Страница 19 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 8

Производные показательной и логарифмической функций

1. Найдите производную функции:

1) $y = e^{x^2 - 3x}$;

2) $y = 3\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt{x}$;

3) $y = \log_{0,4}(4x^2 - 2x + 9)$;

4) $y = \frac{\ln x}{x^4}$.

2. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 5)$ в точке его пересечения с осью абсцисс.

3. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции $f(x) = x\ln x - 2x$.

4. При каких значениях параметра $a$ функция $f(x) = 3e^x + ax - 5$ не имеет критических точек?

1)
Дана функция $y = e^{x^2 - 3x}$. Это сложная функция вида $e^{u(x)}$, где $u(x) = x^2 - 3x$.
Производная такой функции находится по формуле $(e^u)' = e^u \cdot u'$.
Найдем производную показателя степени: $u'(x) = (x^2 - 3x)' = 2x - 3$.
Теперь найдем производную исходной функции: $y' = e^{x^2 - 3x} \cdot (2x - 3) = (2x - 3)e^{x^2 - 3x}$.
Ответ: $y' = (2x - 3)e^{x^2 - 3x}$.

2)
Дана функция $y = 3^{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{x}$. Для нахождения производной используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = 3^{\sqrt{x}}$ и $v(x) = \sqrt{x}$.
Найдем производные каждой из функций:
$v'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$u'(x) = (3^{\sqrt{x}})' = 3^{\sqrt{x}} \ln(3) \cdot (\sqrt{x})' = 3^{\sqrt{x}} \ln(3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Подставим найденные производные в формулу:
$y' = \left(3^{\sqrt{x}} \ln(3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\right) \cdot \sqrt{x} + 3^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3^{\sqrt{x}} \ln(3)}{2} + \frac{3^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.
Приведем к общему знаменателю и упростим:
$y' = \frac{3^{\sqrt{x}} \ln(3) \cdot \sqrt{x} + 3^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} = \frac{3^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}\ln(3) + 1)}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{3^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}\ln(3) + 1)}{2\sqrt{x}}$.

3)
Дана функция $y = \log_{0,4}(4x^2 - 2x + 9)$. Это сложная функция вида $\log_a(u(x))$.
Ее производная находится по формуле $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln(a)}$.
Здесь $a=0,4$ и $u(x) = 4x^2 - 2x + 9$.
Найдем производную $u'(x) = (4x^2 - 2x + 9)' = 8x - 2$.
Тогда, $y' = \frac{8x - 2}{(4x^2 - 2x + 9) \ln(0,4)}$.
Ответ: $y' = \frac{8x - 2}{(4x^2 - 2x + 9) \ln(0,4)}$.

4)
Дана функция $y = \frac{\ln x}{x^4}$. Для нахождения производной используем правило производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x^4$.
Их производные: $u'(x) = \frac{1}{x}$ и $v'(x) = 4x^3$.
Подставим в формулу:
$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^4 - (\ln x) \cdot 4x^3}{(x^4)^2} = \frac{x^3 - 4x^3 \ln x}{x^8}$.
Вынесем $x^3$ в числителе за скобки и сократим дробь:
$y' = \frac{x^3(1 - 4 \ln x)}{x^8} = \frac{1 - 4 \ln x}{x^5}$.
Ответ: $y' = \frac{1 - 4 \ln x}{x^5}$.

2.
Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Сначала найдем точку $x_0$, которая является точкой пересечения графика функции $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 5)$ с осью абсцисс. Для этого решим уравнение $f(x) = 0$.
$\ln(x^2 - 4x + 5) = 0$
По определению логарифма:
$x^2 - 4x + 5 = e^0 = 1$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x - 2)^2 = 0$
Отсюда $x_0 = 2$. Значение функции в этой точке $f(x_0) = f(2) = 0$.
Теперь найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\ln(x^2 - 4x + 5))' = \frac{(x^2 - 4x + 5)'}{x^2 - 4x + 5} = \frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 5}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = \frac{2(2) - 4}{2^2 - 4(2) + 5} = \frac{4 - 4}{4 - 8 + 5} = \frac{0}{1} = 0$.
Подставим найденные значения $x_0=2$, $f(x_0)=0$ и $f'(x_0)=0$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 0 \cdot (x - 2)$
$y = 0$.
Ответ: $y = 0$.

3.
Для нахождения промежутков возрастания/убывания и точек экстремума функции $f(x) = x \ln x - 2x$ необходимо исследовать знак ее производной.
Область определения функции задается условием $x > 0$, то есть $D(f) = (0, +\infty)$.
Найдем производную:
$f'(x) = (x \ln x - 2x)' = (x)'\ln x + x(\ln x)' - (2x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 2 = \ln x + 1 - 2 = \ln x - 1$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow \ln x - 1 = 0 \Rightarrow \ln x = 1 \Rightarrow x = e$.
Точка $x=e$ разбивает область определения на два интервала: $(0, e)$ и $(e, +\infty)$.
- На интервале $(0, e)$: возьмем пробную точку $x=1$. $f'(1) = \ln(1) - 1 = -1 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $(0, e]$.
- На интервале $(e, +\infty)$: возьмем пробную точку $x=e^2$. $f'(e^2) = \ln(e^2) - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[e, +\infty)$.
Поскольку в точке $x=e$ производная меняет знак с «-» на «+», эта точка является точкой минимума.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[e, +\infty)$, убывает на промежутке $(0, e]$; точка минимума $x_{min} = e$.

4.
Критические точки функции — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует.
Функция $f(x) = 3e^x + ax - 5$ определена и дифференцируема на всей числовой оси.
Найдем ее производную:
$f'(x) = (3e^x + ax - 5)' = 3e^x + a$.
Производная существует при любых значениях $x$. Значит, критические точки могут существовать только там, где $f'(x) = 0$.
$3e^x + a = 0$
$3e^x = -a$
$e^x = -\frac{a}{3}$.
Функция не будет иметь критических точек, если данное уравнение не имеет решений.
Поскольку показательная функция $e^x$ всегда строго положительна ($e^x > 0$ для любого $x$), уравнение не будет иметь решений, если его правая часть неположительна, то есть:
$-\frac{a}{3} \le 0$.
Умножим обе части неравенства на $-1$ и поменяем знак неравенства:
$\frac{a}{3} \ge 0$
$a \ge 0$.
Таким образом, при $a \ge 0$ функция не имеет критических точек.
Ответ: при $a \in [0, +\infty)$.

Самостоятельная работа № 9

Первообразная

1. Докажите, что функция $F$ является первообразной функции $f$ на промежутке $I$:

1) $F(x) = \sqrt{4x + 9}$, $f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x + 9}}$, $I = (-2,25; +\infty)$;

2) $F(x) = \ln x^6 - x^3$, $f(x) = \frac{6 - 3x^3}{x}$, $I = (0; +\infty)$.

2. Является ли функция $F(x) = |4 - x|$ первообразной функции $f(x) = -1$ на промежутке:

1) $(-2; 3)$;

2) $(-1; 5)$?

3. Для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ на промежутке $I = (0; \pi)$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $M \left(\frac{\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

1. Докажите, что функция F является первообразной функции f на промежутке I:

1)

Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке I, необходимо показать, что производная $F'(x)$ равна $f(x)$ для всех $x$ из этого промежутка.

Даны функции: $F(x) = \sqrt{4x + 9}$ и $f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x + 9}}$ на промежутке $I = (-2,25; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

$F'(x) = (\sqrt{4x + 9})' = ((4x+9)^{1/2})' = \frac{1}{2}(4x+9)^{1/2 - 1} \cdot (4x+9)' = \frac{1}{2}(4x+9)^{-1/2} \cdot 4 = 2(4x+9)^{-1/2} = \frac{2}{(4x+9)^{1/2}} = \frac{2}{\sqrt{4x + 9}}$

Полученное выражение для $F'(x)$ в точности совпадает с функцией $f(x)$. Область определения $F'(x)$ и $f(x)$ — это $4x+9 > 0$, то есть $x > -2,25$, что соответствует промежутку $I$.

Таким образом, $F'(x) = f(x)$ на промежутке $I$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

Аналогично предыдущему пункту, найдем производную функции $F(x) = \ln x^6 - x^3$ и сравним ее с $f(x) = \frac{6 - 3x^3}{x}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$.

На промежутке $I = (0; +\infty)$, где $x > 0$, мы можем упростить $F(x)$, используя свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$:

$F(x) = \ln x^6 - x^3 = 6 \ln x - x^3$

Теперь найдем производную:

$F'(x) = (6 \ln x - x^3)' = (6 \ln x)' - (x^3)' = 6 \cdot \frac{1}{x} - 3x^2 = \frac{6}{x} - 3x^2$

Приведем полученное выражение к общему знаменателю:

$F'(x) = \frac{6}{x} - \frac{3x^2 \cdot x}{x} = \frac{6 - 3x^3}{x}$

Результат $F'(x)$ полностью совпадает с функцией $f(x)$ на заданном промежутке $I = (0; +\infty)$.

Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Доказано.

2. Является ли функция $F(x) = |4 - x|$ первообразной функции $f(x) = -1$ на промежутке:

Для решения этой задачи раскроем модуль в функции $F(x)$:

$F(x) = |4-x| = \begin{cases} 4-x, & \text{если } 4-x \ge 0, \text{ т.е. } x \le 4 \\ -(4-x), & \text{если } 4-x < 0, \text{ т.е. } x > 4 \end{cases} = \begin{cases} 4-x, & \text{если } x \le 4 \\ x-4, & \text{если } x > 4 \end{cases}$

Теперь найдем производную $F'(x)$:

$F'(x) = \begin{cases} (4-x)' = -1, & \text{если } x < 4 \\ (x-4)' = 1, & \text{если } x > 4 \end{cases}$

В точке $x=4$ функция $F(x)$ не имеет производной (график имеет излом).

1) $(-2; 3)$

Весь промежуток $(-2; 3)$ лежит в области, где $x < 4$. На этом промежутке $F(x) = 4-x$, и ее производная $F'(x) = -1$.

Поскольку $F'(x) = f(x) = -1$ для всех $x$ из промежутка $(-2; 3)$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на этом промежутке.

Ответ: Да, является.

2) $(-1; 5)$?

Промежуток $(-1; 5)$ содержит точку $x=4$.

На части этого промежутка, от $-1$ до $4$, производная $F'(x) = -1$.

Однако на другой части, от $4$ до $5$, производная $F'(x) = 1$.

Поскольку производная $F'(x)$ не равна $f(x)=-1$ на всем промежутке $(-1; 5)$, функция $F(x)$ не является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.

Ответ: Нет, не является.

3. Для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ на промежутке $I = (0; \pi)$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $M\left(\frac{\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Сначала найдем общее выражение для первообразной функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$. Это табличный интеграл.

$F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

По условию, график искомой первообразной проходит через точку $M\left(\frac{\pi}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Это означает, что при $x = \frac{\pi}{3}$ значение функции $F(x)$ должно быть равно $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим координаты точки $M$ в уравнение для $F(x)$, чтобы найти константу $C$:

$F\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) + C = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Вычислим значение котангенса: $\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\tan(\pi/3)} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Подставим это значение в наше уравнение:

$-\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + C = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Отсюда находим $C$:

$C = -\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = 0$

Таким образом, постоянная $C=0$. Подставляем ее в общее выражение для первообразной и получаем искомую функцию:

$F(x) = -\cot x$

Ответ: $F(x) = -\cot x$.