Номер 18, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 18

Аксиомы теории вероятностей

1. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05, в девятку — 0,3, в восьмёрку — 0,4. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберёт:

1) больше 7 очков;

2) не меньше 9 очков;

3) меньше 9 очков?

2. В двух колодах лежат по три карточки с номерами 1, 2 и 3. Наугад выбирают по одной карточке из каждой колоды. Событие $A$ состоит в том, что сумма очков на выбранных карточках нечётная; событие $B$ — в том, что по крайней мере одна из выбранных карточек имеет номер 2. Найдите вероятность события:

1) $\overline{A}$;

2) $A \cap B$;

3) $A \cup B$.

3. В школе работают две спортивные секции — шахматная и баскетбольная. Вероятность встретить среди учащихся школы шахматиста равна 16%, баскетболиста — 10%, а ученика, посещающего обе секции, — 5%. Какова вероятность того, что выбранный наугад учащийся этой школы посещает хотя бы одну из указанных секций?

1. Обозначим события:
$A_{10}$ — попадание в десятку (10 очков), $P(A_{10}) = 0,05$.
$A_9$ — попадание в девятку (9 очков), $P(A_9) = 0,3$.
$A_8$ — попадание в восьмёрку (8 очков), $P(A_8) = 0,4$.
Эти события являются несовместными, так как одним выстрелом нельзя попасть в разные зоны.

1) больше 7 очков
Событие "набрать больше 7 очков" означает набрать 8, 9 или 10 очков. Так как события $A_8$, $A_9$ и $A_{10}$ несовместны, вероятность их суммы равна сумме их вероятностей:
$P(\text{больше 7 очков}) = P(A_8 \cup A_9 \cup A_{10}) = P(A_8) + P(A_9) + P(A_{10})$
$P(\text{больше 7 очков}) = 0,4 + 0,3 + 0,05 = 0,75$
Ответ: 0,75.

2) не меньше 9 очков
Событие "набрать не меньше 9 очков" означает набрать 9 или 10 очков. Вероятность этого события равна сумме вероятностей несовместных событий $A_9$ и $A_{10}$:
$P(\text{не меньше 9 очков}) = P(A_9 \cup A_{10}) = P(A_9) + P(A_{10})$
$P(\text{не меньше 9 очков}) = 0,3 + 0,05 = 0,35$
Ответ: 0,35.

3) меньше 9 очков
Событие "набрать меньше 9 очков" является противоположным (дополнительным) событию "набрать не меньше 9 очков". Поэтому его вероятность можно найти, вычтя из 1 вероятность события из предыдущего пункта:
$P(\text{меньше 9 очков}) = 1 - P(\text{не меньше 9 очков})$
$P(\text{меньше 9 очков}) = 1 - 0,35 = 0,65$
Ответ: 0,65.

2. Из каждой из двух колод, содержащих карточки с номерами {1, 2, 3}, вынимают по одной карточке. Общее число возможных исходов равно $3 \times 3 = 9$. Все исходы равновероятны. Пространство элементарных исходов $\Omega$ можно представить в виде пар чисел $(x, y)$, где $x$ — номер карты из первой колоды, а $y$ — из второй:
$\Omega = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}$.
Событие A: сумма очков нечётная. Сумма двух чисел нечётна, если одно число чётное, а другое нечётное. В нашем наборе {1, 2, 3} чётное число — 2, нечётные — 1 и 3.
Благоприятные для A исходы: (1,2), (3,2), (2,1), (2,3). Всего 4 исхода. $A = \{(1,2), (2,1), (3,2), (2,3)\}$.
Событие B: по крайней мере одна из карточек имеет номер 2.
Благоприятные для B исходы: (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2). Всего 5 исходов. $B = \{(1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)\}$.

1) A
Вероятность события A равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{4}{9}$
Ответ: $\frac{4}{9}$.

2) A ∩ B
Событие $A \cap B$ означает, что сумма очков нечётная, и при этом хотя бы одна из карточек имеет номер 2. Найдём пересечение множеств A и B:
$A \cap B = \{(1,2), (2,1), (3,2), (2,3)\} \cap \{(1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2)\} = \{(1,2), (2,1), (3,2), (2,3)\}$.
Число благоприятных исходов для $A \cap B$ равно 4.
$P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{|\Omega|} = \frac{4}{9}$
Ответ: $\frac{4}{9}$.

3) A ∪ B
Вероятность объединения двух событий вычисляется по формуле: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
Вероятность события B: $P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{5}{9}$.
Подставим известные значения:
$P(A \cup B) = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$
Ответ: $\frac{5}{9}$.

3. Обозначим события:
$C$ — выбранный учащийся является шахматистом.
$B$ — выбранный учащийся является баскетболистом.
По условию задачи нам даны следующие вероятности:
$P(C) = 16\% = 0,16$
$P(B) = 10\% = 0,10$
$P(C \cap B) = 5\% = 0,05$ (вероятность того, что учащийся посещает обе секции).

Нам нужно найти вероятность того, что выбранный наугад учащийся посещает хотя бы одну из указанных секций. Это соответствует нахождению вероятности объединения событий C и B, то есть $P(C \cup B)$.
Используем формулу сложения вероятностей для совместных событий:
$P(C \cup B) = P(C) + P(B) - P(C \cap B)$
Подставим данные значения в формулу:
$P(C \cup B) = 0,16 + 0,10 - 0,05 = 0,26 - 0,05 = 0,21$
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный ученик посещает хотя бы одну из секций, составляет 0,21 или 21%.
Ответ: 0,21.