Номер 3, страница 41 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1) $(\frac{2}{9})^{x^2} \le (\frac{9}{2})^{5x-6}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $\frac{9}{2} = (\frac{2}{9})^{-1}$.

$(\frac{2}{9})^{x^2} \le ((\frac{2}{9})^{-1})^{5x-6}$

$(\frac{2}{9})^{x^2} \le (\frac{2}{9})^{-(5x-6)}$

Так как основание степени $\frac{2}{9}$ меньше 1 ($0 < \frac{2}{9} < 1$), при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 \ge -(5x-6)$

$x^2 \ge -5x + 6$

$x^2 + 5x - 6 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

Парабола $y = x^2 + 5x - 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $y \ge 0$ выполняется при значениях $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Следовательно, $x \le -6$ или $x \ge 1$.

Ответ: $(-\infty, -6] \cup [1, +\infty)$.

2) $3^{x+1} - 3^{x-1} + 3^{x-3} \le 219$

Вынесем за скобки общий множитель $3^x$:

$3^x \cdot 3^1 - 3^x \cdot 3^{-1} + 3^x \cdot 3^{-3} \le 219$

$3^x (3 - \frac{1}{3} + \frac{1}{27}) \le 219$

Вычислим значение в скобках:

$3 - \frac{1}{3} + \frac{1}{27} = \frac{3 \cdot 27 - 1 \cdot 9 + 1}{27} = \frac{81 - 9 + 1}{27} = \frac{73}{27}$

Подставим это значение обратно в неравенство:

$3^x \cdot \frac{73}{27} \le 219$

Разделим обе части на $\frac{73}{27}$:

$3^x \le \frac{219 \cdot 27}{73}$

Так как $219 = 3 \cdot 73$, получаем:

$3^x \le \frac{3 \cdot 73 \cdot 27}{73}$

$3^x \le 3 \cdot 27$

$3^x \le 3 \cdot 3^3$

$3^x \le 3^4$

Так как основание степени 3 больше 1, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x \le 4$.

Ответ: $(-\infty, 4]$.

3) $49^{x+0,5} + 6 \cdot 7^x - 1 \ge 0$

Приведем все степени к основанию 7:

$49^{x+0,5} = (7^2)^{x+0,5} = 7^{2(x+0,5)} = 7^{2x+1} = 7 \cdot 7^{2x} = 7 \cdot (7^x)^2$

Неравенство принимает вид:

$7 \cdot (7^x)^2 + 6 \cdot 7^x - 1 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$. Так как $7^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

$7t^2 + 6t - 1 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $7t^2 + 6t - 1 = 0$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 = 8^2$

$t_1 = \frac{-6 - 8}{14} = -1$

$t_2 = \frac{-6 + 8}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

Решением неравенства $7t^2 + 6t - 1 \ge 0$ является $t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{7}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t \ge \frac{1}{7}$.

Вернемся к исходной переменной:

$7^x \ge \frac{1}{7}$

$7^x \ge 7^{-1}$

Так как основание 7 больше 1, знак неравенства сохраняется:

$x \ge -1$.

Ответ: $[-1, +\infty)$.

4) $5 \cdot 0,2^{2x} - 26 \cdot 0,2^x + 5 \le 0$

Перепишем неравенство в виде $5 \cdot (0,2^x)^2 - 26 \cdot 0,2^x + 5 \le 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = 0,2^x$. Так как $0,2^x > 0$, то $t > 0$.

$5t^2 - 26t + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $5t^2 - 26t + 5 = 0$:

$D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$

$t_1 = \frac{26 - 24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0,2$

$t_2 = \frac{26 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5$

Решением неравенства $5t^2 - 26t + 5 \le 0$ является $\frac{1}{5} \le t \le 5$.

Данный интервал удовлетворяет условию $t>0$.

Выполним обратную замену:

$\frac{1}{5} \le 0,2^x \le 5$

Так как $0,2 = \frac{1}{5}$ и $5 = (\frac{1}{5})^{-1} = 0,2^{-1}$, получаем:

$0,2^1 \le 0,2^x \le 0,2^{-1}$

Основание степени 0,2 находится в интервале $(0, 1)$, поэтому при переходе к неравенству для показателей знаки неравенств меняются на противоположные:

$1 \ge x \ge -1$, что эквивалентно $-1 \le x \le 1$.

Ответ: $[-1, 1]$.

5) $\frac{0,064 - 0,4^x}{x-8} \le 0$

Решим неравенство методом интервалов.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, $x-8 \ne 0$, следовательно, $x \ne 8$.

2. Найдем нули числителя: $0,064 - 0,4^x = 0 \implies 0,4^x = 0,064$. Так как $0,064 = (\frac{4}{10})^3 = 0,4^3$, то $0,4^x = 0,4^3$, откуда $x = 3$.

3. Найдем нуль знаменателя: $x - 8 = 0 \implies x = 8$.

4. Отметим точки $x=3$ (корень числителя, включается в решение) и $x=8$ (корень знаменателя, исключается) на числовой оси. Определим знаки выражения $f(x) = \frac{0,064 - 0,4^x}{x-8}$ на полученных интервалах.

При $x > 8$ (например, $x=10$): $f(10) = \frac{0,064 - 0,4^{10}}{10-8} = \frac{+}{+} > 0$.

При $3 < x < 8$ (например, $x=4$): $f(4) = \frac{0,064 - 0,4^4}{4-8} = \frac{0,064 - 0,0256}{-4} = \frac{+}{-} < 0$.

При $x < 3$ (например, $x=0$): $f(0) = \frac{0,064 - 0,4^0}{0-8} = \frac{0,064 - 1}{-8} = \frac{-}{-} > 0$.

Нас интересует, где $f(x) \le 0$. Это происходит при $x \in [3, 8)$.

Ответ: $[3, 8)$.

6) $(2^x - 8)\sqrt{6-x} \le 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $6 - x \ge 0 \implies x \le 6$.

2. Произведение двух множителей меньше или равно нулю. Множитель $\sqrt{6-x}$ всегда неотрицателен ($\ge 0$) в своей области определения.

Неравенство выполняется в двух случаях:

а) Произведение равно нулю. Это возможно, если один из множителей равен нулю.

$2^x - 8 = 0 \implies 2^x = 8 \implies x = 3$. (входит в ОДЗ).

$\sqrt{6-x} = 0 \implies 6 - x = 0 \implies x = 6$. (входит в ОДЗ).

б) Произведение строго меньше нуля. Так как $\sqrt{6-x} > 0$ при $x < 6$, для отрицательности произведения необходимо, чтобы первый множитель был отрицательным:

$2^x - 8 < 0 \implies 2^x < 8 \implies 2^x < 2^3 \implies x < 3$.

3. Объединим все найденные решения с учетом ОДЗ ($x \le 6$).

Объединяя $x < 3$ и $x = 3$, получаем $x \le 3$. Также добавляем отдельное решение $x = 6$.

Итоговое решение: $x \in (-\infty, 3] \cup \{6\}$.

Ответ: $(-\infty, 3] \cup \{6\}$.