Номер 2, страница 40 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 2

Показательные уравнения

1. Решите уравнение:

1) $0,16^x - 7 = 2,5^x + 5$;

2) $2 \cdot 7^x + 7^{x+2} = 357$;

3) $3^{2x} - 12 \cdot 3^x + 27 = 0$;

4) $2^{\cos 2x} - 5 \cdot 2^{\sin^2 x} = -2$;

5) $5 \cdot 36^x - 30^x - 6 \cdot 25^x = 0$;

6) $4^x = 18 - x$.

2. При каких значениях параметра $a$ уравнение $64^x - (a+6) \cdot 8^x + 8a - 16 = 0$ имеет один действительный корень?

1)

Приведем основания степеней к одному числу. Заметим, что $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$ и $2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1}$.
Подставим эти значения в исходное уравнение:
$((\frac{2}{5})^2)^{x-7} = ((\frac{2}{5})^{-1})^{x+5}$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$(\frac{2}{5})^{2(x-7)} = (\frac{2}{5})^{-(x+5)}$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$2(x-7) = -(x+5)$
$2x - 14 = -x - 5$
$2x + x = 14 - 5$
$3x = 9$
$x = 3$
Ответ: $x=3$.

2)

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать слагаемое $7^{x+2}$:
$2 \cdot 7^x + 7^x \cdot 7^2 = 357$
$2 \cdot 7^x + 49 \cdot 7^x = 357$
Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:
$7^x (2 + 49) = 357$
$7^x \cdot 51 = 357$
Разделим обе части уравнения на 51:
$7^x = \frac{357}{51}$
$7^x = 7$
Так как $7 = 7^1$, получаем:
$x = 1$
Ответ: $x=1$.

3)

Заметим, что $3^{2x} = (3^x)^2$. Данное уравнение является квадратным относительно $3^x$.
Сделаем замену переменной: пусть $y = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.
Уравнение принимает вид:
$y^2 - 12y + 27 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а произведение равно 27. Корни уравнения: $y_1 = 3$ и $y_2 = 9$.
Оба корня удовлетворяют условию $y > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $3^x = y_1 \Rightarrow 3^x = 3 \Rightarrow 3^x = 3^1 \Rightarrow x = 1$.
2) $3^x = y_2 \Rightarrow 3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2$.
Ответ: $x=1, x=2$.

4)

Для решения уравнения воспользуемся тригонометрическим тождеством $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$.
$2^{1 - 2\sin^2(x)} - 5 \cdot 2^{-\sin^2(x)} = -2$
Применим свойство степеней $a^{m-n} = a^m/a^n$ или $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$:
$2^1 \cdot 2^{-2\sin^2(x)} - 5 \cdot 2^{-\sin^2(x)} + 2 = 0$
$2 \cdot (2^{-\sin^2(x)})^2 - 5 \cdot 2^{-\sin^2(x)} + 2 = 0$
Сделаем замену переменной: пусть $y = 2^{-\sin^2(x)}$.
Определим область допустимых значений для $y$. Так как $0 \le \sin^2(x) \le 1$, то $-1 \le -\sin^2(x) \le 0$.
Следовательно, $2^{-1} \le 2^{-\sin^2(x)} \le 2^0$, то есть $\frac{1}{2} \le y \le 1$.
Получаем квадратное уравнение:
$2y^2 - 5y + 2 = 0$
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
$y_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$y_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Корень $y_2=2$ не удовлетворяет условию $\frac{1}{2} \le y \le 1$, поэтому он является посторонним.
Корень $y_1=\frac{1}{2}$ удовлетворяет условию.
Вернемся к замене:
$2^{-\sin^2(x)} = \frac{1}{2}$
$2^{-\sin^2(x)} = 2^{-1}$
$-\sin^2(x) = -1$
$\sin^2(x) = 1$
$\sin(x) = \pm 1$
Отсюда $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5)

Это однородное показательное уравнение. Представим числа 36, 30 и 25 через их простые множители: $36 = 6^2$, $30 = 5 \cdot 6$, $25 = 5^2$.
$5 \cdot (6^2)^x - (5 \cdot 6)^x - 6 \cdot (5^2)^x = 0$
$5 \cdot 6^{2x} - 5^x \cdot 6^x - 6 \cdot 5^{2x} = 0$
Разделим обе части уравнения на $25^x = 5^{2x}$ (это выражение всегда положительно и не равно нулю):
$5 \cdot \frac{6^{2x}}{5^{2x}} - \frac{5^x \cdot 6^x}{5^{2x}} - 6 \cdot \frac{5^{2x}}{5^{2x}} = 0$
$5 \cdot (\frac{6}{5})^{2x} - (\frac{6}{5})^x - 6 = 0$
Сделаем замену: пусть $y = (\frac{6}{5})^x$. Условие: $y > 0$.
$5y^2 - y - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
$y_1 = \frac{1 + 11}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
$y_2 = \frac{1 - 11}{10} = -1$.
Корень $y_2=-1$ не удовлетворяет условию $y > 0$.
Вернемся к замене:
$(\frac{6}{5})^x = \frac{6}{5}$
$(\frac{6}{5})^x = (\frac{6}{5})^1$
$x = 1$
Ответ: $x=1$.

6)

Данное уравнение содержит показательную и линейную функции, поэтому его решают графически или методом анализа свойств функций.
Рассмотрим две функции: $f(x) = 4^x$ и $g(x) = 18 - x$.
Функция $f(x) = 4^x$ является показательной с основанием $4 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
Функция $g(x) = 18 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она строго убывает на всей области определения.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересекаться не более чем в одной точке. Это означает, что данное уравнение имеет не более одного корня.
Найдем корень подбором, проверяя целые значения $x$.
При $x = 2$:
Левая часть: $4^2 = 16$.
Правая часть: $18 - 2 = 16$.
Так как $16 = 16$, то $x=2$ является корнем уравнения. Поскольку корень может быть только один, это и есть единственное решение.
Ответ: $x=2$.

2.

Запишем уравнение в виде $(8^x)^2 - (a+6) \cdot 8^x + 8a - 16 = 0$.
Это уравнение является квадратным относительно $8^x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 8^x$. Так как $x$ может быть любым действительным числом, $t$ должно быть строго положительным ($t > 0$).
Уравнение для $t$ принимает вид:
$t^2 - (a+6)t + 8a - 16 = 0$
Исходное уравнение имеет один действительный корень $x$ тогда и только тогда, когда квадратное уравнение для $t$ имеет ровно один положительный корень.
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
$D = (-(a+6))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8a - 16) = a^2 + 12a + 36 - 32a + 64 = a^2 - 20a + 100 = (a-10)^2$.
Поскольку $D = (a-10)^2 \ge 0$, уравнение всегда имеет действительные корни для $t$.
Найдем корни уравнения для $t$:
$t = \frac{a+6 \pm \sqrt{(a-10)^2}}{2} = \frac{a+6 \pm |a-10|}{2}$
Раскрывая модуль, можно показать, что корни уравнения - это $t_1 = 8$ и $t_2 = a-2$.
Теперь проанализируем, при каких значениях $a$ будет ровно один положительный корень $t$.
Корень $t_1 = 8$ всегда положителен. Он дает один корень для $x$: $8^x = 8 \Rightarrow x=1$.
Чтобы итоговый корень был единственным, второй корень $t_2 = a-2$ должен либо быть неположительным ($t_2 \le 0$), либо совпадать с первым корнем ($t_2 = t_1$).

Случай 1: Второй корень неположительный.
$t_2 \le 0 \Rightarrow a - 2 \le 0 \Rightarrow a \le 2$.
Если $a \le 2$, то корень $t_2$ не является положительным. В этом случае у нас есть ровно один положительный корень $t_1 = 8$, что дает одно решение для $x$.

Случай 2: Корни совпадают.
$t_1 = t_2 \Rightarrow 8 = a - 2 \Rightarrow a = 10$.
Если $a=10$, дискриминант $D = (10-10)^2 = 0$. Уравнение для $t$ имеет один корень (кратности 2): $t = \frac{10+6}{2} = 8$. Этот корень положительный, что также дает одно решение для $x$.

Объединяя оба случая, получаем, что уравнение имеет один действительный корень при $a \le 2$ или при $a=10$.
Ответ: $a \in (-\infty, 2] \cup \{10\}$.