Номер 1, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 1

Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция

1. Найдите значение выражения:

1) $3^{(1 + \sqrt{5})^2} : 3^{2\sqrt{5}};$

2) $3^{\sqrt{50}} : 81^{\sqrt{2}};$

3) $((\sqrt[6]{5})^{\sqrt{18}})^{\sqrt{18}}.$

2. Упростите выражение:

1) $(a^{\sqrt{5}} - 9)(a^{\sqrt{5}} + 9) - (a^{\sqrt{5}} + 4)^2;$

2) $\frac{a^{2\sqrt{7}} + 5a^{\sqrt{7}}}{a^{2\sqrt{7}} - 25}.$

3. Сравните значения выражений:

1) $8^{0,2}$ и $8^{\frac{1}{6}};

2) $1$ и $10^{-\frac{4}{5}};

3) $(\sqrt{7} - 2)^{-4,7}$ и $(\sqrt{7} - 2)^{-4,6};

4) $(4 - \sqrt{15})^{0,7}$ и $(4 + \sqrt{15})^{-0,8}$.

4. Найдите область значений функции:

1) $y = -6^x;$

2) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x + 7;$

3) $y = 11^{|x|};$

4) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{|\sin x|} + 7.$

5. Постройте график функции:

1) $y = 4^x - 2;$

2) $y = \left|\left(\frac{1}{3}\right)^x - 1\right|.$

6. Решите неравенство:

$4^{|x| + 2} \le 10 \cos x + 6$.

1. Найдите значение выражения:

1) $3^{(1 + \sqrt{5})^2} : 3^{2\sqrt{5}}$

Сначала упростим показатель первой степени: $(1 + \sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}$.

Теперь выражение принимает вид: $3^{6 + 2\sqrt{5}} : 3^{2\sqrt{5}}$.

Используя свойство степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$, получаем:

$3^{(6 + 2\sqrt{5}) - 2\sqrt{5}} = 3^6 = 729$.

Ответ: 729

2) $3^{\sqrt{50}} : 81^{\sqrt{2}}$

Упростим основания и показатели. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

Представим 81 как степень 3: $81 = 3^4$.

Выражение принимает вид: $3^{5\sqrt{2}} : (3^4)^{\sqrt{2}}$.

Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $(3^4)^{\sqrt{2}} = 3^{4\sqrt{2}}$.

Теперь разделим степени с одинаковым основанием: $3^{5\sqrt{2}} : 3^{4\sqrt{2}} = 3^{5\sqrt{2} - 4\sqrt{2}} = 3^{\sqrt{2}}$.

Ответ: $3^{\sqrt{2}}$

3) $((\frac{6}{5})^{\sqrt{18}})^{\sqrt{18}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$((\frac{6}{5})^{\sqrt{18}})^{\sqrt{18}} = (\frac{6}{5})^{\sqrt{18} \cdot \sqrt{18}} = (\frac{6}{5})^{18}$.

Ответ: $(\frac{6}{5})^{18}$

2. Упростите выражение:

1) $(a^{\sqrt{5}} - 9)(a^{\sqrt{5}} + 9) - (a^{\sqrt{5}} + 4)^2$

Пусть $x = a^{\sqrt{5}}$. Тогда выражение примет вид: $(x - 9)(x + 9) - (x + 4)^2$.

Применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ и формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(x^2 - 9^2) - (x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) = (x^2 - 81) - (x^2 + 8x + 16)$.

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$x^2 - 81 - x^2 - 8x - 16 = -8x - 97$.

Подставляем обратно $x = a^{\sqrt{5}}$:

$-8a^{\sqrt{5}} - 97$.

Ответ: $-8a^{\sqrt{5}} - 97$

2) $\frac{a^{2\sqrt{7}} + 5a^{\sqrt{7}}}{a^{2\sqrt{7}} - 25}$

Пусть $x = a^{\sqrt{7}}$. Тогда $x^2 = (a^{\sqrt{7}})^2 = a^{2\sqrt{7}}$. Выражение принимает вид: $\frac{x^2 + 5x}{x^2 - 25}$.

Факторизуем числитель и знаменатель:

В числителе выносим общий множитель $x$: $x(x+5)$.

В знаменателе применяем формулу разности квадратов: $(x - 5)(x + 5)$.

Получаем дробь: $\frac{x(x+5)}{(x-5)(x+5)}$.

Сокращаем на $(x+5)$ (при условии $x \neq -5$): $\frac{x}{x-5}$.

Подставляем обратно $x = a^{\sqrt{7}}$:

$\frac{a^{\sqrt{7}}}{a^{\sqrt{7}} - 5}$.

Ответ: $\frac{a^{\sqrt{7}}}{a^{\sqrt{7}} - 5}$

3. Сравните значения выражений:

1) $8^{0.2}$ и $8^{\frac{1}{6}}$

Представим $0.2$ в виде дроби: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Сравниваем $8^{\frac{1}{5}}$ и $8^{\frac{1}{6}}$. Основание степени $8 > 1$, поэтому показательная функция $y=8^x$ является возрастающей. Большему значению показателя соответствует большее значение функции.

Сравним показатели: $\frac{1}{5} > \frac{1}{6}$. Следовательно, $8^{\frac{1}{5}} > 8^{\frac{1}{6}}$.

Ответ: $8^{0.2} > 8^{\frac{1}{6}}$

2) $1$ и $10^{-\frac{4}{5}}$

Представим $1$ как $10^0$. Сравниваем $10^0$ и $10^{-\frac{4}{5}}$.

Основание степени $10 > 1$, поэтому функция $y=10^x$ возрастающая. Сравниваем показатели: $0 > -\frac{4}{5}$.

Следовательно, $10^0 > 10^{-\frac{4}{5}}$, то есть $1 > 10^{-\frac{4}{5}}$.

Ответ: $1 > 10^{-\frac{4}{5}}$

3) $(\sqrt{7}-2)^{-4.7}$ и $(\sqrt{7}-2)^{-4.6}$

Оценим основание степени: $a = \sqrt{7}-2$. Так как $2 < \sqrt{7} < 3$, то $0 < \sqrt{7}-2 < 1$.

Поскольку основание $0 < a < 1$, показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Большему значению показателя соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатели: $-4.7 < -4.6$.

Так как функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $(\sqrt{7}-2)^{-4.7} > (\sqrt{7}-2)^{-4.6}$.

Ответ: $(\sqrt{7}-2)^{-4.7} > (\sqrt{7}-2)^{-4.6}$

4) $(4-\sqrt{15})^{0.7}$ и $(4+\sqrt{15})^{-0.8}$

Найдем произведение оснований: $(4-\sqrt{15})(4+\sqrt{15}) = 4^2 - (\sqrt{15})^2 = 16 - 15 = 1$.

Отсюда следует, что $4+\sqrt{15} = \frac{1}{4-\sqrt{15}} = (4-\sqrt{15})^{-1}$.

Преобразуем второе выражение: $(4+\sqrt{15})^{-0.8} = ((4-\sqrt{15})^{-1})^{-0.8} = (4-\sqrt{15})^{(-1) \cdot (-0.8)} = (4-\sqrt{15})^{0.8}$.

Теперь задача сводится к сравнению $(4-\sqrt{15})^{0.7}$ и $(4-\sqrt{15})^{0.8}$.

Оценим основание $a=4-\sqrt{15}$. Так как $3 < \sqrt{15} < 4$, то $0 < 4-\sqrt{15} < 1$.

Функция $y=a^x$ с основанием $0 < a < 1$ является убывающей. Сравним показатели: $0.7 < 0.8$.

Для убывающей функции, чем меньше показатель, тем больше значение: $(4-\sqrt{15})^{0.7} > (4-\sqrt{15})^{0.8}$.

Ответ: $(4-\sqrt{15})^{0.7} > (4+\sqrt{15})^{-0.8}$

4. Найдите область значений функции:

1) $y = -6^x$

Область значений показательной функции $f(x)=6^x$ есть интервал $(0; +\infty)$.

Функция $y = -f(x) = -6^x$ получается отражением графика $f(x)$ относительно оси Ox. Ее область значений будет $(-\infty; 0)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$

2) $y = (\frac{1}{5})^x + 7$

Область значений функции $f(x)=(\frac{1}{5})^x$ есть интервал $(0; +\infty)$.

Функция $y = f(x) + 7$ получается сдвигом графика $f(x)$ на 7 единиц вверх. Следовательно, ее область значений $(0+7; +\infty+7) = (7; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (7; +\infty)$

3) $y = 11^{|x|}$

Область значений модуля $|x|$ есть $[0; +\infty)$.

Так как основание $11 > 1$, функция $f(t)=11^t$ возрастающая. Наименьшее значение она примет при наименьшем значении показателя, то есть при $|x|=0$.

$y_{min} = 11^0 = 1$.

При $|x| \to +\infty$, $y \to +\infty$. Таким образом, область значений функции $[1; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$

4) $y = (\frac{1}{3})^{|\sin x|} + 7$

Найдем область значений показателя $|\sin x|$. Функция $\sin x$ принимает значения в отрезке $[-1; 1]$, значит $|\sin x|$ принимает значения в отрезке $[0; 1]$.

Рассмотрим функцию $f(t) = (\frac{1}{3})^t$ на отрезке $t \in [0; 1]$. Так как основание $\frac{1}{3} < 1$, функция является убывающей.

Ее наибольшее значение достигается при $t=0$: $f(0) = (\frac{1}{3})^0 = 1$.

Ее наименьшее значение достигается при $t=1$: $f(1) = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$.

Значит, область значений $(\frac{1}{3})^{|\sin x|}$ есть отрезок $[\frac{1}{3}; 1]$.

Функция $y$ получается прибавлением 7, поэтому ее область значений $[\frac{1}{3}+7; 1+7] = [7\frac{1}{3}; 8]$.

Ответ: $E(y) = [7\frac{1}{3}; 8]$

5. Постройте график функции:

1) $y = 4^{x-2}$

График функции $y=4^{x-2}$ получается из графика показательной функции $y=4^x$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Основные свойства графика $y=4^{x-2}$:

• Это возрастающая кривая.
• Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось Ox).
• График проходит через точку $(2, 1)$, так как $y(2)=4^{2-2}=4^0=1$.
• Другие точки на графике: $(3, 4)$, $(1, 1/4)$.

Ответ: График функции $y=4^{x-2}$ — это график $y=4^x$, сдвинутый на 2 единицы вправо. Это возрастающая экспоненциальная кривая с асимптотой $y=0$, проходящая через точку $(2,1)$.

2) $y = |(\frac{1}{3})^x - 1|$

Построение графика выполняется в несколько шагов:

1. Строим график функции $y_1 = (\frac{1}{3})^x$. Это стандартная убывающая показательная функция, проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.
2. Строим график функции $y_2 = (\frac{1}{3})^x - 1$. Он получается сдвигом графика $y_1$ на 1 единицу вниз. График $y_2$ проходит через начало координат $(0, 0)$, а его асимптота смещается к $y=-1$.
3. Строим итоговый график $y = |y_2| = |(\frac{1}{3})^x - 1|$. Для этого часть графика $y_2$, которая лежит ниже оси Ox (при $x>0$), симметрично отражаем относительно оси Ox. Часть графика, которая была выше или на оси Ox (при $x \le 0$), остается без изменений.

Итоговый график имеет "угол" в точке $(0,0)$, проходит через точку $(-1, 2)$ и при $x \to +\infty$ приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$.

Ответ: График функции $y = |(\frac{1}{3})^x - 1|$ имеет минимум в точке $(0,0)$, проходит через $(-1,2)$, является убывающим при $x<0$ и возрастающим при $x>0$, и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$ при $x \to +\infty$.

6. Решите неравенство $4^{|x|} + 2 \le 10\cos x + 6$

Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = 4^{|x|} + 2$ и $g(x) = 10\cos x + 6$.

Обе функции являются четными, так как $f(-x) = 4^{|-x|} + 2 = 4^{|x|} + 2 = f(x)$ и $g(-x) = 10\cos(-x) + 6 = 10\cos x + 6 = g(x)$. Поэтому достаточно решить неравенство для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить решение относительно $x=0$.

Для $x \ge 0$, неравенство принимает вид $4^x + 2 \le 10\cos x + 6$.

Проверим $x=0$: $4^0 + 2 = 3$ и $10\cos(0) + 6 = 16$. Неравенство $3 \le 16$ выполняется, значит $x=0$ является решением.

Рассмотрим случай, когда $|x| \ge \frac{\pi}{2}$. В этом случае $\cos x \le 0$.

Тогда правая часть $g(x) = 10\cos x + 6 \le 10 \cdot 0 + 6 = 6$.

Левая часть $f(x) = 4^{|x|} + 2 \ge 4^{\pi/2} + 2$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $\pi/2 \approx 1.57$. $4^{1.5} = 8$, поэтому $4^{\pi/2} > 8$. Значит, $f(x) > 8+2 = 10$.

Получаем, что для $|x| \ge \frac{\pi}{2}$ левая часть больше 10, а правая часть не больше 6. В этом случае неравенство $f(x) \le g(x)$ не имеет решений.

Следовательно, все решения неравенства лежат в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

На интервале $[0, \frac{\pi}{2})$ функция $f(x)=4^x+2$ является возрастающей, а функция $g(x)=10\cos x + 6$ является убывающей. Так как $f(0) < g(0)$, а $f(\frac{\pi}{2}) > g(\frac{\pi}{2})$, то существует единственная точка $x_0 \in (0, \frac{\pi}{2})$, в которой $f(x_0)=g(x_0)$.

Решением неравенства для $x \ge 0$ будет отрезок $[0, x_0]$. Учитывая четность, общее решение неравенства — это отрезок $[-x_0, x_0]$, где $x_0$ — единственный положительный корень уравнения $4^x + 2 = 10\cos x + 6$. Это уравнение является трансцендентным и не решается аналитически в элементарных функциях.

Заметим, что данное неравенство может быть представлено в виде, который решается методом оценки. Если предположить опечатку в условии, и неравенство имело вид $4^{|x|} + 8 \le 10\cos x$, то:

Левая часть: $4^{|x|} + 8 \ge 4^0 + 8 = 9$.

Правая часть: $10\cos x \le 10 \cdot 1 = 10$.

Это не приводит к однозначному решению. Если же неравенство имело вид $4^{|x|} + 9 \le 10\cos x$, то:

Левая часть $4^{|x|} + 9 \ge 10$. Правая часть $10\cos x \le 10$.

Неравенство возможно только в случае равенства, то есть $4^{|x|} + 9 = 10$ и $10\cos x = 10$. Из первого уравнения $|x|=0 \Rightarrow x=0$. Из второго $\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi k$. Единственное общее решение $x=0$.

Придерживаясь исходного условия, точный ответ может быть записан только через корень уравнения.

Ответ: Решением является отрезок $[-x_0, x_0]$, где $x_0$ - единственный положительный корень уравнения $4^x - 10\cos x - 4 = 0$.