Страница 29 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 3

Показательные неравенства

Решите неравенство:

1) $(\frac{4}{11})^{x^2} \ge (\frac{11}{4})^{4x-32};$

2) $4^{x+1} - 4^{x-1} + 4^{x-2} \le 244;$

3) $25^{x+0.5} + 4 \cdot 5^x - 1 \ge 0;$

4) $4 \cdot 0.5^{2x} - 17 \cdot 0.5^x + 4 \le 0;$

5) $\frac{0.1^x - 0.01}{6 - x} \ge 0;$

6) $(4^x - 4)\sqrt{x+5} \ge 0.$

1) Исходное неравенство: $(\frac{4}{11})^{x^2} > (\frac{11}{4})^{4x - 32}$.
Приведем правую часть к основанию $\frac{4}{11}$. Так как $\frac{11}{4} = (\frac{4}{11})^{-1}$, получаем:
$(\frac{4}{11})^{x^2} > ((\frac{4}{11})^{-1})^{4x - 32}$
$(\frac{4}{11})^{x^2} > (\frac{4}{11})^{- (4x - 32)}$
$(\frac{4}{11})^{x^2} > (\frac{4}{11})^{32 - 4x}$
Так как основание степени $a = \frac{4}{11}$ и $0 < a < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 < 32 - 4x$
$x^2 + 4x - 32 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 32 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 + 4x - 32$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.
Следовательно, решением является интервал $(-8; 4)$.
Ответ: $x \in (-8; 4)$.

2) Исходное неравенство: $4^{x+1} - 4^{x-1} + 4^{x-2} \le 244$.
Вынесем за скобки общий множитель $4^{x-2}$:
$4^{x-2}(4^3 - 4^1 + 1) \le 244$
$4^{x-2}(64 - 4 + 1) \le 244$
$4^{x-2} \cdot 61 \le 244$
Разделим обе части на 61:
$4^{x-2} \le \frac{244}{61}$
$4^{x-2} \le 4$
$4^{x-2} \le 4^1$
Так как основание степени $a = 4 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:
$x - 2 \le 1$
$x \le 3$
Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

3) Исходное неравенство: $25^{x+0,5} + 4 \cdot 5^x - 1 \ge 0$.
Преобразуем первое слагаемое: $25^{x+0,5} = (5^2)^{x+0,5} = 5^{2(x+0,5)} = 5^{2x+1} = 5 \cdot 5^{2x} = 5 \cdot (5^x)^2$.
Неравенство принимает вид:
$5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
$5t^2 + 4t - 1 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $5t^2 + 4t - 1 = 0$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.
$t_1 = \frac{-4 - 6}{10} = -1$, $t_2 = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Решением неравенства $5t^2 + 4t - 1 \ge 0$ является $t \in (-\infty; -1] \cup [\frac{1}{5}; +\infty)$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем $t \ge \frac{1}{5}$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$5^x \ge \frac{1}{5}$
$5^x \ge 5^{-1}$
Так как основание $a=5 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x \ge -1$.
Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $4 \cdot 0,5^{2x} - 17 \cdot 0,5^x + 4 \le 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 0,5^x$, где $t > 0$.
$4t^2 - 17t + 4 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $4t^2 - 17t + 4 = 0$.
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
$t_1 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$, $t_2 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$.
Решением неравенства $4t^2 - 17t + 4 \le 0$ является $t \in [\frac{1}{4}; 4]$.
Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\frac{1}{4} \le 0,5^x \le 4$.
Представим все части неравенства в виде степени с основанием 0,5:
$(0,5)^2 \le 0,5^x \le (0,5)^{-2}$.
Так как основание $a=0,5$ и $0 < a < 1$, знаки неравенства меняются на противоположные:
$2 \ge x \ge -2$.
То есть, $-2 \le x \le 2$.
Ответ: $x \in [-2; 2]$.

5) Исходное неравенство: $\frac{0,1^x - 0,01}{6 - x} > 0$.
Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
1. Нуль числителя: $0,1^x - 0,01 = 0 \implies 0,1^x = 0,01 \implies 0,1^x = (0,1)^2 \implies x = 2$.
2. Нуль знаменателя: $6 - x = 0 \implies x = 6$.
Отметим точки 2 и 6 на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 6)$, $(6; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале:
- При $x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{0,1^0 - 0,01}{6 - 0} = \frac{1 - 0,01}{6} = \frac{0,99}{6} > 0$.
- При $2 < x < 6$ (например, $x=3$): $\frac{0,1^3 - 0,01}{6 - 3} = \frac{0,001 - 0,01}{3} = \frac{-0,009}{3} < 0$.
- При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{0,1^7 - 0,01}{6 - 7} = \frac{\text{отрицательное число}}{-1} > 0$.
Неравенство строгое, поэтому выбираем интервалы, где выражение положительно.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$.

6) Исходное неравенство: $(4^x - 4)\sqrt{x+5} \ge 0$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$.
Рассмотрим два случая:
1. Выражение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю:
$4^x - 4 = 0 \implies 4^x = 4^1 \implies x = 1$. (входит в ОДЗ)
$\sqrt{x+5} = 0 \implies x+5 = 0 \implies x = -5$. (входит в ОДЗ)
Таким образом, $x=1$ и $x=-5$ являются решениями.
2. Выражение строго больше нуля: $(4^x - 4)\sqrt{x+5} > 0$.
На ОДЗ, кроме точки $x=-5$, множитель $\sqrt{x+5}$ всегда положителен. Поэтому неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} 4^x - 4 > 0 \\ x+5 > 0 \end{cases}$
Решаем первое неравенство: $4^x > 4 \implies x > 1$.
Решаем второе неравенство: $x > -5$.
Пересечением решений $x > 1$ и $x > -5$ является $x > 1$.
Объединяя решения из обоих случаев (равенство нулю и строгое неравенство), получаем:
$x \in \{-5\} \cup [1; +\infty)$.
Ответ: $x \in \{-5\} \cup [1; +\infty)$.

Самостоятельная работа № 4

Логарифм и его свойства

1. Найдите значение выражения:

1) $\log_{0,2}\log_2 32$;

2) $\log_{12} 16 + \log_{12} 9$;

3) $\frac{\log_6 128}{\log_6 2}$;

4) $\log_{\sqrt{3}} 243$;

5) $64^{1 - \log_4 6}$;

6) $7^{\frac{3}{\log_8 7}}$.

2. Решите уравнение:

1) $6^x = 11$;

2) $\log_{x - 2} 100 = 2$.

3. Найдите значение выражения $\frac{3\lg 2 - \lg 0,5}{\lg 0,4 + \lg 1,25}$.

4. Постройте график функции:

1) $y = 10^{\lg(x - 1)}$;

2) $y = \log_{x + 2} (x + 2)$.

5. Найдите $\log_6 3$, если $\log_6 16 = m$.

1. Найдите значение выражения:

1) $\log_{0,2}\log_{2}32$

Сначала вычислим внутренний логарифм: $\log_{2}32$. Так как $2^5 = 32$, то $\log_{2}32 = 5$.

Теперь выражение принимает вид: $\log_{0,2}5$.

Основание логарифма $0,2$ можно представить в виде дроби $\frac{1}{5}$ или $5^{-1}$.

Получаем: $\log_{0,2}5 = \log_{5^{-1}}5$.

Используем свойство логарифма $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_{a}b$:

$\log_{5^{-1}}5 = \frac{1}{-1}\log_{5}5 = -1 \cdot 1 = -1$.

Ответ: $-1$.

2) $\log_{12}16 + \log_{12}9$

Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)$.

$\log_{12}16 + \log_{12}9 = \log_{12}(16 \cdot 9) = \log_{12}144$.

Так как $12^2 = 144$, то $\log_{12}144 = 2$.

Ответ: $2$.

3) $\frac{\log_6 128}{\log_6 2}$

Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. В данном случае формула применяется в обратном порядке: $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$.

$\frac{\log_6 128}{\log_6 2} = \log_2 128$.

Так как $2^7 = 128$, то $\log_2 128 = 7$.

Ответ: $7$.

4) $\log_{\sqrt{3}}243$

Представим основание и аргумент логарифма в виде степени числа 3.

Основание: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.

Аргумент: $243 = 3^5$.

Выражение принимает вид: $\log_{3^{1/2}}3^5$.

Используем свойство логарифма $\log_{a^k}b^m = \frac{m}{k}\log_{a}b$:

$\log_{3^{1/2}}3^5 = \frac{5}{1/2}\log_{3}3 = \frac{5}{1/2} \cdot 1 = 5 \cdot 2 = 10$.

Ответ: $10$.

5) $64^{1 - \log_4 6}$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$64^{1 - \log_4 6} = \frac{64^1}{64^{\log_4 6}}$.

Преобразуем знаменатель. Представим $64$ как степень числа $4$: $64 = 4^3$.

$64^{\log_4 6} = (4^3)^{\log_4 6} = 4^{3\log_4 6}$.

Используем свойство логарифма $k\log_a b = \log_a b^k$:

$4^{3\log_4 6} = 4^{\log_4 6^3}$.

Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$4^{\log_4 6^3} = 6^3 = 216$.

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$\frac{64}{216}$. Сократим дробь. Оба числа делятся на 8: $64 \div 8 = 8$, $216 \div 8 = 27$.

Получаем $\frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{8}{27}$.

6) $7^{\frac{3}{\log_8 7}}$

Преобразуем показатель степени, используя свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:

$\frac{3}{\log_8 7} = 3 \cdot \frac{1}{\log_8 7} = 3\log_7 8$.

Используем свойство логарифма $k\log_a b = \log_a b^k$:

$3\log_7 8 = \log_7 8^3 = \log_7 512$.

Теперь выражение принимает вид: $7^{\log_7 512}$.

Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$7^{\log_7 512} = 512$.

Ответ: $512$.

2. Решите уравнение:

1) $6^x = 11$

По определению логарифма, если $a^x = b$, то $x = \log_a b$.

Применяя это определение к данному уравнению, получаем:

$x = \log_6 11$.

Ответ: $\log_6 11$.

2) $\log_{x-2}100 = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:

$x-2 > 0 \implies x > 2$

$x-2 \neq 1 \implies x \neq 3$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (2, 3) \cup (3, +\infty)$.

По определению логарифма, $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$.

$(x-2)^2 = 100$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x-2 = 10$ или $x-2 = -10$.

Решим каждое уравнение:

1) $x-2 = 10 \implies x = 12$.

2) $x-2 = -10 \implies x = -8$.

Проверим полученные корни на соответствие ОДЗ.

Корень $x=12$ удовлетворяет условиям $x>2$ и $x \neq 3$.

Корень $x=-8$ не удовлетворяет условию $x>2$, поэтому является посторонним.

Ответ: $12$.

3. Найдите значение выражения:

$\frac{3\lg 2 - \lg 0,5}{\lg 0,4 + \lg 1,25}$

Упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель: $3\lg 2 - \lg 0,5$.

Используем свойства логарифмов $k\log_a b = \log_a b^k$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$3\lg 2 - \lg 0,5 = \lg 2^3 - \lg 0,5 = \lg 8 - \lg 0,5 = \lg\left(\frac{8}{0,5}\right) = \lg 16$.

Знаменатель: $\lg 0,4 + \lg 1,25$.

Используем свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\lg 0,4 + \lg 1,25 = \lg(0,4 \cdot 1,25) = \lg(0,5)$.

Теперь исходное выражение имеет вид:

$\frac{\lg 16}{\lg 0,5}$.

Представим $16$ как $2^4$ и $0,5$ как $2^{-1}$:

$\frac{\lg(2^4)}{\lg(2^{-1})} = \frac{4\lg 2}{-1\lg 2}$.

Сокращаем $\lg 2$:

$\frac{4}{-1} = -4$.

Ответ: $-4$.

4. Постройте график функции:

1) $y = 10^{\lg(x-1)}$

Найдем область определения функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x-1 > 0 \implies x > 1$.

Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В данном случае $\lg$ — это логарифм по основанию 10.

$y = 10^{\log_{10}(x-1)} = x-1$.

Таким образом, нужно построить график функции $y = x-1$ при условии $x > 1$.

Это часть прямой линии. Графиком является луч, начинающийся в точке $(1, 0)$, причем сама точка $(1, 0)$ не включена (на графике ее отмечают выколотой точкой).

Для построения найдем две точки:

При $x=2$, $y = 2-1 = 1$. Точка $(2, 1)$.

При $x=3$, $y = 3-1 = 2$. Точка $(3, 2)$.

Ответ: Графиком функции является луч $y = x-1$ с выколотой начальной точкой $(1, 0)$.

2) $y = \log_{x+2}(x+2)$

Найдем область определения функции. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице:

$x+2 > 0 \implies x > -2$.

$x+2 \neq 1 \implies x \neq -1$.

Область определения: $x \in (-2, -1) \cup (-1, +\infty)$.

Используем свойство логарифма $\log_a a = 1$.

Так как основание и аргумент логарифма равны, функция упрощается до $y=1$ на всей области ее определения.

Графиком функции является горизонтальная прямая $y=1$, у которой "выколоты" две части: точка, где $x=-1$, и все точки, где $x \le -2$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$ с выколотой точкой $(-1, 1)$, определенная для $x > -2$.

5. Найдите $\log_6 3$, если $\log_6 16 = m$.

Дано: $\log_6 16 = m$.

Преобразуем данное выражение:

$\log_6 16 = \log_6(2^4) = 4\log_6 2$.

Таким образом, $4\log_6 2 = m$, откуда $\log_6 2 = \frac{m}{4}$.

Теперь выразим $\log_6 3$. Мы можем представить число 3 через основание 6 и число 2: $3 = \frac{6}{2}$.

$\log_6 3 = \log_6\left(\frac{6}{2}\right)$.

Используем свойство логарифма частного $\log_a(b/c) = \log_a b - \log_a c$:

$\log_6\left(\frac{6}{2}\right) = \log_6 6 - \log_6 2$.

Мы знаем, что $\log_6 6 = 1$ и ранее мы нашли, что $\log_6 2 = \frac{m}{4}$.

Подставляем эти значения:

$\log_6 3 = 1 - \frac{m}{4}$.

Ответ: $1 - \frac{m}{4}$.

Самостоятельная работа № 5

Логарифмическая функция и её свойства

1. Сравните:

1) $ \log_{0,8} 8 $ и $ \log_{0,9} 7 $;

2) $ \log_5 600 $ и $ 4 $;

3) $ \log_{35} 36 $ и $ \log_{36} 35 $;

4) $ \log_{0,8} 0,7 $ и $ \log_{0,7} 0,8 $.

2. Найдите область определения функции:

1) $ y = \log_{0,4} (3x - 14) $;

2) $ y = \log_{x + 9} (14 - x) $;

3) $ y = \log_{0,1} (18 + 3x - x^2) - \frac{1}{\log_{0,1} (x + 2)} $.

3. Постройте график функции:

1) $ y = \log_4 (x - 3) $;

2) $ y = \log_{0,5} (-x) + 2 $;

3) $ y = |\log_4 x| $.

4. Найдите наибольшее значение функции

$ y = \log_{\frac{1}{7}} (x^2 + 2x + 9) $.

1.

1) Функция $y = \log_{0,9}x$ является убывающей, так как её основание $a = 0,9$ и $0 < a < 1$. Для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку $8 > 7$, то $\log_{0,9}8 < \log_{0,9}7$.
Ответ: $\log_{0,9}8 < \log_{0,9}7$.

2) Представим число $4$ в виде логарифма с основанием $5$: $4 = \log_5(5^4) = \log_5(625)$. Теперь сравним $\log_5600$ и $\log_5625$. Функция $y = \log_5x$ является возрастающей, так как её основание $a = 5 > 1$. Для возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку $600 < 625$, то $\log_5600 < \log_5625$.
Ответ: $\log_5600 < 4$.

3) Сравним каждое из чисел с единицей.
Для $\log_{35}36$: основание $35 > 1$ и аргумент $36 > 35$, следовательно, $\log_{35}36 > \log_{35}35 = 1$.
Для $\log_{36}35$: основание $36 > 1$ и аргумент $35 < 36$, следовательно, $\log_{36}35 < \log_{36}36 = 1$.
Так как $\log_{35}36 > 1$ и $\log_{36}35 < 1$, то $\log_{35}36 > \log_{36}35$.
Ответ: $\log_{35}36 > \log_{36}35$.

4) Сравним каждое из чисел с единицей.
Для $\log_{0,8}0,7$: основание $0,8 < 1$ и аргумент $0,7 < 0,8$. Так как функция убывающая, то $\log_{0,8}0,7 > \log_{0,8}0,8 = 1$.
Для $\log_{0,7}0,8$: основание $0,7 < 1$ и аргумент $0,8 > 0,7$. Так как функция убывающая, то $\log_{0,7}0,8 < \log_{0,7}0,7 = 1$.
Так как $\log_{0,8}0,7 > 1$ и $\log_{0,7}0,8 < 1$, то $\log_{0,8}0,7 > \log_{0,7}0,8$.
Ответ: $\log_{0,8}0,7 > \log_{0,7}0,8$.

2.

1) $y = \log_{0,4}(3x - 14)$. Область определения логарифмической функции определяется условием, что её аргумент должен быть строго положителен.
$3x - 14 > 0$
$3x > 14$
$x > \frac{14}{3}$
Ответ: $(\frac{14}{3}; +\infty)$.

2) $y = \log_{x+9}(14 - x)$. Для нахождения области определения должны выполняться три условия:
1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $14 - x > 0 \Rightarrow x < 14$.
2. Основание логарифма должно быть положительно: $x + 9 > 0 \Rightarrow x > -9$.
3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $x + 9 \neq 1 \Rightarrow x \neq -8$.
Объединяя все условия, получаем: $x \in (-9; 14)$ и $x \neq -8$.
Ответ: $(-9; -8) \cup (-8; 14)$.

3) $y = \log_{0,1}(18 + 3x - x^2) - \frac{1}{\log_{0,1}(x + 2)}$. Область определения находится из системы условий:
1. Аргумент первого логарифма положителен: $18 + 3x - x^2 > 0$. Умножим на -1: $x^2 - 3x - 18 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$ равны $x_1 = -3, x_2 = 6$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-3; 6)$.
2. Аргумент второго логарифма положителен: $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$.
3. Знаменатель не равен нулю: $\log_{0,1}(x + 2) \neq 0$. Это означает, что $x + 2 \neq 1 \Rightarrow x \neq -1$.
Пересечение всех условий: $x \in (-3; 6) \cap (-2; +\infty) \cap \{x \neq -1\}$. Это дает интервал $(-2; 6)$ с исключенной точкой $x = -1$.
Ответ: $(-2; -1) \cup (-1; 6)$.

3.

1) $y = \log_4(x - 3)$. График этой функции можно построить, сдвинув график функции $y = \log_4(x)$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.
- Вертикальная асимптота: $x = 3$.
- Область определения: $x > 3$.
- График проходит через точки, например, $(4, 0)$ и $(7, 1)$.
- Функция возрастающая.
Ответ: График функции $y = \log_4(x)$ сдвинут на 3 единицы вправо. Вертикальная асимптота $x=3$.

2) $y = \log_{0,5}(-x) + 2$. График этой функции можно построить из графика $y = \log_{0,5}(x)$ в три шага:
1. Строим график $y = \log_{0,5}(x)$ (убывающая функция).
2. Отображаем его симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график $y = \log_{0,5}(-x)$.
3. Сдвигаем полученный график на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Область определения: $x < 0$.
- График проходит через точки, например, $(-1, 2)$ и $(-4, 0)$.
Ответ: График функции $y = \log_{0,5}(x)$ отражен относительно оси OY и сдвинут на 2 единицы вверх.

3) $y = |\log_4x|$. График этой функции строится на основе графика $y = \log_4(x)$.
1. Строим график $y = \log_4(x)$ (возрастающая функция, проходит через $(1,0)$).
2. Часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$, то есть при $0 < x < 1$), симметрично отображаем относительно оси Ox.
3. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox (где $y \ge 0$, то есть при $x \ge 1$), оставляем без изменений.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Область определения: $x > 0$.
- Область значений: $y \ge 0$.
Ответ: Часть графика $y = \log_4x$ на интервале $(0,1)$ отражена симметрично относительно оси OX.

4.

Дана функция $y = \log_{\frac{1}{7}}(x^2 + 2x + 9)$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{7}$ находится в интервале $(0; 1)$, следовательно, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что своего наибольшего значения функция достигнет тогда, когда её аргумент примет наименьшее значение.
Найдем наименьшее значение выражения $t(x) = x^2 + 2x + 9$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями вверх. Наименьшее значение достигается в вершине параболы.
Координата вершины по оси x: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Наименьшее значение аргумента: $t_{min} = t(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 9 = 1 - 2 + 9 = 8$.
Теперь найдем наибольшее значение функции $y$:
$y_{max} = \log_{\frac{1}{7}}(t_{min}) = \log_{\frac{1}{7}}(8)$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{7}}8$.