Номер 14, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1) 6

Комплексное число $z = 6$ можно записать в алгебраической форме как $z = 6 + 0i$. Здесь действительная часть $a=6$, а мнимая часть $b=0$. Для представления в тригонометрической форме $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ найдем модуль $r$ и аргумент $\varphi$.

Модуль $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6$.

Для нахождения аргумента $\varphi$ используем формулы: $\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{6}{6} = 1$ $\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{0}{6} = 0$

Этим условиям соответствует угол $\varphi = 0$. Таким образом, тригонометрическая форма числа: $z = 6(\cos(0) + i\sin(0))$.

Ответ: $6(\cos(0) + i\sin(0))$.

2) -5i

Алгебраическая форма числа: $z = 0 - 5i$. Здесь $a=0$, $b=-5$.

Найдем модуль: $r = |z| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25} = 5$.

Найдем аргумент: $\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{0}{5} = 0$ $\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{-5}{5} = -1$

Этим условиям соответствует угол $\varphi = -\frac{\pi}{2}$ (или $\frac{3\pi}{2}$). Используем главное значение аргумента. Тригонометрическая форма: $z = 5(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.

Ответ: $5(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.

3) 4 - 4√3i

Для комплексного числа $z = 4 - 4\sqrt{3}i$ имеем $a=4$ и $b=-4\sqrt{3}$.

Найдем модуль: $r = |z| = \sqrt{4^2 + (-4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 16 \cdot 3} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8$.

Найдем аргумент: $\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ $\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{-4\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Точка с координатами $(4, -4\sqrt{3})$ находится в IV четверти. Угол, удовлетворяющий этим условиям, равен $\varphi = -\frac{\pi}{3}$. Тригонометрическая форма: $z = 8(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.

Ответ: $8(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.

4) (3 - i) / (1 + i)

Сначала приведем число к алгебраической форме $z = a+bi$, умножив числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю ($1-i$): $z = \frac{3-i}{1+i} = \frac{(3-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{3 - 3i - i + i^2}{1^2 - i^2} = \frac{3 - 4i - 1}{1 - (-1)} = \frac{2 - 4i}{2} = 1 - 2i$.

Теперь для числа $z = 1 - 2i$ найдем модуль и аргумент. Здесь $a=1$, $b=-2$.

Модуль: $r = |z| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.

Аргумент $\varphi$: $\cos\varphi = \frac{a}{r} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ $\sin\varphi = \frac{b}{r} = \frac{-2}{\sqrt{5}}$

Аргумент $\varphi$ можно выразить через аркфункцию, например, $\varphi = \arctan(\frac{b}{a}) = \arctan(\frac{-2}{1}) = \arctan(-2)$, так как точка $(1, -2)$ находится в IV четверти. Тригонометрическая форма: $z = \sqrt{5}(\cos(\arctan(-2)) + i\sin(\arctan(-2)))$.

Ответ: $\sqrt{5}(\cos(\arctan(-2)) + i\sin(\arctan(-2)))$.

1) Re z = -3

Пусть комплексное число $z = x + iy$, где $x$ - действительная часть (Re $z$), а $y$ - мнимая часть (Im $z$). Условие Re $z = -3$ означает, что $x = -3$. На комплексной плоскости, где по горизонтальной оси откладывается действительная часть, а по вертикальной - мнимая, это уравнение задает вертикальную прямую, проходящую через точку $(-3, 0)$. Мнимая часть $y$ может принимать любое действительное значение.

Ответ: Вертикальная прямая $x=-3$ на комплексной плоскости.

2) z z̄ ≥ 25

Пусть $z = x + iy$, тогда сопряженное ему число $\bar{z} = x - iy$. Произведение $z\bar{z}$ равно квадрату модуля числа $z$: $z\bar{z} = (x+iy)(x-iy) = x^2 - (iy)^2 = x^2 + y^2 = |z|^2$. Таким образом, неравенство принимает вид $|z|^2 \ge 25$, или $|z| \ge 5$. Геометрически $|z|$ представляет собой расстояние от точки $z$ до начала координат. Условию $|z| \ge 5$ удовлетворяют все точки на комплексной плоскости, расстояние от которых до начала координат не меньше 5.

Ответ: Множество точек на окружности радиуса 5 с центром в начале координат и всех точек вне этой окружности.

3) |z - i| < 4

Выражение $|z_1 - z_2|$ геометрически представляет собой расстояние между точками $z_1$ и $z_2$ на комплексной плоскости. Неравенство $|z - i| < 4$ означает, что расстояние от точки $z$ до точки $i$ (которой на плоскости соответствует точка с координатами $(0, 1)$) должно быть меньше 4. Это условие описывает множество всех точек, находящихся внутри окружности с центром в точке $i$ (т.е. $(0, 1)$) и радиусом 4. Сама окружность (граница) в это множество не входит, так как неравенство строгое.

Ответ: Внутренняя область круга с центром в точке $i$ (координаты $(0,1)$) и радиусом 4, не включая границу.

4) |z - 4| = |z + 2 - i|

Это уравнение можно переписать в виде $|z - (4+0i)| = |z - (-2 + i)|$. Геометрически это означает, что расстояние от точки $z$ до точки $z_1 = 4$ (координаты $(4, 0)$) равно расстоянию от точки $z$ до точки $z_2 = -2 + i$ (координаты $(-2, 1)$). Множество точек, равноудаленных от двух данных точек, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти две точки.

Найдем уравнение этой прямой. Пусть $z = x + iy$. $| (x - 4) + iy | = | (x + 2) + i(y - 1) |$

Возведем обе части в квадрат, используя свойство $|w|^2 = (\text{Re } w)^2 + (\text{Im } w)^2$: $(x - 4)^2 + y^2 = (x + 2)^2 + (y - 1)^2$

Раскроем скобки: $x^2 - 8x + 16 + y^2 = x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1$

Сократим $x^2$ и $y^2$: $-8x + 16 = 4x + 5 - 2y$

Выразим $y$ через $x$: $2y = 4x + 8x + 5 - 16$ $2y = 12x - 11$ $y = 6x - \frac{11}{2}$

Ответ: Прямая, заданная уравнением $y = 6x - 5.5$, которая является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точки $4$ и $-2+i$.