Номер 17, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Элементы комбинаторики
и бином Ньютона

1. Сколько существует пятизначных чисел, кратных 10, в записи которых каждая из цифр 0, 1, 2, 4, 5 используется по одному разу?

2. В филармонии есть 7 пианистов и 4 скрипача. Сколько существует способов составить концертную программу из пяти номеров, если начинать и завершать концерт должны скрипачи, а в каждом номере выступает только один музыкант?

3. В воинском подразделении служит 12 человек. Их нужно разделить на три группы по 4 человека в каждой для охраны трёх объектов. Сколько существует способов это сделать?

4. Найдите сумму чисел, стоящих на чётных местах в 32-й строке треугольника Паскаля.

1. Пятизначное число, кратное 10, должно оканчиваться на 0. По условию, в записи числа используются цифры {0, 1, 2, 4, 5} по одному разу.

Поскольку число должно быть кратно 10, его последняя цифра — 0. Таким образом, число имеет вид _ _ _ _ 0. Позиция последней цифры зафиксирована.

Остальные четыре позиции (десятки тысяч, тысячи, сотни и десятки) нужно заполнить оставшимися четырьмя цифрами {1, 2, 4, 5}. Так как 0 уже использован, первая цифра числа не может быть нулём, что соответствует определению пятизначного числа.

Количество способов расставить 4 различные цифры на 4-х местах равно числу перестановок из 4 элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$. В данном случае $n=4$.

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Таким образом, существует 24 способа составить такое число.

Ответ: 24

2. В концертной программе 5 номеров. В филармонии 7 пианистов и 4 скрипача. Концерт должны начинать и завершать скрипачи.

1. Выбор музыканта для первого номера. На эту позицию можно поставить любого из 4 скрипачей. Количество способов: 4.

2. Выбор музыканта для пятого (последнего) номера. После того как один скрипач выбран на первое место, на последнее место можно выбрать одного из оставшихся 3 скрипачей. Количество способов: 3.

Число способов выбрать и расставить скрипачей на первое и последнее места равно числу размещений из 4 по 2: $A_4^2 = 4 \times 3 = 12$.

3. Заполнение оставшихся трёх номеров (второго, третьего и четвертого). Для этого остались $7$ пианистов и $4 - 2 = 2$ скрипача, то есть всего $7 + 2 = 9$ музыкантов.

Нужно выбрать 3 музыкантов из 9 и расставить их по трём местам. Число способов это сделать равно числу размещений из 9 по 3:

$A_9^3 = \frac{9!}{(9-3)!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$.

4. Общее число способов составить программу. По правилу произведения, нужно перемножить количество способов для каждого этапа:

$N = A_4^2 \times A_9^3 = 12 \times 504 = 6048$.

Ответ: 6048

3. В подразделении 12 человек. Их нужно разделить на три группы по 4 человека для охраны трёх различных объектов. Так как объекты различны, то и группы, назначенные на эти объекты, являются упорядоченными (различимыми).

1. Выбор группы для первого объекта. Число способов выбрать 4 человека из 12 равно числу сочетаний из 12 по 4:

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$.

2. Выбор группы для второго объекта. После выбора первой группы осталось $12 - 4 = 8$ человек. Число способов выбрать 4 человека из 8:

$C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$.

3. Выбор группы для третьего объекта. Осталось 4 человека, которые и составят третью группу. Число способов выбрать 4 из 4:

$C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = 1$.

4. Общее число способов. По правилу произведения, общее число способов равно произведению числа способов на каждом шаге:

$N = C_{12}^4 \times C_8^4 \times C_4^4 = 495 \times 70 \times 1 = 34650$.

Ответ: 34650

4. Требуется найти сумму чисел, стоящих на чётных местах в 32-й строке треугольника Паскаля.

При нумерации строк треугольника Паскаля, начиная с 1, $k$-я строка содержит биномиальные коэффициенты для разложения $(a+b)^{n}$, где $n = k-1$. Следовательно, 32-я строка соответствует $n = 32 - 1 = 31$.

Элементы этой строки: $C_{31}^0, C_{31}^1, C_{31}^2, \dots, C_{31}^{31}$.

"Чётные места" — это второе, четвертое, шестое и т.д. места в строке. Им соответствуют элементы с нечётными верхними индексами: $C_{31}^1, C_{31}^3, C_{31}^5, \dots, C_{31}^{31}$.

Искомая сумма: $S = C_{31}^1 + C_{31}^3 + C_{31}^5 + \dots + C_{31}^{31}$.

Из бинома Ньютона известно, что сумма всех коэффициентов в $n$-й строке равна $2^n$:

$C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n = 2^n$.

Также известно, что сумма коэффициентов, стоящих на чётных позициях (с чётными индексами), равна сумме коэффициентов на нечётных позициях (с нечётными индексами). Каждая из этих сумм равна половине общей суммы:

$C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \dots = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \dots = \frac{2^n}{2} = 2^{n-1}$.

В нашем случае $n=31$, и мы ищем сумму коэффициентов с нечётными индексами:

$S = C_{31}^1 + C_{31}^3 + \dots + C_{31}^{31} = 2^{31-1} = 2^{30}$.

Ответ: $2^{30}$