Номер 13, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 13

Множество комплексных чисел

1. Дано: $z_1 = 2 + i$, $z_2 = 3 - 4i$. Вычислите:

1) $3z_1 + z_2$;

2) $3z_1 - \overline{z_2}$;

3) $|z_1 z_2|$;

4) $\frac{z_1}{z_2}$.

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 6i)(1 - 6i) - i(2 + 3i)^2$;

2) $\frac{1 - 6i}{1 + 6i} - \frac{1 + 6i}{1 - 6i}$;

3) $(3 - 2i)^4$.

3. Найдите все такие комплексные числа $z$, что $z^2 = 3 - 4i$.

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + \dots + i^{45}$.

1. Дано: $z_1 = 2 + i$, $z_2 = 3 - 4i$. Вычислите:

1) $3z_1 + z_2$
Подставим значения $z_1$ и $z_2$ в выражение:
$3(2 + i) + (3 - 4i) = 6 + 3i + 3 - 4i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$(6 + 3) + (3i - 4i) = 9 - i$
Ответ: $9 - i$

2) $3z_1 - \bar{z_2}$
Найдем комплексно-сопряженное число к $z_2$: $\bar{z_2} = \overline{3 - 4i} = 3 + 4i$.
Подставим значения в выражение:
$3(2 + i) - (3 + 4i) = 6 + 3i - 3 - 4i$
Сгруппируем действительные и мнимые части:
$(6 - 3) + (3i - 4i) = 3 - i$
Ответ: $3 - i$

3) $|z_1 z_2|$
Воспользуемся свойством модуля произведения комплексных чисел: $|z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$.
Найдем модули каждого числа:
$|z_1| = |2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$
$|z_2| = |3 - 4i| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
Перемножим модули:
$|z_1 z_2| = \sqrt{5} \cdot 5 = 5\sqrt{5}$
Ответ: $5\sqrt{5}$

4) $\frac{z_1}{z_2}$
Подставим значения $z_1$ и $z_2$ и умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю ($3 + 4i$):
$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2 + i}{3 - 4i} = \frac{(2 + i)(3 + 4i)}{(3 - 4i)(3 + 4i)}$
Раскроем скобки в числителе:
$(2 + i)(3 + 4i) = 6 + 8i + 3i + 4i^2 = 6 + 11i - 4 = 2 + 11i$
Раскроем скобки в знаменателе:
$(3 - 4i)(3 + 4i) = 3^2 - (4i)^2 = 9 - 16i^2 = 9 + 16 = 25$
Получим частное:
$\frac{2 + 11i}{25} = \frac{2}{25} + \frac{11}{25}i$
Ответ: $\frac{2}{25} + \frac{11}{25}i$

2. Упростите выражение:

1) $(1 + 6i)(1 - 6i) - i(2 + 3i)^2$
Упростим каждую часть выражения по отдельности.
Первая часть (разность квадратов):
$(1 + 6i)(1 - 6i) = 1^2 - (6i)^2 = 1 - 36i^2 = 1 + 36 = 37$
Вторая часть (квадрат суммы):
$(2 + 3i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3i + (3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i$
Подставим результаты в исходное выражение:
$37 - i(-5 + 12i) = 37 + 5i - 12i^2 = 37 + 5i + 12 = 49 + 5i$
Ответ: $49 + 5i$

2) $\frac{1 - 6i}{1 + 6i} - \frac{1 + 6i}{1 - 6i}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(1 + 6i)(1 - 6i)$:
$(1 + 6i)(1 - 6i) = 1^2 - (6i)^2 = 1 + 36 = 37$
$\frac{(1 - 6i)^2 - (1 + 6i)^2}{37}$
В числителе воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$a - b = (1 - 6i) - (1 + 6i) = 1 - 6i - 1 - 6i = -12i$
$a + b = (1 - 6i) + (1 + 6i) = 2$
Числитель равен $(-12i)(2) = -24i$.
Таким образом, выражение равно:
$\frac{-24i}{37} = -\frac{24}{37}i$
Ответ: $-\frac{24}{37}i$

3) $(3 - 2i)^4$
Представим степень как $( (3 - 2i)^2 )^2$.
Сначала возведем в квадрат:
$(3 - 2i)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2i + (2i)^2 = 9 - 12i + 4i^2 = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i$
Теперь возведем результат в квадрат:
$(5 - 12i)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 12i + (12i)^2 = 25 - 120i + 144i^2 = 25 - 120i - 144 = -119 - 120i$
Ответ: $-119 - 120i$

3. Найдите все такие комплексные числа z, что $z^2 = 3 - 4i$.

Пусть $z = x + yi$, где $x, y \in \mathbb{R}$.
Тогда $z^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2 = (x^2 - y^2) + (2xy)i$.
Приравниваем это выражение к $3 - 4i$ и составляем систему уравнений для действительной и мнимой частей:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ 2xy = -4 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y = -\frac{2}{x}$ и подставим в первое:
$x^2 - \left(-\frac{2}{x}\right)^2 = 3$
$x^2 - \frac{4}{x^2} = 3$
$x^4 - 4 = 3x^2$
$x^4 - 3x^2 - 4 = 0$
Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):
$t^2 - 3t - 4 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не подходит, так как $t = x^2 \ge 0$.
Следовательно, $x^2 = 4$, откуда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = -\frac{2}{2} = -1$. Получаем число $z_1 = 2 - i$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -\frac{2}{-2} = 1$. Получаем число $z_2 = -2 + i$.
Ответ: $z = 2 - i$ и $z = -2 + i$

4. Найдите сумму $1 + i + i^2 + ... + i^{45}$.

Данное выражение является суммой членов геометрической прогрессии, где первый член $a_1 = 1$, знаменатель $q = i$, а количество членов $n = 45 - 0 + 1 = 46$.
Воспользуемся формулой суммы $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
$S_{46} = \frac{1(i^{46} - 1)}{i - 1}$
Найдем значение $i^{46}$. Степени мнимой единицы повторяются с циклом 4 ($i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$).
$46 = 4 \cdot 11 + 2$, поэтому $i^{46} = (i^4)^{11} \cdot i^2 = 1^{11} \cdot (-1) = -1$.
Подставим это значение в формулу суммы:
$S_{46} = \frac{-1 - 1}{i - 1} = \frac{-2}{i - 1} = \frac{2}{1 - i}$
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $(1 + i)$:
$\frac{2(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2(1 + i)}{1^2 - i^2} = \frac{2(1 + i)}{1 - (-1)} = \frac{2(1 + i)}{2} = 1 + i$
Ответ: $1 + i$