Номер 3, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 3

Показательные неравенства

Решите неравенство:

1) $(\frac{4}{11})^{x^2} \ge (\frac{11}{4})^{4x-32};$

2) $4^{x+1} - 4^{x-1} + 4^{x-2} \le 244;$

3) $25^{x+0.5} + 4 \cdot 5^x - 1 \ge 0;$

4) $4 \cdot 0.5^{2x} - 17 \cdot 0.5^x + 4 \le 0;$

5) $\frac{0.1^x - 0.01}{6 - x} \ge 0;$

6) $(4^x - 4)\sqrt{x+5} \ge 0.$

1) Исходное неравенство: $(\frac{4}{11})^{x^2} > (\frac{11}{4})^{4x - 32}$.
Приведем правую часть к основанию $\frac{4}{11}$. Так как $\frac{11}{4} = (\frac{4}{11})^{-1}$, получаем:
$(\frac{4}{11})^{x^2} > ((\frac{4}{11})^{-1})^{4x - 32}$
$(\frac{4}{11})^{x^2} > (\frac{4}{11})^{- (4x - 32)}$
$(\frac{4}{11})^{x^2} > (\frac{4}{11})^{32 - 4x}$
Так как основание степени $a = \frac{4}{11}$ и $0 < a < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 < 32 - 4x$
$x^2 + 4x - 32 < 0$
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 32 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 + 4x - 32$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется между корнями.
Следовательно, решением является интервал $(-8; 4)$.
Ответ: $x \in (-8; 4)$.

2) Исходное неравенство: $4^{x+1} - 4^{x-1} + 4^{x-2} \le 244$.
Вынесем за скобки общий множитель $4^{x-2}$:
$4^{x-2}(4^3 - 4^1 + 1) \le 244$
$4^{x-2}(64 - 4 + 1) \le 244$
$4^{x-2} \cdot 61 \le 244$
Разделим обе части на 61:
$4^{x-2} \le \frac{244}{61}$
$4^{x-2} \le 4$
$4^{x-2} \le 4^1$
Так как основание степени $a = 4 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:
$x - 2 \le 1$
$x \le 3$
Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

3) Исходное неравенство: $25^{x+0,5} + 4 \cdot 5^x - 1 \ge 0$.
Преобразуем первое слагаемое: $25^{x+0,5} = (5^2)^{x+0,5} = 5^{2(x+0,5)} = 5^{2x+1} = 5 \cdot 5^{2x} = 5 \cdot (5^x)^2$.
Неравенство принимает вид:
$5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
$5t^2 + 4t - 1 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $5t^2 + 4t - 1 = 0$.
$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.
$t_1 = \frac{-4 - 6}{10} = -1$, $t_2 = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Решением неравенства $5t^2 + 4t - 1 \ge 0$ является $t \in (-\infty; -1] \cup [\frac{1}{5}; +\infty)$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем $t \ge \frac{1}{5}$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$5^x \ge \frac{1}{5}$
$5^x \ge 5^{-1}$
Так как основание $a=5 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$x \ge -1$.
Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $4 \cdot 0,5^{2x} - 17 \cdot 0,5^x + 4 \le 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 0,5^x$, где $t > 0$.
$4t^2 - 17t + 4 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $4t^2 - 17t + 4 = 0$.
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
$t_1 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$, $t_2 = \frac{17 + 15}{8} = \frac{32}{8} = 4$.
Решением неравенства $4t^2 - 17t + 4 \le 0$ является $t \in [\frac{1}{4}; 4]$.
Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\frac{1}{4} \le 0,5^x \le 4$.
Представим все части неравенства в виде степени с основанием 0,5:
$(0,5)^2 \le 0,5^x \le (0,5)^{-2}$.
Так как основание $a=0,5$ и $0 < a < 1$, знаки неравенства меняются на противоположные:
$2 \ge x \ge -2$.
То есть, $-2 \le x \le 2$.
Ответ: $x \in [-2; 2]$.

5) Исходное неравенство: $\frac{0,1^x - 0,01}{6 - x} > 0$.
Решим методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
1. Нуль числителя: $0,1^x - 0,01 = 0 \implies 0,1^x = 0,01 \implies 0,1^x = (0,1)^2 \implies x = 2$.
2. Нуль знаменателя: $6 - x = 0 \implies x = 6$.
Отметим точки 2 и 6 на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 6)$, $(6; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале:
- При $x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{0,1^0 - 0,01}{6 - 0} = \frac{1 - 0,01}{6} = \frac{0,99}{6} > 0$.
- При $2 < x < 6$ (например, $x=3$): $\frac{0,1^3 - 0,01}{6 - 3} = \frac{0,001 - 0,01}{3} = \frac{-0,009}{3} < 0$.
- При $x > 6$ (например, $x=7$): $\frac{0,1^7 - 0,01}{6 - 7} = \frac{\text{отрицательное число}}{-1} > 0$.
Неравенство строгое, поэтому выбираем интервалы, где выражение положительно.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)$.

6) Исходное неравенство: $(4^x - 4)\sqrt{x+5} \ge 0$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x+5 \ge 0 \implies x \ge -5$.
Рассмотрим два случая:
1. Выражение равно нулю. Это происходит, когда один из множителей равен нулю:
$4^x - 4 = 0 \implies 4^x = 4^1 \implies x = 1$. (входит в ОДЗ)
$\sqrt{x+5} = 0 \implies x+5 = 0 \implies x = -5$. (входит в ОДЗ)
Таким образом, $x=1$ и $x=-5$ являются решениями.
2. Выражение строго больше нуля: $(4^x - 4)\sqrt{x+5} > 0$.
На ОДЗ, кроме точки $x=-5$, множитель $\sqrt{x+5}$ всегда положителен. Поэтому неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} 4^x - 4 > 0 \\ x+5 > 0 \end{cases}$
Решаем первое неравенство: $4^x > 4 \implies x > 1$.
Решаем второе неравенство: $x > -5$.
Пересечением решений $x > 1$ и $x > -5$ является $x > 1$.
Объединяя решения из обоих случаев (равенство нулю и строгое неравенство), получаем:
$x \in \{-5\} \cup [1; +\infty)$.
Ответ: $x \in \{-5\} \cup [1; +\infty)$.