Страница 37 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 21

Случайная величина

1. По таблице распределения вероятностей случайной величины $x$ найдите значение переменной $a$.

2. Дана таблица распределения вероятностей случайной величины $x$.

Найдите:

1) $P(x = 5)$;

2) $P(x = 4)$;

3) $P(x \ge 9)$;

4) $P(x < 6)$;

5) $P(6 \le x < 17)$.

3. Игральный кубик подбрасывают дважды. Случайная величина $x$ равна количеству выпавших при этом пятёрок, а случайная величина $y$ равна 3, если при первом подбрасывании выпала пятёрка, и -3 в противном случае.

Найдите:

1) распределение случайной величины $x$;

2) распределение случайной величины $y$;

3) распределение случайной величины $z = x + y$.

1.

1) Сумма всех вероятностей в законе распределения дискретной случайной величины равна 1. Исходя из этого, составим уравнение на основе данных таблицы: $0,16 + 0,16 + a + 0,16 + 3a = 1$ $0,48 + 4a = 1$ $4a = 1 - 0,48$ $4a = 0,52$ $a = 0,52 / 4$ $a = 0,13$
Ответ: $a = 0,13$.

2) Сумма всех вероятностей, выраженных в процентах, должна быть равна 100%. Составим уравнение: $13 + a + 23 + 17 + 25 + 10 = 100$ $88 + a = 100$ $a = 100 - 88$ $a = 12$
Ответ: $a = 12$.

2.

Для удобства переведем вероятности из процентов в десятичные дроби, разделив на 100: $P(x=2)=0,09$; $P(x=5)=0,21$; $P(x=6)=0,45$; $P(x=9)=0,05$; $P(x=12)=0,12$; $P(x=17)=0,08$. Сумма вероятностей: $0,09+0,21+0,45+0,05+0,12+0,08 = 1$.

1) P(x = 5) Вероятность того, что случайная величина $x$ примет значение 5, указана непосредственно в таблице. $P(x = 5) = 21\% = 0,21$.
Ответ: $0,21$.

2) P(x = 4) Значение $x=4$ не представлено в таблице распределения, значит, это невозможное событие. Вероятность невозможного события равна нулю.
Ответ: $0$.

3) P(x ≥ 9) Событие $x \ge 9$ означает, что случайная величина может принять одно из значений: 9, 12 или 17. Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих исходов: $P(x \ge 9) = P(x=9) + P(x=12) + P(x=17) = 0,05 + 0,12 + 0,08 = 0,25$.
Ответ: $0,25$.

4) P(x < 6) Событие $x < 6$ означает, что случайная величина может принять одно из значений: 2 или 5. Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих исходов: $P(x < 6) = P(x=2) + P(x=5) = 0,09 + 0,21 = 0,30$.
Ответ: $0,30$.

5) P(6 ≤ x < 17) Событие $6 \le x < 17$ означает, что случайная величина может принять одно из значений: 6, 9 или 12. Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих исходов: $P(6 \le x < 17) = P(x=6) + P(x=9) + P(x=12) = 0,45 + 0,05 + 0,12 = 0,62$.
Ответ: $0,62$.

3.

При подбрасывании игрального кубика вероятность выпадения пятёрки (событие С - успех) равна $P(C) = 1/6$. Вероятность невыпадения пятёрки (событие Н - неудача) равна $P(Н) = 5/6$. Кубик подбрасывают дважды.

1) распределение случайной величины x Случайная величина $x$ — количество выпавших пятёрок. Возможные значения $x$: 0, 1, 2.
- $x=0$ (неудача в обоих бросках, НН): $P(x=0) = P(Н) \cdot P(Н) = (5/6) \cdot (5/6) = 25/36$.
- $x=1$ (успех в одном броске и неудача в другом, СН или НС): $P(x=1) = P(СН) + P(НС) = (1/6) \cdot (5/6) + (5/6) \cdot (1/6) = 5/36 + 5/36 = 10/36$.
- $x=2$ (успех в обоих бросках, СС): $P(x=2) = P(С) \cdot P(С) = (1/6) \cdot (1/6) = 1/36$.
Ответ: Таблица распределения для $x$:

2) распределение случайной величины y Случайная величина $y$ равна 3, если при первом подбрасывании выпала пятёрка, и -3 в противном случае. Значения $y$ зависят только от исхода первого броска.
- $y=3$, если первый бросок - пятёрка (С): $P(y=3) = P(С) = 1/6$.
- $y=-3$, если первый бросок - не пятёрка (Н): $P(y=-3) = P(Н) = 5/6$.
Ответ: Таблица распределения для $y$:

3) распределение случайной величины z = x + y Для нахождения распределения $z$ рассмотрим все возможные исходы двух бросков:
1. Выпало две пятёрки (СС): $P = 1/36$. В этом случае $x=2$, $y=3$, тогда $z = 2+3=5$.
2. В первом броске пятёрка, во втором - нет (СН): $P = (1/6) \cdot (5/6) = 5/36$. В этом случае $x=1$, $y=3$, тогда $z = 1+3=4$.
3. В первом броске не пятёрка, во втором - пятёрка (НС): $P = (5/6) \cdot (1/6) = 5/36$. В этом случае $x=1$, $y=-3$, тогда $z = 1+(-3)=-2$.
4. Пятёрка не выпала ни разу (НН): $P = (5/6) \cdot (5/6) = 25/36$. В этом случае $x=0$, $y=-3$, тогда $z = 0+(-3)=-3$.
Возможные значения $z$: -3, -2, 4, 5. Составим таблицу распределения.
Ответ: Таблица распределения для $z$: