Номер 6, страница 42 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Логарифмические уравнения

Решите уравнение:

1) $\log_8 \log_3 \log_{\sqrt[3]{4}} x = \frac{1}{3};$

2) $\log_{0,5}(3x^2 + 5x - 5) = \log_{0,5}(x + 2);$

3) $\log_4(x - 2) = 1 - \log_4(x + 1);$

4) $\log_3 x + \log_x 27 = 4;$

5) $x^{\log_5 x - 3} = \frac{1}{25};$

6) $x^{\log_5 4} + 4^{\log_5 x} = 128.$

1) $log_8 log_3 log_{\frac{3}{4}} x = \frac{1}{3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным:

1. $x > 0$
2. $log_{\frac{3}{4}} x > 0$. Так как основание логарифма $\frac{3}{4} < 1$, знак неравенства меняется: $x < (\frac{3}{4})^0 \implies x < 1$.
3. $log_3(log_{\frac{3}{4}} x) > 0$. Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется: $log_{\frac{3}{4}} x > 3^0 \implies log_{\frac{3}{4}} x > 1$. Опять меняем знак, так как основание $\frac{3}{4} < 1$: $x < (\frac{3}{4})^1 \implies x < \frac{3}{4}$.

Объединяя все условия ($x > 0$, $x < 1$, $x < \frac{3}{4}$), получаем ОДЗ: $0 < x < \frac{3}{4}$.

Решаем уравнение, последовательно избавляясь от логарифмов по определению $log_a b = c \iff a^c = b$:

$log_3(log_{\frac{3}{4}} x) = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$

$log_{\frac{3}{4}} x = 3^2 = 9$

$x = (\frac{3}{4})^9$

Полученное значение $x = (\frac{3}{4})^9$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < \frac{3}{4} < 1 \implies 0 < (\frac{3}{4})^9 < \frac{3}{4}$.

Ответ: $(\frac{3}{4})^9$.

2) $log_{0.5}(3x^2 + 5x - 5) = log_{0.5}(x + 2)$

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$\begin{cases} 3x^2 + 5x - 5 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства: $x > -2$.

Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$3x^2 + 5x - 5 = x + 2$

$3x^2 + 4x - 7 = 0$

Это квадратное уравнение. Так как сумма коэффициентов $3 + 4 - 7 = 0$, то один корень $x_1 = 1$. Второй корень по теореме Виета $x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{7}{3}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ:

- Для $x_1 = 1$: $1 + 2 = 3 > 0$ и $3(1)^2 + 5(1) - 5 = 3 > 0$. Корень подходит.
- Для $x_2 = -\frac{7}{3} \approx -2.33$: $-\frac{7}{3} + 2 = -\frac{1}{3} < 0$. Корень не удовлетворяет условию $x + 2 > 0$ и является посторонним.

Ответ: 1.

3) $log_4(x - 2) = 1 - log_4(x + 1)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \implies x > 2 \\ x + 1 > 0 \implies x > -1 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.

Перенесем логарифм в левую часть и воспользуемся свойством суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(bc)$:

$log_4(x - 2) + log_4(x + 1) = 1$

$log_4((x - 2)(x + 1)) = 1$

По определению логарифма:

$(x - 2)(x + 1) = 4^1$

$x^2 + x - 2x - 2 = 4$

$x^2 - x - 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 2$):

- $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 > 2$.
- $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 > 2$.

Ответ: 3.

4) $log_3 x + log_x 27 = 4$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$:

$log_x 27 = \frac{log_3 27}{log_3 x} = \frac{3}{log_3 x}$

Подставим в исходное уравнение:

$log_3 x + \frac{3}{log_3 x} = 4$

Сделаем замену $y = log_3 x$ (при этом $y \neq 0$, так как $x \neq 1$):

$y + \frac{3}{y} = 4$

Умножим обе части на $y$:

$y^2 + 3 = 4y$

$y^2 - 4y + 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 1$, $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1. $log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$
2. $log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 3; 27.

5) $x^{log_5 x - 3} = \frac{1}{25}$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5:

$log_5(x^{log_5 x - 3}) = log_5(\frac{1}{25})$

Используем свойство логарифма степени $log_a(b^c) = c \cdot log_a b$:

$(log_5 x - 3) \cdot log_5 x = log_5(5^{-2})$

$(log_5 x - 3) \cdot log_5 x = -2$

Сделаем замену $y = log_5 x$:

$(y - 3)y = -2$

$y^2 - 3y + 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 1$, $y_2 = 2$.

Выполним обратную замену:

1. $log_5 x = 1 \implies x = 5^1 = 5$
2. $log_5 x = 2 \implies x = 5^2 = 25$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 5; 25.

6) $x^{log_5 4} + 4^{log_5 x} = 128$

ОДЗ: $x > 0$.

Воспользуемся свойством логарифма $a^{log_b c} = c^{log_b a}$. Тогда $x^{log_5 4} = 4^{log_5 x}$.

Уравнение примет вид:

$4^{log_5 x} + 4^{log_5 x} = 128$

$2 \cdot 4^{log_5 x} = 128$

$4^{log_5 x} = 64$

Представим 64 как степень 4: $64 = 4^3$.

$4^{log_5 x} = 4^3$

Приравниваем показатели степени:

$log_5 x = 3$

$x = 5^3 = 125$

Корень $x = 125$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 125.