и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$ при $x \to +\infty$.

6. Решите неравенство $4^{|x|} + 2 \le 10\cos x + 6$

Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = 4^{|x|} + 2$ и $g(x) = 10\cos x + 6$.

Обе функции являются четными, так как $f(-x) = 4^{|-x|} + 2 = 4^{|x|} + 2 = f(x)$ и $g(-x) = 10\cos(-x) + 6 = 10\cos x + 6 = g(x)$. Поэтому достаточно решить неравенство для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить решение относительно $x=0$.

Для $x \ge 0$, неравенство принимает вид $4^x + 2 \le 10\cos x + 6$.

Проверим $x=0$: $4^0 + 2 = 3$ и $10\cos(0) + 6 = 16$. Неравенство $3 \le 16$ выполняется, значит $x=0$ является решением.

Рассмотрим случай, когда $|x| \ge \frac{\pi}{2}$. В этом случае $\cos x \le 0$.

Тогда правая часть $g(x) = 10\cos x + 6 \le 10 \cdot 0 + 6 = 6$.

Левая часть $f(x) = 4^{|x|} + 2 \ge 4^{\pi/2} + 2$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\pi/2 \approx 1.57$. $4^{1.5} = 8$, поэтому $4^{\pi/2} > 8$. Значит, $f(x) > 8+2 = 10$.

Получаем, что для $|x| \ge \frac{\pi}{2}$ левая часть больше 10, а правая часть не больше 6. В этом случае неравенство $f(x) \le g(x)$ не имеет решений.

Следовательно, все решения неравенства лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

На интервале $[0, \frac{\pi}{2})$ функция $f(x)=4^x+2$ является возрастающей, а функция $g(x)=10\cos x + 6$ является убывающей. Так как $f(0) < g(0)$, а $f(\frac{\pi}{2}) > g(\frac{\pi}{2})$, то существует единственная точка $x_0 \in (0, \frac{\pi}{2})$, в которой $f(x_0)=g(x_0)$.

Решением неравенства для $x \ge 0$ будет отрезок $[0, x_0]$. Учитывая четность, общее решение неравенства — это отрезок $[-x_0, x_0]$, где $x_0$ — единственный положительный корень уравнения $4^x + 2 = 10\cos x + 6$. Это уравнение является трансцендентным и не решается аналитически в элементарных функциях.

Заметим, что данное неравенство может быть представлено в виде, который решается методом оценки. Если предположить опечатку в условии, и неравенство имело вид $4^{|x|} + 8 \le 10\cos x$, то:

Левая часть: $4^{|x|} + 8 \ge 4^0 + 8 = 9$.

Правая часть: $10\cos x \le 10 \cdot 1 = 10$.

Это не приводит к однозначному решению. Если же неравенство имело вид $4^{|x|} + 9 \le 10\cos x$, то:

Левая часть $4^{|x|} + 9 \ge 10$. Правая часть $10\cos x \le 10$.

Неравенство возможно только в случае равенства, то есть $4^{|x|} + 9 = 10$ и $10\cos x = 10$. Из первого уравнения $|x|=0 \Rightarrow x=0$. Из второго $\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi k$. Единственное общее решение $x=0$.

Придерживаясь исходного условия, точный ответ может быть записан только через корень уравнения.

Ответ: Решением является отрезок $[-x_0, x_0]$, где $x_0$ - единственный положительный корень уравнения $4^x - 10\cos x - 4 = 0$.

Самостоятельная работа № 2

Показательные уравнения

1. Решите уравнение:

1) $0,16^x - 7 = 2,5^x + 5$;

2) $2 \cdot 7^x + 7^{x+2} = 357$;

3) $3^{2x} - 12 \cdot 3^x + 27 = 0$;

4) $2^{\cos 2x} - 5 \cdot 2^{\sin^2 x} = -2$;

5) $5 \cdot 36^x - 30^x - 6 \cdot 25^x = 0$;

6) $4^x = 18 - x$.

2. При каких значениях параметра $a$ уравнение $64^x - (a+6) \cdot 8^x + 8a - 16 = 0$ имеет один действительный корень?

1)

Приведем основания степеней к одному числу. Заметим, что $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$ и $2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1}$.
Подставим эти значения в исходное уравнение:
$((\frac{2}{5})^2)^{x-7} = ((\frac{2}{5})^{-1})^{x+5}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$(\frac{2}{5})^{2(x-7)} = (\frac{2}{5})^{-(x+5)}$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$2(x-7) = -(x+5)$
$2x - 14 = -x - 5$
$2x + x = 14 - 5$
$3x = 9$
$x = 3$
Ответ: $x=3$.

2)

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать слагаемое $7^{x+2}$:
$2 \cdot 7^x + 7^x \cdot 7^2 = 357$
$2 \cdot 7^x + 49 \cdot 7^x = 357$
Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:
$7^x (2 + 49) = 357$
$7^x \cdot 51 = 357$
Разделим обе части уравнения на 51:
$7^x = \frac{357}{51}$
$7^x = 7$
Так как $7 = 7^1$, получаем:
$x = 1$
Ответ: $x=1$.

3)

Заметим, что $3^{2x} = (3^x)^2$. Данное уравнение является квадратным относительно $3^x$.
Сделаем замену переменной: пусть $y = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.
Уравнение принимает вид:
$y^2 - 12y + 27 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а произведение равно 27. Корни уравнения: $y_1 = 3$ и $y_2 = 9$.
Оба корня удовлетворяют условию $y > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $3^x = y_1 \Rightarrow 3^x = 3 \Rightarrow 3^x = 3^1 \Rightarrow x = 1$.
2) $3^x = y_2 \Rightarrow 3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2$.
Ответ: $x=1, x=2$.

4)

Для решения уравнения воспользуемся тригонометрическим тождеством $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$.
$2^{1 - 2\sin^2(x)} - 5 \cdot 2^{-\sin^2(x)} = -2$
Применим свойство степеней $a^{m-n} = a^m/a^n$ или $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$:
$2^1 \cdot 2^{-2\sin^2(x)} - 5 \cdot 2^{-\sin^2(x)} + 2 = 0$
$2 \cdot (2^{-\sin^2(x)})^2 - 5 \cdot 2^{-\sin^2(x)} + 2 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $y = 2^{-\sin^2(x)}$.
Определим область допустимых значений для $y$. Так как $0 \le \sin^2(x) \le 1$, то $-1 \le -\sin^2(x) \le 0$.
Следовательно, $2^{-1} \le 2^{-\sin^2(x)} \le 2^0$, то есть $\frac{1}{2} \le y \le 1$.
Получаем квадратное уравнение:
$2y^2 - 5y + 2 = 0$
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
$y_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$y_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Корень $y_2=2$ не удовлетворяет условию $\frac{1}{2} \le y \le 1$, поэтому он является посторонним.
Корень $y_1=\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию.
Вернемся к замене:
$2^{-\sin^2(x)} = \frac{1}{2}$
$2^{-\sin^2(x)} = 2^{-1}$
$-\sin^2(x) = -1$
$\sin^2(x) = 1$
$\sin(x) = \pm 1$
Отсюда $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5)

Это однородное показательное уравнение. Представим числа 36, 30 и 25 через их простые множители: $36 = 6^2$, $30 = 5 \cdot 6$, $25 = 5^2$.
$5 \cdot (6^2)^x - (5 \cdot 6)^x - 6 \cdot (5^2)^x = 0$
$5 \cdot 6^{2x} - 5^x \cdot 6^x - 6 \cdot 5^{2x} = 0$
Разделим обе части уравнения на $25^x = 5^{2x}$ (это выражение всегда положительно и не равно нулю):
$5 \cdot \frac{6^{2x}}{5^{2x}} - \frac{5^x \cdot 6^x}{5^{2x}} - 6 \cdot \frac{5^{2x}}{5^{2x}} = 0$
$5 \cdot (\frac{6}{5})^{2x} - (\frac{6}{5})^x - 6 = 0$
Сделаем замену: пусть $y = (\frac{6}{5})^x$. Условие: $y > 0$.
$5y^2 - y - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
$y_1 = \frac{1 + 11}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
$y_2 = \frac{1 - 11}{10} = -1$.
Корень $y_2=-1$ не удовлетворяет условию $y > 0$.
Вернемся к замене:
$(\frac{6}{5})^x = \frac{6}{5}$
$(\frac{6}{5})^x = (\frac{6}{5})^1$
$x = 1$
Ответ: $x=1$.

6)

Данное уравнение содержит показательную и линейную функции, поэтому его решают графически или методом анализа свойств функций.
Рассмотрим две функции: $f(x) = 4^x$ и $g(x) = 18 - x$.
Функция $f(x) = 4^x$ является показательной с основанием $4 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
Функция $g(x) = 18 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она строго убывает на всей области определения.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень подбором, проверяя целые значения $x$.
При $x = 2$:
Левая часть: $4^2 = 16$.
Правая часть: $18 - 2 = 16$.
Так как $16 = 16$, то $x=2$ является корнем уравнения. Поскольку корень может быть только один, это и есть единственное решение.
Ответ: $x=2$.

2.

Запишем уравнение в виде $(8^x)^2 - (a+6) \cdot 8^x + 8a - 16 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $8^x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 8^x$. Так как $x$ может быть любым действительным числом, $t$ должно быть строго положительным ($t > 0$).
Уравнение для $t$ принимает вид:
$t^2 - (a+6)t + 8a - 16 = 0$
Исходное уравнение имеет один действительный корень $x$ тогда и только тогда, когда квадратное уравнение для $t$ имеет ровно один положительный корень.
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
$D = (-(a+6))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8a - 16) = a^2 + 12a + 36 - 32a + 64 = a^2 - 20a + 100 = (a-10)^2$.
Поскольку $D = (a-10)^2 \ge 0$, уравнение всегда имеет действительные корни для $t$.
Найдем корни уравнения для $t$:
$t = \frac{a+6 \pm \sqrt{(a-10)^2}}{2} = \frac{a+6 \pm |a-10|}{2}$
Раскрывая модуль, можно показать, что корни уравнения - это $t_1 = 8$ и $t_2 = a-2$.
Теперь проанализируем, при каких значениях $a$ будет ровно один положительный корень $t$.
Корень $t_1 = 8$ всегда положителен. Он дает один корень для $x$: $8^x = 8 \Rightarrow x=1$.
Чтобы итоговый корень был единственным, второй корень $t_2 = a-2$ должен либо быть неположительным ($t_2 \le 0$), либо совпадать с первым корнем ($t_2 = t_1$).

Случай 1: Второй корень неположительный.
$t_2 \le 0 \Rightarrow a - 2 \le 0 \Rightarrow a \le 2$.
Если $a \le 2$, то корень $t_2$ не является положительным. В этом случае у нас есть ровно один положительный корень $t_1 = 8$, что дает одно решение для $x$.

Случай 2: Корни совпадают.
$t_1 = t_2 \Rightarrow 8 = a - 2 \Rightarrow a = 10$.
Если $a=10$, дискриминант $D = (10-10)^2 = 0$. Уравнение для $t$ имеет один корень (кратности 2): $t = \frac{10+6}{2} = 8$. Этот корень положительный, что также дает одно решение для $x$.

Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет один действительный корень при $a \le 2$ или при $a=10$.
Ответ: $a \in (-\infty, 2] \cup \{10\}$.