Страница 23 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Элементы комбинаторики
и бином Ньютона

1. Сколько существует шестизначных чисел, кратных 5, в записи которых каждая из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 8 используется по одному разу?

2. В воинском подразделении служат 5 сержантов и 8 рядовых солдат. Сколько существует способов расставить по одному часовому на семи этажах здания, если на первом и последнем этажах должны дежурить сержанты?

3. Из 15 человек формируют три группы по 5 человек для поездки в Лондон, Париж и Мадрид. Сколько существует способов это сделать?

4. Найдите сумму чисел, стоящих на нечётных местах в 27-й строке треугольника Паскаля.

1. Шестизначное число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Из предложенных цифр {1, 2, 3, 5, 7, 8} для последней позиции подходит только цифра 5. Таким образом, последняя цифра искомых чисел однозначно определена — это 5.

Оставшиеся 5 цифр {1, 2, 3, 7, 8} нужно разместить на первых пяти позициях шестизначного числа. Так как все цифры должны использоваться по одному разу, количество способов их размещения равно числу перестановок из 5 элементов:

$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

Следовательно, существует 120 таких чисел.

Ответ: 120.

2. Требуется расставить 7 часовых на 7 этажах с особым условием для первого и последнего этажей. Решим задачу по шагам:

1. Выбор и расстановка сержантов на 1-м и 7-м этажах.

Необходимо выбрать 2 сержантов из 5 и назначить их на две конкретные должности (часовой на 1-м этаже и часовой на 7-м этаже). Поскольку порядок назначения важен (сержант А на 1-м и Б на 7-м — это не то же самое, что Б на 1-м и А на 7-м), мы используем формулу для нахождения числа размещений:

$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4 = 20$ способов.

2. Расстановка часовых на остальных этажах.

Осталось 5 этажей (со 2-го по 6-й) и $5-2=3$ сержанта и 8 рядовых, что в сумме составляет $3+8=11$ человек. На 5 оставшихся этажей нужно назначить 5 человек из 11. Порядок их расстановки также важен, поэтому снова используем размещения:

$A_{11}^5 = \frac{11!}{(11-5)!} = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 55440$ способов.

3. Общее количество способов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа способов на каждом шаге:

$N = A_5^2 \times A_{11}^5 = 20 \times 55440 = 1108800$.

Ответ: 1108800.

3. Задача заключается в том, чтобы разбить 15 человек на три упорядоченные (именованные: Лондон, Париж, Мадрид) группы по 5 человек.

1. Формирование группы для поездки в Лондон.

Нужно выбрать 5 человек из 15. Порядок выбора людей внутри группы не важен, поэтому используем сочетания:

$C_{15}^5 = \binom{15}{5} = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$ способа.

2. Формирование группы для поездки в Париж.

После выбора первой группы осталось $15 - 5 = 10$ человек. Из них нужно выбрать 5 для поездки в Париж:

$C_{10}^5 = \binom{10}{5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ способа.

3. Формирование группы для поездки в Мадрид.

Осталось $10 - 5 = 5$ человек, которые и составят третью группу. Существует только один способ сформировать эту группу:

$C_5^5 = \binom{5}{5} = 1$ способ.

4. Общее количество способов.

По правилу произведения, общее число способов равно произведению числа способов на каждом этапе:

$N = C_{15}^5 \times C_{10}^5 \times C_5^5 = 3003 \times 252 \times 1 = 756756$.

Ответ: 756756.

4. Элементами $n$-й строки треугольника Паскаля (при нумерации строк с $n=0$) являются биномиальные коэффициенты $\binom{n}{k}$ при $k = 0, 1, \dots, n$. Для 27-й строки ($n=27$) это числа $\binom{27}{0}, \binom{27}{1}, \binom{27}{2}, \dots, \binom{27}{27}$.

Нечётные места в строке — это 1-е, 3-е, 5-е и так далее. Этим местам соответствуют биномиальные коэффициенты с чётными нижними индексами: $k=0, 2, 4, \dots$. Требуется найти сумму:

$S = \binom{27}{0} + \binom{27}{2} + \binom{27}{4} + \dots + \binom{27}{26}$

Для нахождения этой суммы воспользуемся двумя известными свойствами биномиальных коэффициентов, которые следуют из формулы бинома Ньютона:

1. Сумма всех коэффициентов строки $n$: $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.
Для $n=27$: $\binom{27}{0} + \binom{27}{1} + \binom{27}{2} + \dots + \binom{27}{27} = 2^{27}$.

2. Чередующаяся сумма коэффициентов строки $n$: $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\binom{n}{k} = 0$.
Для $n=27$: $\binom{27}{0} - \binom{27}{1} + \binom{27}{2} - \dots - \binom{27}{27} = 0$.

Первое равенство можно записать как $S_{even} + S_{odd} = 2^{27}$, а второе как $S_{even} - S_{odd} = 0$, где $S_{even}$ — искомая сумма, а $S_{odd}$ — сумма коэффициентов на чётных местах (с нечётными $k$).

Из второго уравнения получаем $S_{even} = S_{odd}$. Подставив это в первое уравнение, имеем:

$S_{even} + S_{even} = 2^{27}$

$2S_{even} = 2^{27}$

$S_{even} = \frac{2^{27}}{2} = 2^{26}$

Вычислим значение: $2^{26} = (2^{10})^2 \times 2^6 = 1024^2 \times 64 = 1048576 \times 64 = 67108864$.

Ответ: $2^{26}$ (или 67108864).

Самостоятельная работа № 18

Аксиомы теории вероятностей

1. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,03, в девятку — 0,2, в восьмёрку — 0,3. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберёт:

1) больше 8 очков;

2) меньше 8 очков;

3) не менее 8 очков?

2. В двух колодах лежат по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. Событие $A$ состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках нечётная; событие $B$ — в том, что по крайней одна из выбранных карточек имеет номер 3. Найдите вероятность события:

1) $\overline{B}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

3. В школе работают две спортивные секции — волейбольная и теннисная. Вероятность встретить среди учащихся школы волейболиста равна 15%, теннисиста — 9%, а ученика, посещающего хотя бы одну из этих секций, — 19%. Какова вероятность того, что выбранный наугад учащийся этой школы посещает обе указанные секции?

1. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,03, в девятку — 0,2, в восьмёрку — 0,3. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберёт:

Обозначим события: $H_{10}$ — попадание в десятку, $H_9$ — в девятку, $H_8$ — в восьмёрку. По условию, их вероятности равны $P(H_{10}) = 0,03$, $P(H_9) = 0,2$, $P(H_8) = 0,3$. Эти события являются несовместными, так как одним выстрелом нельзя попасть одновременно в разные зоны.

1) больше 8 очков;
Событие "набрать больше 8 очков" означает попадание в девятку (9 очков) или в десятку (10 очков). Так как эти события несовместны, вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:
$P(\text{больше 8 очков}) = P(H_9) + P(H_{10}) = 0,2 + 0,03 = 0,23$.
Ответ: 0,23.

2) меньше 8 очков;
Событие "набрать меньше 8 очков" является противоположным событию "набрать не менее 8 очков" (то есть 8, 9 или 10 очков). Вероятность набрать не менее 8 очков равна сумме вероятностей попадания в 8, 9 или 10:
$P(\text{не менее 8 очков}) = P(H_8) + P(H_9) + P(H_{10}) = 0,3 + 0,2 + 0,03 = 0,53$.
Тогда вероятность противоположного события "набрать меньше 8 очков" равна:
$P(\text{меньше 8 очков}) = 1 - P(\text{не менее 8 очков}) = 1 - 0,53 = 0,47$.
Ответ: 0,47.

3) не менее 8 очков?
Событие "набрать не менее 8 очков" означает попадание в восьмёрку, девятку или десятку. Вероятность этого события равна сумме вероятностей этих несовместных событий:
$P(\text{не менее 8 очков}) = P(H_8) + P(H_9) + P(H_{10}) = 0,3 + 0,2 + 0,03 = 0,53$.
Ответ: 0,53.

2. В двух колодах лежат по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. Событие А состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках нечётная; событие В — в том, что по крайней одной одна из выбранных карточек имеет номер 3. Найдите вероятность события:

Общее число равновозможных исходов при выборе по одной карточке из двух колод равно $3 \times 3 = 9$. Перечислим все исходы в виде пар $(k_1, k_2)$, где $k_1$ — номер карточки из первой колоды, а $k_2$ — из второй:
$\Omega = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}$.

Событие A — "сумма очков нечётная". Сумма двух чисел нечётная, если одно из них чётное, а другое нечётное. В колоде чётное число — 2, нечётные — 1 и 3. Благоприятствующие исходы для события A: $A = \{(1,2), (2,1), (2,3), (3,2)\}$. Число таких исходов $|A| = 4$. Вероятность события A: $P(A) = \frac{4}{9}$.

Событие B — "по крайней мере одна из карточек имеет номер 3". Благоприятствующие исходы для события B: $B = \{(1,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}$. Число таких исходов $|B| = 5$. Вероятность события B: $P(B) = \frac{5}{9}$.

1) $\overline{B}$;
Событие $\overline{B}$ является противоположным событию B, то есть "ни на одной из карточек нет номера 3". Это означает, что обе выбранные карточки могут быть только с номерами 1 или 2. Вероятность этого события можно найти как $P(\overline{B}) = 1 - P(B)$.
$P(\overline{B}) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

2) $A \cap B$;
Событие $A \cap B$ означает, что произошли оба события A и B одновременно: "сумма очков нечётная" и "по крайней мере одна из карточек имеет номер 3". Для нахождения исходов этого события найдем пересечение множеств A и B:
$A \cap B = \{(2,3), (3,2)\}$.
Число благоприятствующих исходов $|A \cap B| = 2$. Вероятность $P(A \cap B) = \frac{2}{9}$.
Ответ: $\frac{2}{9}$.

3) $A \cup B$.
Событие $A \cup B$ означает, что произошло хотя бы одно из событий A или B. Вероятность объединения событий вычисляется по формуле сложения вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{4+5-2}{9} = \frac{7}{9}$.
Ответ: $\frac{7}{9}$.

3. В школе работают две спортивные секции — волейбольная и теннисная. Вероятность встретить среди учащихся школы волейболиста равна 15%, теннисиста — 9%, а ученика, посещающего хотя бы одну из этих секций, — 19%. Какова вероятность того, что выбранный наугад учащийся этой школы посещает обе указанные секции?

Пусть событие $V$ — случайно выбранный учащийся является волейболистом, а событие $T$ — теннисистом. По условию задачи нам даны следующие вероятности:
Вероятность встретить волейболиста: $P(V) = 15\% = 0,15$.
Вероятность встретить теннисиста: $P(T) = 9\% = 0,09$.
Вероятность встретить ученика, посещающего хотя бы одну из этих секций (событие $V \cup T$): $P(V \cup T) = 19\% = 0,19$.

Требуется найти вероятность того, что выбранный учащийся посещает обе секции, то есть вероятность пересечения событий $V$ и $T$, обозначаемую как $P(V \cap T)$. Используем формулу сложения вероятностей для совместных событий:
$P(V \cup T) = P(V) + P(T) - P(V \cap T)$.
Выразим из этой формулы искомую вероятность $P(V \cap T)$:
$P(V \cap T) = P(V) + P(T) - P(V \cup T)$.
Подставим известные значения:
$P(V \cap T) = 0,15 + 0,09 - 0,19 = 0,24 - 0,19 = 0,05$.
Ответ: 0,05.