Номер 5, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Логарифмическая функция и её свойства

1. Сравните:

1) $log_{0,6}11$ и $log_{0,6}12$;

2) $log_6 200$ и $3$;

3) $log_{48}47$ и $log_{47}48$;

4) $log_{0,6}0,5$ и $log_{0,5}0,6$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = log_{0,7}(8 - 5x)$;

2) $y = log_{x - 5}(9 - x)$;

3) $y = log_{0,4}(8 - 7x - x^2) + \frac{1}{log_{0,4}(x + 5)}$.

3. Постройте график функции:

1) $y = log_3 x - 2$;

2) $y = -log_4(x + 3)$;

3) $y = log_{\frac{1}{3}}|x|$.

4. Найдите наибольшее значение функции

$y = log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 8x + 25)$.

1. Сравните:

1) Функция $y = \log_{0,6}x$ является убывающей, так как ее основание $a = 0,6$ и $0 < 0,6 < 1$. Для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Поскольку $11 < 12$, то $\log_{0,6}11 > \log_{0,6}12$.
Ответ: $\log_{0,6}11 > \log_{0,6}12$.

2) Представим число 3 в виде логарифма с основанием 6: $3 = \log_6(6^3) = \log_6 216$. Теперь сравним $\log_6 200$ и $\log_6 216$. Функция $y = \log_6 x$ является возрастающей, так как ее основание $a=6$ и $6 > 1$. Для возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Поскольку $200 < 216$, то $\log_6 200 < \log_6 216$. Следовательно, $\log_6 200 < 3$.
Ответ: $\log_6 200 < 3$.

3) Сравним каждое из чисел с 1.
Для $\log_{48}47$: основание $48 > 1$, функция возрастающая. Так как $47 < 48$, то $\log_{48}47 < \log_{48}48$, а значит $\log_{48}47 < 1$.
Для $\log_{47}48$: основание $47 > 1$, функция возрастающая. Так как $48 > 47$, то $\log_{47}48 > \log_{47}47$, а значит $\log_{47}48 > 1$.
Поскольку $\log_{48}47 < 1$ и $\log_{47}48 > 1$, то $\log_{48}47 < \log_{47}48$.
Ответ: $\log_{48}47 < \log_{47}48$.

4) Сравним каждое из чисел с 1.
Для $\log_{0,6}0,5$: основание $0,6 < 1$, функция убывающая. Так как $0,5 < 0,6$, то $\log_{0,6}0,5 > \log_{0,6}0,6$, а значит $\log_{0,6}0,5 > 1$.
Для $\log_{0,5}0,6$: основание $0,5 < 1$, функция убывающая. Так как $0,6 > 0,5$, то $\log_{0,5}0,6 < \log_{0,5}0,5$, а значит $\log_{0,5}0,6 < 1$.
Поскольку $\log_{0,6}0,5 > 1$ и $\log_{0,5}0,6 < 1$, то $\log_{0,6}0,5 > \log_{0,5}0,6$.
Ответ: $\log_{0,6}0,5 > \log_{0,5}0,6$.

2. Найдите область определения функции:

1) $y = \log_{0,7}(8 - 5x)$
Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$8 - 5x > 0$
$-5x > -8$
$x < \frac{8}{5}$
$x < 1,6$
Область определения: $(-\infty; 1,6)$.
Ответ: $(-\infty; 1,6)$.

2) $y = \log_{x-5}(9 - x)$
Область определения логарифмической функции задается системой условий:
1. Аргумент больше нуля: $9 - x > 0 \implies x < 9$.
2. Основание больше нуля: $x - 5 > 0 \implies x > 5$.
3. Основание не равно единице: $x - 5 \neq 1 \implies x \neq 6$.
Объединяя все условия, получаем: $x \in (5; 9)$ и $x \neq 6$.
Область определения: $(5; 6) \cup (6; 9)$.
Ответ: $(5; 6) \cup (6; 9)$.

3) $y = \log_{0,4}(8 - 7x - x^2) + \frac{1}{\log_{0,4}(x + 5)}$
Область определения задается системой условий:
1. Аргумент первого логарифма больше нуля: $8 - 7x - x^2 > 0$. Умножим на -1: $x^2 + 7x - 8 < 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -8, x_2 = 1$. Это парабола ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $x \in (-8; 1)$.
2. Аргумент второго логарифма больше нуля: $x + 5 > 0 \implies x > -5$.
3. Знаменатель не равен нулю: $\log_{0,4}(x + 5) \neq 0$. Это означает, что $x + 5 \neq 1 \implies x \neq -4$.
Найдем пересечение всех условий: $x \in (-8; 1)$, $x > -5$, $x \neq -4$.
Пересечение $x \in (-8; 1)$ и $x > -5$ дает интервал $(-5; 1)$. Исключаем из него точку $x = -4$.
Область определения: $(-5; -4) \cup (-4; 1)$.
Ответ: $(-5; -4) \cup (-4; 1)$.

3. Постройте график функции:

1) $y = \log_3 x - 2$
График этой функции получается из графика функции $y = \log_3 x$ сдвигом на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.
Базовый график $y = \log_3 x$ проходит через точки $(1; 0), (3; 1), (9; 2)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$.
Следовательно, график $y = \log_3 x - 2$ проходит через точки $(1; -2), (3; -1), (9; 0)$ и также имеет вертикальную асимптоту $x=0$.
Ответ: График функции $y = \log_3 x - 2$ — это график $y = \log_3 x$, сдвинутый на 2 единицы вниз.

2) $y = -\log_4(x + 3)$
График этой функции получается из графика $y = \log_4 x$ двумя преобразованиями:
1. Сдвиг на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Получаем график $y = \log_4(x + 3)$. Вертикальная асимптота сдвигается в $x=-3$.
2. Симметричное отражение относительно оси Ox. Получаем график $y = -\log_4(x + 3)$.
Базовый график $y = \log_4 x$ проходит через $(1; 0), (4; 1)$. График $y = -\log_4(x + 3)$ будет проходить через точки $(-2; 0), (1; -1)$ и иметь асимптоту $x=-3$.
Ответ: График функции $y = -\log_4(x + 3)$ — это график $y = \log_4 x$, сдвинутый на 3 единицы влево и отраженный относительно оси Ox.

3) $y = \log_{\frac{1}{3}}|x|$
Так как функция является четной ($y(-x) = y(x)$), ее график симметричен относительно оси Oy.
1. Строим график для $x > 0$: $y = \log_{\frac{1}{3}}x$. Это убывающая логарифмическая функция, проходящая через точки $(1; 0), (\frac{1}{3}; 1), (3; -1)$. Вертикальная асимптота $x=0$.
2. Отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$.
Ответ: График состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy. Правая ветвь — это график $y = \log_{\frac{1}{3}}x$, левая — его зеркальное отражение.

4. Найдите наибольшее значение функции $y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 8x + 25)$.

Функция $y = \log_{\frac{1}{3}}t$ является убывающей, так как ее основание $a = \frac{1}{3}$ и $0 < \frac{1}{3} < 1$. Следовательно, своего наибольшего значения функция достигает при наименьшем значении ее аргумента.
Найдем наименьшее значение выражения $t(x) = x^2 - 8x + 25$. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями вверх. Наименьшее значение достигается в вершине параболы.
Координата вершины по оси Ox:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4$.
Наименьшее значение аргумента:
$t_{min} = t(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 25 = 16 - 32 + 25 = 9$.
Теперь найдем наибольшее значение исходной функции, подставив в нее минимальное значение аргумента:
$y_{max} = \log_{\frac{1}{3}}(t_{min}) = \log_{\frac{1}{3}}9$.
Пусть $\log_{\frac{1}{3}}9 = z$. Тогда $(\frac{1}{3})^z = 9$, или $(3^{-1})^z = 3^2$, или $3^{-z} = 3^2$. Отсюда $-z = 2$, то есть $z = -2$.
Наибольшее значение функции равно -2.
Ответ: -2.