Страница 24 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Условная вероятность

1. Известно, что $P_A(B) = 0,4$, $P_B(A) = 0,32$ и $P(A \cap B) = 0,08$.
Найдите:

1) $P(A)$; 2) $P(B)$; 3) $P(A \cup B)$.

2. Из коробки, в которой лежат 17 жёлтых и 12 зелёных шаров, наугад берут сначала один, а потом ещё один шар. Известно, что первый шар был жёлтым. Вычислите вероятность того, что второй шар окажется зелёным. Составьте дендрограмму этого опыта.

3. Среди слушателей курсов иностранных языков есть те, кто изучает английский и испанский языки. Вероятность того, что наугад выбранный слушатель курсов изучает английский язык, равна 50%, а испанский — 20%. Среди тех, кто изучает английский язык, доля изучающих испанский составляет 16%. Найдите вероятность того, что наугад выбранный слушатель, изучающий испанский язык, также изучает английский.

1.

1) P(A);
Для нахождения $P(A)$ воспользуемся формулой условной вероятности: $P_A(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
Из условия известно, что $P_A(B) = 0,4$ и $P(A \cap B) = 0,08$.
Выразим $P(A)$ из формулы: $P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P_A(B)}$.
Подставим числовые значения: $P(A) = \frac{0,08}{0,4} = 0,2$.
Ответ: 0,2.

2) P(B);
Аналогично, используем формулу условной вероятности для $P_B(A)$: $P_B(A) = P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
Из условия известно, что $P_B(A) = 0,32$ и $P(A \cap B) = 0,08$.
Выразим $P(B)$ из формулы: $P(B) = \frac{P(A \cap B)}{P_B(A)}$.
Подставим числовые значения: $P(B) = \frac{0,08}{0,32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = 0,25$.
Ответ: 0,25.

3) P(A U B).
Для нахождения вероятности объединения событий $A$ и $B$ воспользуемся формулой сложения вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Из предыдущих пунктов мы нашли $P(A) = 0,2$ и $P(B) = 0,25$. Из условия дано $P(A \cap B) = 0,08$.
Подставим значения в формулу: $P(A \cup B) = 0,2 + 0,25 - 0,08 = 0,45 - 0,08 = 0,37$.
Ответ: 0,37.

2.

Пусть событие Ж1 — первый вынутый шар жёлтый, а событие З2 — второй вынутый шар зелёный. Требуется найти условную вероятность $P(З2|Ж1)$.
Изначально в коробке находятся 17 жёлтых и 12 зелёных шаров, всего шаров: $17 + 12 = 29$.
По условию, первый шар, который вынули, был жёлтым. Это означает, что в коробке осталось $29 - 1 = 28$ шаров.
При этом количество жёлтых шаров уменьшилось на один и стало $17 - 1 = 16$, а количество зелёных шаров осталось прежним — 12.
Вероятность того, что второй шар окажется зелёным, при условии, что первый был жёлтым, равна отношению количества зелёных шаров к новому общему числу шаров в коробке:
$P(З2|Ж1) = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}$.

Дендрограмма (дерево вероятностей) данного опыта выглядит следующим образом:

• Первый шар - Жёлтый (вероятность $P(Ж1) = \frac{17}{29}$)
  • Второй шар - Жёлтый (условная вероятность $P(Ж2|Ж1) = \frac{16}{28}$)
  • Второй шар - Зелёный (условная вероятность $P(З2|Ж1) = \frac{12}{28}$)
• Первый шар - Зелёный (вероятность $P(З1) = \frac{12}{29}$)
  • Второй шар - Жёлтый (условная вероятность $P(Ж2|З1) = \frac{17}{28}$)
  • Второй шар - Зелёный (условная вероятность $P(З2|З1) = \frac{11}{28}$)

Ответ: $\frac{3}{7}$.

3.

Введём обозначения для событий:
А — наугад выбранный слушатель изучает английский язык.
И — наугад выбранный слушатель изучает испанский язык.

Из условия задачи нам даны следующие вероятности:
Вероятность, что слушатель изучает английский: $P(А) = 50\% = 0,5$.
Вероятность, что слушатель изучает испанский: $P(И) = 20\% = 0,2$.
Вероятность, что слушатель изучает испанский, при условии, что он изучает английский: $P(И|А) = 16\% = 0,16$.

Нам необходимо найти вероятность того, что слушатель, изучающий испанский язык, также изучает и английский. Это соответствует условной вероятности $P(А|И)$.
Для нахождения этой вероятности воспользуемся формулой условной вероятности: $P(А|И) = \frac{P(А \cap И)}{P(И)}$.

Сначала найдём вероятность $P(А \cap И)$ — вероятность того, что слушатель изучает оба языка. Её можно найти из другой условной вероятности, $P(И|А) = \frac{P(А \cap И)}{P(А)}$:
$P(А \cap И) = P(И|А) \cdot P(А)$.
Подставим известные значения: $P(А \cap И) = 0,16 \cdot 0,5 = 0,08$.

Теперь, имея все необходимые данные, мы можем вычислить искомую вероятность $P(А|И)$:
$P(А|И) = \frac{P(А \cap И)}{P(И)} = \frac{0,08}{0,2} = \frac{8}{20} = 0,4$.
Ответ: 0,4.

Самостоятельная работа № 20

Независимые события

1. Трижды бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что шестёрка выпадет только во второй раз?

2. Три стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в цель. Вероятность попадания первого стрелка составляет 0,6, второго — 0,8, третьего — 0,7. Какова вероятность того, что будет:

1) три промаха;

2) ровно два попадания?

3. Пять стрелков одновременно независимо друг от друга стреляют в одну цель. Вероятность попадания каждого стрелка равна 0,7. Поражение цели происходит за одно попадание. Найдите вероятность поражения цели.

1.

Событие "шестёрка выпадет только во второй раз" означает, что при первом броске шестёрка не выпала, при втором — выпала, а при третьем — снова не выпала. Так как броски игрального кубика являются независимыми событиями, вероятность этой комбинации можно найти, перемножив вероятности каждого из этих трёх исходов.
Вероятность выпадения шестёрки при одном броске равна $P(6) = \frac{1}{6}$.
Вероятность того, что шестёрка не выпадет (выпадет любое другое число от 1 до 5), равна $P(\text{не } 6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
Искомая вероятность $P$ будет равна произведению вероятностей следующих событий:
1. Первый бросок - не шестёрка: $P_1 = \frac{5}{6}$.
2. Второй бросок - шестёрка: $P_2 = \frac{1}{6}$.
3. Третий бросок - не шестёрка: $P_3 = \frac{5}{6}$.
$P = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{216}$.
Ответ: $\frac{25}{216}$.

2.

Введем обозначения для вероятностей попадания каждого стрелка:
$P_1 = 0,6$ (вероятность попадания первого)
$P_2 = 0,8$ (вероятность попадания второго)
$P_3 = 0,7$ (вероятность попадания третьего)
Тогда вероятности промаха для каждого стрелка (противоположные события) будут:
$Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0,6 = 0,4$
$Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0,8 = 0,2$
$Q_3 = 1 - P_3 = 1 - 0,7 = 0,3$
Выстрелы стрелков являются независимыми событиями.

1) три промаха
Для того чтобы произошло три промаха, каждый из стрелков должен промахнуться. Вероятность этого события равна произведению вероятностей промаха каждого стрелка:
$P(\text{три промаха}) = Q_1 \cdot Q_2 \cdot Q_3 = 0,4 \cdot 0,2 \cdot 0,3 = 0,024$.
Ответ: 0,024.

2) ровно два попадания
Это сложное событие, которое может произойти в одном из трёх несовместных вариантов:
- 1-й и 2-й попали, а 3-й промахнулся. Вероятность: $P_1 \cdot P_2 \cdot Q_3 = 0,6 \cdot 0,8 \cdot 0,3 = 0,144$.
- 1-й и 3-й попали, а 2-й промахнулся. Вероятность: $P_1 \cdot Q_2 \cdot P_3 = 0,6 \cdot 0,2 \cdot 0,7 = 0,084$.
- 2-й и 3-й попали, а 1-й промахнулся. Вероятность: $Q_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = 0,4 \cdot 0,8 \cdot 0,7 = 0,224$.
Общая вероятность ровно двух попаданий равна сумме вероятностей этих трёх вариантов:
$P(\text{ровно два попадания}) = 0,144 + 0,084 + 0,224 = 0,452$.
Ответ: 0,452.

3.

Событие "поражение цели" означает, что произойдет хотя бы одно попадание. Проще вычислить вероятность противоположного события - "цель не поражена", что означает, что все пять стрелков промахнулись, а затем вычесть эту вероятность из 1.
Вероятность попадания для каждого стрелка $p = 0,7$.
Вероятность промаха для каждого стрелка $q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3$.
Так как выстрелы независимы, вероятность того, что все пять стрелков промахнутся, равна произведению их индивидуальных вероятностей промаха:
$P(\text{все промахнулись}) = q^5 = (0,3)^5 = 0,00243$.
Вероятность поражения цели (хотя бы одно попадание) равна:
$P(\text{поражение цели}) = 1 - P(\text{все промахнулись}) = 1 - 0,00243 = 0,99757$.
Ответ: 0,99757.