Номер 6, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Логарифмические уравнения

Решите уравнение:

1) $ \log_{27} \log_{3/\sqrt{3}} \log_7 x = \frac{1}{3}; $

2) $ \log_2(x^2 - 8x + 13) = \log_2(x - 5); $

3) $ \log_6(x + 1) + \log_6(2x + 1) = 1; $

4) $ \log_2 x - 5\log_x 8 = 2; $

5) $ x^{\log_2 x - 6} = \frac{1}{32}; $

6) $ x^{\log_{13} 15} + 15^{\log_{13} x} = 450. $

1) $log_{27} log_{3\sqrt{3}} log_{7} x = \frac{1}{3}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть строго больше нуля.

1. $x > 0$

2. $log_{7} x > 0 \Rightarrow x > 7^0 \Rightarrow x > 1$

3. $log_{3\sqrt{3}} log_{7} x > 0 \Rightarrow log_{7} x > (3\sqrt{3})^0 \Rightarrow log_{7} x > 1 \Rightarrow x > 7^1 \Rightarrow x > 7$

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 7$.

Теперь решим уравнение, используя определение логарифма $log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$:

$log_{27} (log_{3\sqrt{3}} log_{7} x) = \frac{1}{3}$

$log_{3\sqrt{3}} log_{7} x = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь решаем следующее "внутреннее" уравнение:

$log_{3\sqrt{3}} (log_{7} x) = 3$

$log_{7} x = (3\sqrt{3})^3 = 3^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = 27 \cdot 3\sqrt{3} = 81\sqrt{3}$

И, наконец, находим $x$:

$x = 7^{81\sqrt{3}}$

Полученное значение удовлетворяет ОДЗ ($7^{81\sqrt{3}} > 7$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $x = 7^{81\sqrt{3}}$

2) $log_{2}(x^2 - 8x + 13) = log_{2}(x - 5)$

Определим ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases} x^2 - 8x + 13 > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства получаем $x > 5$. Проверим, выполняется ли при этом первое неравенство. Если $x > 5$, то $x-5 > 0$. Выражение $x^2 - 8x + 13$ можно переписать как $(x-5)(x-3)-2$. Для $x>5$ это не очевидно. Найдем корни $x^2 - 8x + 13 = 0$. $D = 64 - 4 \cdot 13 = 12$. $x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2} = 4 \pm \sqrt{3}$. Парабола ветвями вверх, значит $x^2 - 8x + 13 > 0$ при $x \in (-\infty; 4-\sqrt{3}) \cup (4+\sqrt{3}; +\infty)$.

Так как $4+\sqrt{3} \approx 4+1.73=5.73$, то общим решением системы неравенств будет $x > 4+\sqrt{3}$.

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$x^2 - 8x + 13 = x - 5$

$x^2 - 9x + 18 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = 6$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 4+\sqrt{3} \approx 5.73$):

$x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = 6$ удовлетворяет ОДЗ, так как $6 > 5.73$.

Ответ: $x = 6$

3) $log_{6}(x + 1) + log_{6}(2x + 1) = 1$

ОДЗ:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 2x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1 \\ x > -0.5 \end{cases} \Rightarrow x > -0.5$

Используем свойство суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(bc)$:

$log_{6}((x + 1)(2x + 1)) = 1$

По определению логарифма:

$(x + 1)(2x + 1) = 6^1 = 6$

$2x^2 + x + 2x + 1 = 6$

$2x^2 + 3x - 5 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

$x_1 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5$

$x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

Проверяем корни по ОДЗ ($x > -0.5$):

$x_1 = -2.5$ не удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 1$

4) $log_{2} x - 5log_{x} 8 = 2$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию: $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$. Перейдем к основанию 2:

$log_{x} 8 = \frac{log_{2} 8}{log_{2} x} = \frac{3}{log_{2} x}$

Подставляем в исходное уравнение:

$log_{2} x - 5 \cdot \frac{3}{log_{2} x} = 2$

$log_{2} x - \frac{15}{log_{2} x} = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_{2} x$. Тогда $t \neq 0$.

$t - \frac{15}{t} = 2$

Умножим обе части на $t$:

$t^2 - 15 = 2t$

$t^2 - 2t - 15 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.

Возвращаемся к замене:

1. $log_{2} x = 5 \Rightarrow x = 2^5 = 32$

2. $log_{2} x = -3 \Rightarrow x = 2^{-3} = \frac{1}{8}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$).

Ответ: $x_1 = \frac{1}{8}, x_2 = 32$

5) $x^{log_{2} x - 6} = \frac{1}{32}$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$log_{2}(x^{log_{2} x - 6}) = log_{2}(\frac{1}{32})$

Используем свойство $log_a(b^c) = c \cdot log_a b$:

$(log_{2} x - 6) \cdot log_{2} x = log_{2}(2^{-5})$

$(log_{2} x - 6) \cdot log_{2} x = -5$

Сделаем замену $t = log_{2} x$:

$(t - 6)t = -5$

$t^2 - 6t + 5 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Возвращаемся к замене:

1. $log_{2} x = 1 \Rightarrow x = 2^1 = 2$

2. $log_{2} x = 5 \Rightarrow x = 2^5 = 32$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = 32$

6) $x^{log_{13} 15} + 15^{log_{13} x} = 450$

ОДЗ: $x > 0$.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством в обобщенном виде: $a^{log_b c} = c^{log_b a}$.

Применим это свойство к первому слагаемому:

$x^{log_{13} 15} = 15^{log_{13} x}$

Тогда уравнение примет вид:

$15^{log_{13} x} + 15^{log_{13} x} = 450$

$2 \cdot 15^{log_{13} x} = 450$

$15^{log_{13} x} = \frac{450}{2} = 225$

Так как $225 = 15^2$, получаем:

$15^{log_{13} x} = 15^2$

Приравниваем показатели степени:

$log_{13} x = 2$

По определению логарифма:

$x = 13^2 = 169$

Корень $x=169$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x = 169$