Номер 12, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 12

Площадь криволинейной трапеции.

Определённый интеграл.

Вычисление объёмов тел

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

1) $y = x^2 + 2x + 1$ и $y = 5 - x^2$;

2) $y = x + 4$ и $y = |x^2 + 4x|$.

2. Найдите, при каком значении параметра а площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 9x^2$ и прямыми $y = 0$, $x = a$, $x = a - 3$, принимает наименьшее значение.

3. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите

$\int_{-4}^{-2} \sqrt{-4x - x^2} dx$.

4. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{x - 3}$ и прямыми $x = 7$ и $y = 0$.

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2 + 2x + 1$ и $y = 5 - x^2$, сначала найдем точки их пересечения, приравняв выражения для $y$:
$x^2 + 2x + 1 = 5 - x^2$
$2x^2 + 2x - 4 = 0$
$x^2 + x - 2 = 0$
По теореме Виета находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Это будут пределы интегрирования.

Далее определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $(-2, 1)$. Возьмем пробную точку $x=0$:
$y_1 = 0^2 + 2 \cdot 0 + 1 = 1$
$y_2 = 5 - 0^2 = 5$
Так как $5 > 1$, на интервале $[-2, 1]$ график функции $y = 5 - x^2$ лежит выше графика функции $y = x^2 + 2x + 1$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{-2}^{1} ((5 - x^2) - (x^2 + 2x + 1)) dx = \int_{-2}^{1} (4 - 2x - 2x^2) dx$
Вычислим определенный интеграл:
$S = [4x - 2\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3}]_{-2}^{1} = [4x - x^2 - \frac{2}{3}x^3]_{-2}^{1}$
$S = (4(1) - (1)^2 - \frac{2}{3}(1)^3) - (4(-2) - (-2)^2 - \frac{2}{3}(-2)^3)$
$S = (4 - 1 - \frac{2}{3}) - (-8 - 4 - \frac{2}{3}(-8)) = (3 - \frac{2}{3}) - (-12 + \frac{16}{3})$
$S = \frac{7}{3} - (\frac{-36 + 16}{3}) = \frac{7}{3} - (-\frac{20}{3}) = \frac{7 + 20}{3} = \frac{27}{3} = 9$
Ответ: 9

2)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками $y = x + 4$ и $y = |x^2 + 4x|$, найдем точки их пересечения.
$x + 4 = |x^2 + 4x|$. Так как левая часть $x+4$ должна быть неотрицательной, то $x \ge -4$.
Раскроем модуль:
1) $x^2 + 4x \ge 0 \implies x(x+4) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$.
Уравнение: $x+4 = x^2+4x \implies x^2+3x-4=0 \implies (x+4)(x-1)=0$. Корни $x=-4$ и $x=1$. Оба удовлетворяют условию.2) $x^2 + 4x < 0 \implies x(x+4) < 0 \implies x \in (-4, 0)$.
Уравнение: $x+4 = -(x^2+4x) \implies x^2+5x+4=0 \implies (x+4)(x+1)=0$. Корни $x=-4$ (не входит в интервал) и $x=-1$.

Точки пересечения: $x = -4$, $x = -1$, $x = 1$. Площадь нужно разбить на интегралы по промежуткам $[-4, -1]$ и $[-1, 1]$.
На интервале $[-4, -1]$: $x \in (-4,0)$, поэтому $|x^2+4x| = -x^2-4x$. Сравним функции: $(-x^2-4x) - (x+4) = -x^2-5x-4 = -(x+1)(x+4)$. На $(-4,-1)$ это выражение положительно, значит $-x^2-4x$ больше.$S_1 = \int_{-4}^{-1} ((-x^2-4x) - (x+4)) dx = \int_{-4}^{-1} (-x^2-5x-4) dx = [-\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - 4x]_{-4}^{-1} = (\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4) - (\frac{64}{3} - 40 + 16) = \frac{11}{6} - (-\frac{8}{3}) = \frac{11+16}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

На интервале $[-1, 1]$: нужно разбить на два участка: $[-1, 0]$ и $[0, 1]$.
На $[-1, 0]$: $|x^2+4x| = -x^2-4x$. Функция $x+4$ больше.$S_2 = \int_{-1}^{0} ((x+4) - (-x^2-4x)) dx = \int_{-1}^{0} (x^2+5x+4) dx = [\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 4x]_{-1}^{0} = 0 - (-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4) = -(\frac{-2+15-24}{6}) = \frac{11}{6}$.

На $[0, 1]$: $|x^2+4x| = x^2+4x$. Функция $x+4$ больше.$S_3 = \int_{0}^{1} ((x+4) - (x^2+4x)) dx = \int_{0}^{1} (-x^2-3x+4) dx = [-\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 4x]_{0}^{1} = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 4 - 0 = \frac{-2-9+24}{6} = \frac{13}{6}$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{9}{2} + \frac{11}{6} + \frac{13}{6} = \frac{27}{6} + \frac{11}{6} + \frac{13}{6} = \frac{51}{6} = \frac{17}{2}$.
Ответ: $\frac{17}{2}$

2.

Фигура ограничена параболой $y = 9x^2$, осью абсцисс $y=0$ и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=a-3$. Так как $9x^2 \ge 0$ для любого $x$, площадь фигуры $S$ можно найти с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования — от $a-3$ до $a$.
$S(a) = \int_{a-3}^{a} 9x^2 dx$
Вычислим интеграл:
$S(a) = [9\frac{x^3}{3}]_{a-3}^{a} = [3x^3]_{a-3}^{a} = 3a^3 - 3(a-3)^3$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$S(a) = 3a^3 - 3(a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 - 3^3) = 3a^3 - 3(a^3 - 9a^2 + 27a - 27)$
$S(a) = 3a^3 - 3a^3 + 27a^2 - 81a + 81 = 27a^2 - 81a + 81$
Получили квадратичную функцию от $a$. Это парабола с ветвями вверх, ее наименьшее значение достигается в вершине. Найдем координату вершины $a_0$ по формуле $a_0 = -\frac{B}{2A}$:
$a_0 = -\frac{-81}{2 \cdot 27} = \frac{81}{54} = \frac{3}{2}$
Таким образом, площадь принимает наименьшее значение при $a = 1.5$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

3.

Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{a}^{b} f(x) dx$ — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$, $x=b$.
Рассмотрим функцию под интегралом: $y = \sqrt{-4x - x^2}$.
Возведем обе части в квадрат: $y^2 = -4x - x^2$ (при условии $y \ge 0$).
$x^2 + 4x + y^2 = 0$
Выделим полный квадрат для $x$:
$(x^2 + 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$
$(x+2)^2 + y^2 = 4 = 2^2$
Это уравнение окружности с центром в точке $C(-2, 0)$ и радиусом $R=2$. Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем верхнюю полуокружность.
Интеграл $\int_{-4}^{-2} \sqrt{-4x - x^2} dx$ представляет собой площадь фигуры под верхней полуокружностью от $x=-4$ до $x=-2$. Пределы интегрирования соответствуют левой четверти окружности (от самой левой точки $x=-4$ до центра $x=-2$).
Площадь всей окружности равна $A = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.
Площадь, соответствующая интегралу, равна площади четверти круга:
$S = \frac{1}{4} A = \frac{1}{4} \cdot 4\pi = \pi$
Ответ: $\pi$

4.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$, $x=b$, вычисляется по формуле:
$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$
В данном случае фигура ограничена $y = \sqrt{x-3}$, $y=0$ (ось абсцисс) и $x=7$. Нижний предел интегрирования найдем из условия $y=0 \implies \sqrt{x-3} = 0 \implies x=3$. Таким образом, пределы интегрирования от $a=3$ до $b=7$.
Подставим данные в формулу:
$f(x) = \sqrt{x-3} \implies [f(x)]^2 = (\sqrt{x-3})^2 = x-3$
$V = \pi \int_{3}^{7} (x-3) dx$
Вычислим интеграл:
$V = \pi [\frac{x^2}{2} - 3x]_{3}^{7} = \pi ((\frac{7^2}{2} - 3 \cdot 7) - (\frac{3^2}{2} - 3 \cdot 3))$
$V = \pi ((\frac{49}{2} - 21) - (\frac{9}{2} - 9)) = \pi ((\frac{49-42}{2}) - (\frac{9-18}{2})) = \pi (\frac{7}{2} - (-\frac{9}{2}))$
$V = \pi (\frac{7+9}{2}) = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi$
Ответ: $8\pi$