Страница 30 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Логарифмические уравнения

Решите уравнение:

1) $ \log_{27} \log_{3/\sqrt{3}} \log_7 x = \frac{1}{3}; $

2) $ \log_2(x^2 - 8x + 13) = \log_2(x - 5); $

3) $ \log_6(x + 1) + \log_6(2x + 1) = 1; $

4) $ \log_2 x - 5\log_x 8 = 2; $

5) $ x^{\log_2 x - 6} = \frac{1}{32}; $

6) $ x^{\log_{13} 15} + 15^{\log_{13} x} = 450. $

1) $log_{27} log_{3\sqrt{3}} log_{7} x = \frac{1}{3}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть строго больше нуля.

1. $x > 0$

2. $log_{7} x > 0 \Rightarrow x > 7^0 \Rightarrow x > 1$

3. $log_{3\sqrt{3}} log_{7} x > 0 \Rightarrow log_{7} x > (3\sqrt{3})^0 \Rightarrow log_{7} x > 1 \Rightarrow x > 7^1 \Rightarrow x > 7$

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 7$.

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма $log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$:

$log_{27} (log_{3\sqrt{3}} log_{7} x) = \frac{1}{3}$

$log_{3\sqrt{3}} log_{7} x = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь решаем следующее "внутреннее" уравнение:

$log_{3\sqrt{3}} (log_{7} x) = 3$

$log_{7} x = (3\sqrt{3})^3 = 3^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = 27 \cdot 3\sqrt{3} = 81\sqrt{3}$

И, наконец, находим $x$:

$x = 7^{81\sqrt{3}}$

Полученное значение удовлетворяет ОДЗ ($7^{81\sqrt{3}} > 7$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $x = 7^{81\sqrt{3}}$

2) $log_{2}(x^2 - 8x + 13) = log_{2}(x - 5)$

Определим ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases} x^2 - 8x + 13 > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства получаем $x > 5$. Проверим, выполняется ли при этом первое неравенство. Если $x > 5$, то $x-5 > 0$. Выражение $x^2 - 8x + 13$ можно переписать как $(x-5)(x-3)-2$. Для $x>5$ это не очевидно. Найдем корни $x^2 - 8x + 13 = 0$. $D = 64 - 4 \cdot 13 = 12$. $x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2} = 4 \pm \sqrt{3}$. Парабола ветвями вверх, значит $x^2 - 8x + 13 > 0$ при $x \in (-\infty; 4-\sqrt{3}) \cup (4+\sqrt{3}; +\infty)$.

Так как $4+\sqrt{3} \approx 4+1.73=5.73$, то общим решением системы неравенств будет $x > 4+\sqrt{3}$.

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$x^2 - 8x + 13 = x - 5$

$x^2 - 9x + 18 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 6$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 4+\sqrt{3} \approx 5.73$):

$x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = 6$ удовлетворяет ОДЗ, так как $6 > 5.73$.

Ответ: $x = 6$

3) $log_{6}(x + 1) + log_{6}(2x + 1) = 1$

ОДЗ:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x > -0.5 \end{cases} \Rightarrow x > -0.5$

Используем свойство суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(bc)$:

$log_{6}((x + 1)(2x + 1)) = 1$

По определению логарифма:

$(x + 1)(2x + 1) = 6^1 = 6$

$2x^2 + x + 2x + 1 = 6$

$2x^2 + 3x - 5 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$

$x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Проверяем корни по ОДЗ ($x > -0.5$):

$x_1 = -2.5$ не удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 1$

4) $log_{2} x - 5log_{x} 8 = 2$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию: $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$. Перейдем к основанию 2:

$log_{x} 8 = \frac{log_{2} 8}{log_{2} x} = \frac{3}{log_{2} x}$

Подставляем в исходное уравнение:

$log_{2} x - 5 \cdot \frac{3}{log_{2} x} = 2$

$log_{2} x - \frac{15}{log_{2} x} = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_{2} x$. Тогда $t \neq 0$.

$t - \frac{15}{t} = 2$

Умножим обе части на $t$:

$t^2 - 15 = 2t$

$t^2 - 2t - 15 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.

Возвращаемся к замене:

1. $log_{2} x = 5 \Rightarrow x = 2^5 = 32$

2. $log_{2} x = -3 \Rightarrow x = 2^{-3} = \frac{1}{8}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$).

Ответ: $x_1 = \frac{1}{8}, x_2 = 32$

5) $x^{log_{2} x - 6} = \frac{1}{32}$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$log_{2}(x^{log_{2} x - 6}) = log_{2}(\frac{1}{32})$

Используем свойство $log_a(b^c) = c \cdot log_a b$:

$(log_{2} x - 6) \cdot log_{2} x = log_{2}(2^{-5})$

$(log_{2} x - 6) \cdot log_{2} x = -5$

Сделаем замену $t = log_{2} x$:

$(t - 6)t = -5$

$t^2 - 6t + 5 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Возвращаемся к замене:

1. $log_{2} x = 1 \Rightarrow x = 2^1 = 2$

2. $log_{2} x = 5 \Rightarrow x = 2^5 = 32$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 32$

6) $x^{log_{13} 15} + 15^{log_{13} x} = 450$

ОДЗ: $x > 0$.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством в обобщенном виде: $a^{log_b c} = c^{log_b a}$.

Применим это свойство к первому слагаемому:

$x^{log_{13} 15} = 15^{log_{13} x}$

Тогда уравнение примет вид:

$15^{log_{13} x} + 15^{log_{13} x} = 450$

$2 \cdot 15^{log_{13} x} = 450$

$15^{log_{13} x} = \frac{450}{2} = 225$

Так как $225 = 15^2$, получаем:

$15^{log_{13} x} = 15^2$

Приравниваем показатели степени:

$log_{13} x = 2$

По определению логарифма:

$x = 13^2 = 169$

Корень $x=169$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x = 169$

Самостоятельная работа № 7

Логарифмические неравенства

Решите неравенство:

1) $ \lg(3x - 9) > \lg(5 - 4x); $

2) $ \log_{0,3}(x - 1) > \log_{0,3}(x^2 + 2x - 3); $

3) $ \log_{0,7}(x + 1) + \log_{0,7}(5 - x) \ge \log_{0,7}(x + 7); $

4) $ \log^2_{\frac{1}{6}}(-x) + 0,125\log_{\frac{1}{6}} x^8 \le 6; $

5) $ \log_{3x}(x^2 - 6x + 8) < 1. $

1) $\lg(3x - 9) > \lg(5 - 4x)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 3x - 9 > 0 \\ 5 - 4x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x > 9 \\ 5 > 4x \end{cases}$
$\begin{cases} x > 3 \\ x < \frac{5}{4} \end{cases}$
$\begin{cases} x > 3 \\ x < 1,25 \end{cases}$
Данная система неравенств не имеет решений, так как нет чисел, которые одновременно больше 3 и меньше 1,25. Следовательно, ОДЗ является пустым множеством.

Ответ: нет решений.

2) $\log_{0,3}(x - 1) > \log_{0,3}(x^2 + 2x - 3)$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x^2 + 2x - 3 > 0 \end{cases}$
Для второго неравенства найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Неравенство $(x+3)(x-1)>0$ выполняется при $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.
$\begin{cases} x > 1 \\ x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty) \end{cases}$
Пересечением этих условий является интервал $x > 1$.
Теперь решаем основное неравенство. Так как основание логарифма $0,3 < 1$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$x - 1 < x^2 + 2x - 3$
$x^2 + x - 2 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Неравенство $(x+2)(x-1)>0$ выполняется при $x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$.
Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > 1$):
$x \in (1; +\infty)$.

Ответ: $(1; +\infty)$.

3) $\log_{0,7}(x + 1) + \log_{0,7}(5 - x) \ge \log_{0,7}(x + 7)$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 5 - x > 0 \\ x + 7 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -1 \\ x < 5 \\ x > -7 \end{cases}$
Пересечением является интервал $(-1; 5)$.
Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство суммы логарифмов:
$\log_{0,7}((x + 1)(5 - x)) \ge \log_{0,7}(x + 7)$
Так как основание логарифма $0,7 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$(x + 1)(5 - x) \le x + 7$
$5x - x^2 + 5 - x \le x + 7$
$-x^2 + 4x + 5 \le x + 7$
$-x^2 + 3x - 2 \le 0$
$x^2 - 3x + 2 \ge 0$
Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Неравенство $(x-1)(x-2) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.
Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $(-1; 5)$:
$x \in (-1; 1] \cup [2; 5)$.

Ответ: $(-1; 1] \cup [2; 5)$.

4) $\log_{\frac{1}{6}}^2(-x) + 0,125\log_{\frac{1}{6}}x^8 \le 6$

Найдем ОДЗ: $-x > 0 \Rightarrow x < 0$.
Упростим второй член: $0,125\log_{\frac{1}{6}}x^8 = \frac{1}{8} \cdot 8 \log_{\frac{1}{6}}|x| = \log_{\frac{1}{6}}|x|$.
Так как по ОДЗ $x < 0$, то $|x| = -x$.
Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{6}}^2(-x) + \log_{\frac{1}{6}}(-x) \le 6$
Сделаем замену $t = \log_{\frac{1}{6}}(-x)$:
$t^2 + t - 6 \le 0$
Корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$ равны $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$. Неравенство $(t+3)(t-2) \le 0$ выполняется при $-3 \le t \le 2$.
Возвращаемся к замене:
$-3 \le \log_{\frac{1}{6}}(-x) \le 2$
Так как основание логарифма $\frac{1}{6} < 1$, при потенцировании знаки неравенств меняются:
$(\frac{1}{6})^2 \ge -x \ge (\frac{1}{6})^{-3}$
$\frac{1}{36} \ge -x \ge 6^3$
$\frac{1}{36} \ge -x \ge 216$
Умножим на -1, снова меняя знаки неравенств:
$-\frac{1}{36} \le x \le -216$
Запишем в стандартном виде: $-216 \le x \le -\frac{1}{36}$.
Данное решение полностью входит в ОДЗ ($x < 0$).

Ответ: $[-216; -\frac{1}{36}]$.

5) $\log_{3x}(x^2 - 6x + 8) < 1$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x^2 - 6x + 8 > 0 \\ 3x > 0 \\ 3x \ne 1 \end{cases}$
Первое неравенство $(x-2)(x-4)>0$ выполняется при $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$.
Второе и третье условия дают $x > 0$ и $x \ne \frac{1}{3}$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (0; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; 2) \cup (4; +\infty)$.
Представим 1 как $\log_{3x}(3x)$:
$\log_{3x}(x^2 - 6x + 8) < \log_{3x}(3x)$
Рассмотрим два случая в зависимости от основания логарифма.
Случай 1: Основание $0 < 3x < 1$, то есть $0 < x < \frac{1}{3}$. Этот интервал входит в ОДЗ.
При таком основании знак неравенства меняется:
$x^2 - 6x + 8 > 3x$
$x^2 - 9x + 8 > 0$
Корни уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$. Неравенство $(x-1)(x-8)>0$ выполняется при $x < 1$ или $x > 8$.
Найдем пересечение этого решения с условием случая $0 < x < \frac{1}{3}$. Получаем $x \in (0; \frac{1}{3})$.
Случай 2: Основание $3x > 1$, то есть $x > \frac{1}{3}$. В ОДЗ это соответствует интервалам $(\frac{1}{3}; 2) \cup (4; +\infty)$.
При таком основании знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 6x + 8 < 3x$
$x^2 - 9x + 8 < 0$
Неравенство $(x-1)(x-8)<0$ выполняется при $1 < x < 8$.
Найдем пересечение этого решения с условиями случая $(\frac{1}{3}; 2) \cup (4; +\infty)$. Получаем $x \in (1; 2) \cup (4; 8)$.
Объединим решения из обоих случаев:
$(0; \frac{1}{3}) \cup (1; 2) \cup (4; 8)$.

Ответ: $(0; \frac{1}{3}) \cup (1; 2) \cup (4; 8)$.