Номер 19, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Условная вероятность

1. Известно, что $P(A) = 0.2$, $P(B) = 0.6$ и $P(A \cup B) = 0.4$. Найдите:

1) $P(A \cap B)$;

2) $P_A(B)$;

3) $P_B(A)$.

2. Из коробки, в которой лежат 23 белых и 11 чёрных шаров, наугад берут сначала один, а потом ещё один шар. Известно, что первый шар был белым. Вычислите вероятность того, что второй шар окажется чёрным. Составьте дендрограмму этого опыта.

3. Среди слушателей курсов иностранных языков есть те, кто изучает английский и итальянский языки. Вероятность того, что наугад выбранный слушатель курсов изучает английский язык, равна 60%, а итальянский — 15%. Среди тех, кто изучает английский язык, доля изучающих итальянский составляет 10%. Найдите вероятность того, что наугад выбранный слушатель, изучающий итальянский язык, также изучает английский.

1.

Заметим, что исходные данные содержат противоречие: вероятность объединения событий не может быть меньше вероятности одного из этих событий, то есть $P(A \cup B) \ge P(B)$. В данном случае $0,4 < 0,6$, что невозможно в рамках аксиоматики теории вероятностей. Тем не менее, произведем формальные вычисления на основе предоставленных данных.

1) $P(A \cap B)$

Для нахождения вероятности пересечения событий $A$ и $B$ (совместного наступления событий) воспользуемся формулой сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Выразим из нее искомую величину $P(A \cap B)$:

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

Подставим известные значения из условия:

$P(A \cap B) = 0,2 + 0,6 - 0,4 = 0,4$

Ответ: $0,4$.

2) $P_A(B)$

Условная вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ произошло, обозначается как $P_A(B)$ или $P(B|A)$ и вычисляется по формуле:

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Подставим значения, полученные и данные ранее:

$P_A(B) = \frac{0,4}{0,2} = 2$

Ответ: $2$ (Этот результат, будучи больше 1, подтверждает противоречивость исходных данных).

3) $P_B(A)$

Условная вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ произошло, обозначается как $P_B(A)$ или $P(A|B)$ и вычисляется по формуле:

$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Подставим значения:

$P_B(A) = \frac{0,4}{0,6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

2.

Пусть событие $Б_1$ — первый взятый шар был белым, а событие $Ч_2$ — второй взятый шар оказался чёрным. Нам нужно вычислить условную вероятность $P(Ч_2|Б_1)$.

Изначально в коробке было 23 белых и 11 чёрных шаров, всего $23 + 11 = 34$ шара.

По условию, первый шар был белым. Это означает, что событие $Б_1$ уже произошло. После этого в коробке осталось:

• $23 - 1 = 22$ белых шара;
• $11$ чёрных шаров.

Общее количество оставшихся шаров: $34 - 1 = 33$.

Теперь вероятность того, что второй наугад взятый шар будет чёрным, равна отношению количества оставшихся чёрных шаров к общему количеству оставшихся шаров:

$P(Ч_2|Б_1) = \frac{\text{количество чёрных шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{11}{33} = \frac{1}{3}$

Дендрограмма (дерево вероятностей) этого опыта:

Дерево состоит из двух уровней ветвления, соответствующих первому и второму извлечению шара.

• Первый шаг (первый шар):
  • Ветвь 1: Вынут белый шар ($Б_1$). Вероятность: $P(Б_1) = \frac{23}{34}$.
  • Ветвь 2: Вынут чёрный шар ($Ч_1$). Вероятность: $P(Ч_1) = \frac{11}{34}$.
• Второй шаг (второй шар):
  • Если первый был белым ($Б_1$):
    • Ветвь 1.1: Второй тоже белый ($Б_2$). Условная вероятность: $P(Б_2|Б_1) = \frac{22}{33}$.
    • Ветвь 1.2: Второй — чёрный ($Ч_2$). Условная вероятность: $P(Ч_2|Б_1) = \frac{11}{33}$.
  • Если первый был чёрным ($Ч_1$):
    • Ветвь 2.1: Второй — белый ($Б_2$). Условная вероятность: $P(Б_2|Ч_1) = \frac{23}{33}$.
    • Ветвь 2.2: Второй тоже чёрный ($Ч_2$). Условная вероятность: $P(Ч_2|Ч_1) = \frac{10}{33}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3.

Введем обозначения для событий:

• $A$ — наугад выбранный слушатель изучает английский язык.
• $И$ — наугад выбранный слушатель изучает итальянский язык.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:

• Вероятность того, что слушатель изучает английский: $P(A) = 60\% = 0,6$.
• Вероятность того, что слушатель изучает итальянский: $P(И) = 15\% = 0,15$.
• Доля изучающих итальянский среди тех, кто изучает английский, составляет 10%. Это условная вероятность изучения итальянского при условии изучения английского: $P(И|A) = 10\% = 0,1$.

Требуется найти вероятность того, что наугад выбранный слушатель, изучающий итальянский язык, также изучает английский. Иными словами, нам нужно найти условную вероятность $P(A|И)$.

По определению условной вероятности:

$P(A|И) = \frac{P(A \cap И)}{P(И)}$

Здесь $P(A \cap И)$ — вероятность того, что слушатель изучает оба языка. Чтобы найти её, воспользуемся формулой для известной нам условной вероятности $P(И|A)$:

$P(И|A) = \frac{P(A \cap И)}{P(A)}$

Выразим отсюда $P(A \cap И)$:

$P(A \cap И) = P(И|A) \cdot P(A)$

Подставим известные значения:

$P(A \cap И) = 0,1 \cdot 0,6 = 0,06$

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность $P(A|И)$, подставив найденное значение $P(A \cap И)$ и известное значение $P(И)$ в первую формулу:

$P(A|И) = \frac{0,06}{0,15}$

Выполним деление:

$P(A|И) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0,4$

Ответ: $0,4$.