Номер 20, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 20

Независимые события

1. Трижды бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что шестёрка выпадет только в третий раз?

2. Три стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в цель. Вероятность попадания первого стрелка составляет 0,8, второго — 0,9, третьего — 0,7. Какова вероятность того, что будет:

1) три промаха;

2) ровно одно попадание?

3. Шесть стрелков одновременно независимо друг от друга стреляют в одну цель. Вероятность попадания каждого стрелка равна 0,9. Поражение цели происходит за одно попадание. Найдите вероятность поражения цели.

1.

Пусть событие $A$ — выпадение шестёрки при одном броске, а событие $B$ — невыпадение шестёрки. Стандартный игральный кубик имеет 6 граней. Вероятность выпадения шестёрки равна $P(A) = 1/6$. Вероятность невыпадения шестёрки (выпадения любой из 5 других граней) равна $P(B) = 1 - 1/6 = 5/6$.

Нам необходимо найти вероятность того, что шестёрка выпадет только в третий раз. Это означает, что при первом и втором бросках шестёрка не выпала, а при третьем — выпала. Поскольку броски кубика являются независимыми событиями, вероятность этой последовательности равна произведению вероятностей каждого из этих событий.

$P(\text{не 6, не 6, 6}) = P(B) \times P(B) \times P(A) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$.
Ответ: $\frac{25}{216}$.

2.

Обозначим вероятности попадания для каждого стрелка: $P_1 = 0,8$, $P_2 = 0,9$, $P_3 = 0,7$.
Тогда соответствующие вероятности промаха будут:
$Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0,8 = 0,2$
$Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0,9 = 0,1$
$Q_3 = 1 - P_3 = 1 - 0,7 = 0,3$

1) три промаха;
Вероятность того, что все три стрелка промахнутся, равна произведению вероятностей промаха каждого из них, так как их выстрелы являются независимыми событиями.
$P(\text{три промаха}) = Q_1 \times Q_2 \times Q_3 = 0,2 \times 0,1 \times 0,3 = 0,006$.
Ответ: $0,006$.

2) ровно одно попадание?
Событие "ровно одно попадание" может произойти в трех несовместных случаях:

1. Первый стрелок попал, а второй и третий промахнулись.
2. Второй стрелок попал, а первый и третий промахнулись.
3. Третий стрелок попал, а первый и второй промахнулись.

Вероятность искомого события равна сумме вероятностей этих трех случаев.
Вероятность первого случая: $P_1 \times Q_2 \times Q_3 = 0,8 \times 0,1 \times 0,3 = 0,024$.
Вероятность второго случая: $Q_1 \times P_2 \times Q_3 = 0,2 \times 0,9 \times 0,3 = 0,054$.
Вероятность третьего случая: $Q_1 \times Q_2 \times P_3 = 0,2 \times 0,1 \times 0,7 = 0,014$.
Суммарная вероятность: $P(\text{одно попадание}) = 0,024 + 0,054 + 0,014 = 0,092$.
Ответ: $0,092$.

3.

Событие "поражение цели" означает, что в цель попал хотя бы один из шести стрелков. Проще найти вероятность противоположного события – что все шесть стрелков промахнутся, и вычесть ее из 1.

Вероятность попадания для каждого стрелка $p = 0,9$.
Следовательно, вероятность промаха для каждого стрелка $q = 1 - p = 1 - 0,9 = 0,1$.

Так как выстрелы независимы, вероятность того, что все шесть стрелков промахнутся, равна произведению их индивидуальных вероятностей промаха:
$P(\text{все промахнутся}) = q^6 = (0,1)^6 = 0,000001$.

Вероятность поражения цели (хотя бы одно попадание) равна:
$P(\text{поражение цели}) = 1 - P(\text{все промахнутся}) = 1 - 0,000001 = 0,999999$.
Ответ: $0,999999$.