Номер 22, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Схема Бернулли. Биномиальное распределение

1. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна $\frac{3}{4}$. Какова вероятность того, что в девяти выстрелах будет сделано три промаха?

2. Игральный кубик бросают десять раз. Какова вероятность того, что число, кратное трём, выпадает:

1) не более двух раз;

2) больше восьми раз?

3. Случайная величина $z$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n = 5$ и $p = 0,2$. Найдите $P(1 \le z < 3)$.

1.

Данная задача решается с помощью схемы Бернулли. В этой схеме последовательность независимых испытаний, в каждом из которых событие (в нашем случае "промах") может произойти с одинаковой вероятностью.

Пусть "успех" — это промах. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна $p_{попадание} = \frac{3}{4}$. Следовательно, вероятность промаха при одном выстреле (наш "успех") равна $p = 1 - p_{попадание} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$. Вероятность "неудачи" (т.е. попадания) равна $q = p_{попадание} = \frac{3}{4}$. Общее число испытаний (выстрелов) $n = 9$. Требуется найти вероятность того, что в этих 9 выстрелах будет ровно $k=3$ промаха.

Формула Бернулли для $k$ успехов в $n$ испытаниях имеет вид: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ где $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Подставим наши значения: $n=9$, $k=3$, $p=\frac{1}{4}$, $q=\frac{3}{4}$. $P_9(3) = C_9^3 \cdot (\frac{1}{4})^3 \cdot (\frac{3}{4})^{9-3} = C_9^3 \cdot (\frac{1}{4})^3 \cdot (\frac{3}{4})^6$

Сначала вычислим число сочетаний $C_9^3$: $C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$.

Теперь подставим все значения в формулу: $P_9(3) = 84 \cdot \frac{1^3}{4^3} \cdot \frac{3^6}{4^6} = 84 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{729}{4096} = \frac{84 \cdot 729}{64 \cdot 4096}$. Сократим дробь: $\frac{84 \cdot 729}{64 \cdot 4096} = \frac{(21 \cdot 4) \cdot 729}{(16 \cdot 4) \cdot 4096} = \frac{21 \cdot 729}{16 \cdot 4096} = \frac{15309}{65536}$.

Ответ: $\frac{15309}{65536}$.

2.

Эта задача также решается по схеме Бернулли. Общее число испытаний (бросков кубика) $n=10$. "Успехом" будем считать выпадение числа, кратного трём. На игральном кубике 6 граней с числами {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Числа, кратные трём, это {3, 6}. Таких чисел 2. Вероятность "успеха" в одном броске: $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Вероятность "неудачи" (выпадение числа, не кратного трём): $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству выпадений числа, кратного трём, в 10 бросках.

1) не более двух раз

Требуется найти вероятность $P(X \le 2)$. Это событие означает, что число, кратное трём, выпадет 0, 1 или 2 раза. Таким образом, $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$. Воспользуемся формулой Бернулли $P_{10}(k) = C_{10}^k p^k q^{10-k}$ для $k=0, 1, 2$.

$P(X=0) = C_{10}^0 \cdot (\frac{1}{3})^0 \cdot (\frac{2}{3})^{10} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2^{10}}{3^{10}} = \frac{1024}{59049}$.

$P(X=1) = C_{10}^1 \cdot (\frac{1}{3})^1 \cdot (\frac{2}{3})^9 = 10 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2^9}{3^9} = \frac{10 \cdot 512}{3^{10}} = \frac{5120}{59049}$.

$P(X=2) = C_{10}^2 \cdot (\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{2}{3})^8 = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{2^8}{3^8} = 45 \cdot \frac{256}{3^2 \cdot 3^8} = \frac{45 \cdot 256}{3^{10}} = \frac{11520}{59049}$.

Теперь сложим полученные вероятности: $P(X \le 2) = \frac{1024}{59049} + \frac{5120}{59049} + \frac{11520}{59049} = \frac{1024 + 5120 + 11520}{59049} = \frac{17664}{59049}$. Сократим дробь (числитель и знаменатель делятся на 3): $\frac{17664}{59049} = \frac{5888}{19683}$.

Ответ: $\frac{5888}{19683}$.

2) больше восьми раз

Требуется найти вероятность $P(X > 8)$. Это событие означает, что число, кратное трём, выпадет 9 или 10 раз. Таким образом, $P(X > 8) = P(X=9) + P(X=10)$.

$P(X=9) = C_{10}^9 \cdot (\frac{1}{3})^9 \cdot (\frac{2}{3})^{1} = 10 \cdot \frac{1}{19683} \cdot \frac{2}{3} = \frac{20}{59049}$.

$P(X=10) = C_{10}^{10} \cdot (\frac{1}{3})^{10} \cdot (\frac{2}{3})^0 = 1 \cdot \frac{1}{59049} \cdot 1 = \frac{1}{59049}$.

Суммируем вероятности: $P(X > 8) = \frac{20}{59049} + \frac{1}{59049} = \frac{21}{59049}$. Сократим дробь (числитель и знаменатель делятся на 3): $\frac{21}{59049} = \frac{7}{19683}$.

Ответ: $\frac{7}{19683}$.

3.

Случайная величина $z$ подчиняется биномиальному закону распределения с параметрами: $n=5$ (число испытаний) и $p=0,2$ (вероятность "успеха" в одном испытании). Нужно найти вероятность $P(1 \le z < 3)$.

Так как $z$ является дискретной случайной величиной и может принимать только целые значения (в данном случае от 0 до 5), неравенство $1 \le z < 3$ означает, что $z$ может быть равно 1 или 2. Следовательно, нам нужно найти $P(z=1) + P(z=2)$.

Вероятность "неудачи" в одном испытании равна $q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8$. Формула для вероятности $k$ успехов в $n$ испытаниях при биномиальном распределении (формула Бернулли): $P(z=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$.

Вычислим $P(z=1)$: $P(z=1) = C_5^1 \cdot (0,2)^1 \cdot (0,8)^{5-1} = 5 \cdot 0,2 \cdot (0,8)^4 = 1 \cdot 0,4096 = 0,4096$.

Вычислим $P(z=2)$: $P(z=2) = C_5^2 \cdot (0,2)^2 \cdot (0,8)^{5-2} = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot (0,04) \cdot (0,8)^3 = 10 \cdot 0,04 \cdot 0,512 = 0,4 \cdot 0,512 = 0,2048$.

Теперь найдём сумму этих вероятностей: $P(1 \le z < 3) = P(z=1) + P(z=2) = 0,4096 + 0,2048 = 0,6144$.

Ответ: $0,6144$.