Номер 23, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 23

Характеристики случайной величины

1. В коробке лежат 5 красных и 7 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 3 шара и записывают количество вынутых красных шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

2. Случайная величина $x$ имеет следующее распределение вероятностей.

Значение $x$: 2, 4, 6

Вероятность, %: 25, 55, 20

Найдите:

1) математическое ожидание;

2) дисперсию;

3) стандартное отклонение;

4) среднее абсолютное отклонение.

1.

Всего в коробке находится $5 + 7 = 12$ шаров. Из коробки случайным образом вынимают 3 шара. Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству вынутых красных шаров. Возможные значения, которые может принимать $X$, это 0, 1, 2, 3.

Для нахождения математического ожидания необходимо составить закон распределения данной случайной величины, то есть найти вероятности для каждого возможного значения $X$.

Общее число способов выбрать 3 шара из 12 равно числу сочетаний $C_{12}^3$:

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$.

Теперь найдем вероятности для каждого значения $X$ по классической формуле вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n=220$, а $m$ — число благоприятных исходов:

- Вероятность $P(X=0)$ (вынуто 0 красных и 3 синих шара):
$m = C_5^0 \cdot C_7^3 = 1 \cdot \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.
$P(X=0) = \frac{35}{220}$.

- Вероятность $P(X=1)$ (вынут 1 красный и 2 синих шара):
$m = C_5^1 \cdot C_7^2 = 5 \cdot \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 21 = 105$.
$P(X=1) = \frac{105}{220}$.

- Вероятность $P(X=2)$ (вынуто 2 красных и 1 синий шар):
$m = C_5^2 \cdot C_7^1 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 7 = 10 \cdot 7 = 70$.
$P(X=2) = \frac{70}{220}$.

- Вероятность $P(X=3)$ (вынуто 3 красных и 0 синих шаров):
$m = C_5^3 \cdot C_7^0 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 1 = 10$.
$P(X=3) = \frac{10}{220}$.

Математическое ожидание $M(X)$ вычисляется по формуле $M(X) = \sum x_i p_i$:

$M(X) = 0 \cdot \frac{35}{220} + 1 \cdot \frac{105}{220} + 2 \cdot \frac{70}{220} + 3 \cdot \frac{10}{220} = \frac{0 + 105 + 140 + 30}{220} = \frac{275}{220}$.

Сократим полученную дробь: $\frac{275}{220} = \frac{55}{44} = \frac{5}{4} = 1.25$.

Ответ: $1.25$.

2.

Дано распределение вероятностей случайной величины $x$. Переведем вероятности из процентов в десятичные дроби:

$p_1 = P(x=2) = 25\% = 0.25$

$p_2 = P(x=4) = 55\% = 0.55$

$p_3 = P(x=6) = 20\% = 0.20$

Проверка: $0.25 + 0.55 + 0.20 = 1$.

1) математическое ожидание;

Математическое ожидание $M(x)$ вычисляется по формуле $M(x) = \sum x_i p_i$.

$M(x) = 2 \cdot 0.25 + 4 \cdot 0.55 + 6 \cdot 0.20 = 0.5 + 2.2 + 1.2 = 3.9$.

Ответ: $3.9$.

2) дисперсию;

Дисперсия $D(x)$ вычисляется по формуле $D(x) = M(x^2) - (M(x))^2$.

Сначала найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $M(x^2)$:

$M(x^2) = \sum x_i^2 p_i = 2^2 \cdot 0.25 + 4^2 \cdot 0.55 + 6^2 \cdot 0.20 = 4 \cdot 0.25 + 16 \cdot 0.55 + 36 \cdot 0.20$.

$M(x^2) = 1 + 8.8 + 7.2 = 17$.

Теперь вычислим дисперсию, используя найденное значение $M(x) = 3.9$:

$D(x) = M(x^2) - (M(x))^2 = 17 - (3.9)^2 = 17 - 15.21 = 1.79$.

Ответ: $1.79$.

3) стандартное отклонение;

Стандартное отклонение (или среднее квадратическое отклонение) $\sigma(x)$ равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma(x) = \sqrt{D(x)}$.

$\sigma(x) = \sqrt{1.79} \approx 1.3379$. Округлим до сотых.

$\sigma(x) \approx 1.34$.

Ответ: $\sqrt{1.79} \approx 1.34$.

4) среднее абсолютное отклонение.

Среднее абсолютное отклонение $MAD(x)$ вычисляется по формуле $MAD(x) = \sum |x_i - M(x)| p_i$.

Используя $M(x) = 3.9$, получаем:

$MAD(x) = |2 - 3.9| \cdot 0.25 + |4 - 3.9| \cdot 0.55 + |6 - 3.9| \cdot 0.20$.

$MAD(x) = |-1.9| \cdot 0.25 + |0.1| \cdot 0.55 + |2.1| \cdot 0.20$.

$MAD(x) = 1.9 \cdot 0.25 + 0.1 \cdot 0.55 + 2.1 \cdot 0.20 = 0.475 + 0.055 + 0.420 = 0.95$.

Ответ: $0.95$.