Номер 15, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 15

Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Корень n-й степени из комплексного числа

1. Найдите произведение и частное комплексных чисел $z_1$ и $z_2$, если:

1) $z_1 = 5 \left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right)$, $z_2 = 2 \left(\cos \frac{2\pi}{3} - i\sin \frac{2\pi}{3}\right)$;

2) $z_1 = 6 \left(\cos \frac{\pi}{4} - i\sin \frac{\pi}{4}\right)$, $z_2 = -1 + i$.

2. Найдите значение выражения $(1 - \sqrt{3}i)^8$.

3. Изобразите на комплексной плоскости числа, являющиеся корнями третьей степени из числа $z = \sqrt{3} + i$.

1.

1) Даны комплексные числа $z_1 = 5(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$ и $z_2 = 2(\cos\frac{2\pi}{3} - i\sin\frac{2\pi}{3})$.

Сначала приведем число $z_2$ к стандартной тригонометрической форме $r(\cos\phi + i\sin\phi)$. Используя свойства четности косинуса ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$) и нечетности синуса ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), получаем:

$z_2 = 2(\cos\frac{2\pi}{3} - i\sin\frac{2\pi}{3}) = 2(\cos(-\frac{2\pi}{3}) + i\sin(-\frac{2\pi}{3}))$.

Таким образом, для $z_1$ имеем модуль $r_1 = 5$ и аргумент $\phi_1 = \frac{\pi}{6}$.

Для $z_2$ имеем модуль $r_2 = 2$ и аргумент $\phi_2 = -\frac{2\pi}{3}$.

Произведение комплексных чисел:

Формула для произведения: $z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2))$.

$z_1 z_2 = 5 \cdot 2 (\cos(\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3})) = 10(\cos(\frac{\pi - 4\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi - 4\pi}{6})) = 10(\cos(-\frac{3\pi}{6}) + i\sin(-\frac{3\pi}{6})) = 10(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2}))$.

Так как $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, то:

$z_1 z_2 = 10(0 + i(-1)) = -10i$.

Частное комплексных чисел:

Формула для частного: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\phi_1 - \phi_2) + i\sin(\phi_1 - \phi_2))$.

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{5}{2}(\cos(\frac{\pi}{6} - (-\frac{2\pi}{3})) + i\sin(\frac{\pi}{6} - (-\frac{2\pi}{3}))) = \frac{5}{2}(\cos(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3})) = \frac{5}{2}(\cos(\frac{\pi + 4\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi + 4\pi}{6})) = \frac{5}{2}(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$.

Так как $\cos\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$, то:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{5}{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\frac{5\sqrt{3}}{4} + \frac{5}{4}i$.

Ответ: $z_1 z_2 = -10i$; $\frac{z_1}{z_2} = -\frac{5\sqrt{3}}{4} + \frac{5}{4}i$.

2) Даны комплексные числа $z_1 = 6(\cos\frac{\pi}{4} - i\sin\frac{\pi}{4})$ и $z_2 = -1 + i$.

Приведем оба числа к стандартной тригонометрической форме.

Для $z_1$: $z_1 = 6(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$. Здесь $r_1 = 6$, $\phi_1 = -\frac{\pi}{4}$.

Для $z_2 = -1 + i$: найдем модуль $r_2$ и аргумент $\phi_2$.

$r_2 = |z_2| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Точка $(-1, 1)$ находится во второй координатной четверти. Аргумент $\phi_2$ можно найти из условий $\cos\phi_2 = \frac{-1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\phi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Отсюда $\phi_2 = \frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, $z_2 = \sqrt{2}(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4})$.

Произведение комплексных чисел:

$z_1 z_2 = 6\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4})) = 6\sqrt{2}(\cos\frac{2\pi}{4} + i\sin\frac{2\pi}{4}) = 6\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2})$.

Так как $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ и $\sin\frac{\pi}{2} = 1$, то:

$z_1 z_2 = 6\sqrt{2}(0 + i \cdot 1) = 6\sqrt{2}i$.

Частное комплексных чисел:

$\frac{z_1}{z_2} = \frac{6}{\sqrt{2}}(\cos(-\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4})) = \frac{6\sqrt{2}}{2}(\cos(-\frac{4\pi}{4}) + i\sin(-\frac{4\pi}{4})) = 3\sqrt{2}(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi))$.

Так как $\cos(-\pi) = -1$ и $\sin(-\pi) = 0$, то:

$\frac{z_1}{z_2} = 3\sqrt{2}(-1 + i \cdot 0) = -3\sqrt{2}$.

Ответ: $z_1 z_2 = 6\sqrt{2}i$; $\frac{z_1}{z_2} = -3\sqrt{2}$.

2.

Чтобы найти значение выражения $(1 - \sqrt{3}i)^8$, воспользуемся формулой Муавра: $[r(\cos\phi + i\sin\phi)]^n = r^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))$.

Сначала представим комплексное число $z = 1 - \sqrt{3}i$ в тригонометрической форме.

Найдем его модуль $r$ и аргумент $\phi$.

$r = |z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$.

Точка $(1, -\sqrt{3})$ находится в четвертой координатной четверти. Аргумент $\phi$ можно найти из условий $\cos\phi = \frac{1}{2}$ и $\sin\phi = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Отсюда $\phi = -\frac{\pi}{3}$.

Итак, $z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$.

Теперь возведем в 8-ю степень по формуле Муавра:

$(1 - \sqrt{3}i)^8 = [2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))]^8 = 2^8(\cos(8 \cdot (-\frac{\pi}{3})) + i\sin(8 \cdot (-\frac{\pi}{3})))$

$= 256(\cos(-\frac{8\pi}{3}) + i\sin(-\frac{8\pi}{3}))$.

Упростим аргумент, учитывая периодичность тригонометрических функций. $-\frac{8\pi}{3} = -2\pi - \frac{2\pi}{3}$.

$\cos(-\frac{8\pi}{3}) = \cos(-2\pi - \frac{2\pi}{3}) = \cos(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

$\sin(-\frac{8\pi}{3}) = \sin(-2\pi - \frac{2\pi}{3}) = \sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значения:

$(1 - \sqrt{3}i)^8 = 256(-\frac{1}{2} + i(-\frac{\sqrt{3}}{2})) = 256(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -128 - 128\sqrt{3}i$.

Ответ: $-128 - 128\sqrt{3}i$.

3.

Требуется найти и изобразить на комплексной плоскости корни третьей степени из числа $z = \sqrt{3} + i$.

Формула для корней n-й степени из комплексного числа $z = r(\cos\phi + i\sin\phi)$ имеет вид:

$w_k = \sqrt[n]{r}(\cos\frac{\phi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\phi + 2\pi k}{n})$, где $k = 0, 1, 2, ..., n-1$.

Сначала представим число $z = \sqrt{3} + i$ в тригонометрической форме.

Модуль $r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$.

Точка $(\sqrt{3}, 1)$ находится в первой координатной четверти. Аргумент $\phi$ находим из условий $\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\phi = \frac{1}{2}$. Отсюда $\phi = \frac{\pi}{6}$.

Итак, $z = 2(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.

Находим корни третьей степени ($n=3$):

$w_k = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{3} + i\sin\frac{\frac{\pi}{6} + 2\pi k}{3})$, где $k=0, 1, 2$.

При $k=0$:

$w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi/6}{3} + i\sin\frac{\pi/6}{3}) = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi}{18} + i\sin\frac{\pi}{18})$.

При $k=1$:

$w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi/6 + 2\pi}{3} + i\sin\frac{\pi/6 + 2\pi}{3}) = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{13\pi/6}{3} + i\sin\frac{13\pi/6}{3}) = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{13\pi}{18} + i\sin\frac{13\pi}{18})$.

При $k=2$:

$w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi/6 + 4\pi}{3} + i\sin\frac{\pi/6 + 4\pi}{3}) = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{25\pi/6}{3} + i\sin\frac{25\pi/6}{3}) = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{25\pi}{18} + i\sin\frac{25\pi}{18})$.

Эти три корня являются вершинами правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt[3]{2}$. Аргументы корней: $\frac{\pi}{18}$, $\frac{13\pi}{18}$ и $\frac{25\pi}{18}$.

Изображение на комплексной плоскости:

Ответ: Корнями являются числа $w_0 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{\pi}{18} + i\sin\frac{\pi}{18})$, $w_1 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{13\pi}{18} + i\sin\frac{13\pi}{18})$, $w_2 = \sqrt[3]{2}(\cos\frac{25\pi}{18} + i\sin\frac{25\pi}{18})$. На комплексной плоскости они расположены в вершинах правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $\sqrt[3]{2}$ с центром в начале координат.