Номер 7, страница 30 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 7

Логарифмические неравенства

Решите неравенство:

1) $ \lg(3x - 9) > \lg(5 - 4x); $

2) $ \log_{0,3}(x - 1) > \log_{0,3}(x^2 + 2x - 3); $

3) $ \log_{0,7}(x + 1) + \log_{0,7}(5 - x) \ge \log_{0,7}(x + 7); $

4) $ \log^2_{\frac{1}{6}}(-x) + 0,125\log_{\frac{1}{6}} x^8 \le 6; $

5) $ \log_{3x}(x^2 - 6x + 8) < 1. $

1) $\lg(3x - 9) > \lg(5 - 4x)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 3x - 9 > 0 \\ 5 - 4x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} 3x > 9 \\ 5 > 4x \end{cases}$
$\begin{cases} x > 3 \\ x < \frac{5}{4} \end{cases}$
$\begin{cases} x > 3 \\ x < 1,25 \end{cases}$
Данная система неравенств не имеет решений, так как нет чисел, которые одновременно больше 3 и меньше 1,25. Следовательно, ОДЗ является пустым множеством.

Ответ: нет решений.

2) $\log_{0,3}(x - 1) > \log_{0,3}(x^2 + 2x - 3)$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x^2 + 2x - 3 > 0 \end{cases}$
Для второго неравенства найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Неравенство $(x+3)(x-1)>0$ выполняется при $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.
$\begin{cases} x > 1 \\ x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty) \end{cases}$
Пересечением этих условий является интервал $x > 1$.
Теперь решаем основное неравенство. Так как основание логарифма $0,3 < 1$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$x - 1 < x^2 + 2x - 3$
$x^2 + x - 2 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Неравенство $(x+2)(x-1)>0$ выполняется при $x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty)$.
Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > 1$):
$x \in (1; +\infty)$.

Ответ: $(1; +\infty)$.

3) $\log_{0,7}(x + 1) + \log_{0,7}(5 - x) \ge \log_{0,7}(x + 7)$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 5 - x > 0 \\ x + 7 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > -1 \\ x < 5 \\ x > -7 \end{cases}$
Пересечением является интервал $(-1; 5)$.
Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство суммы логарифмов:
$\log_{0,7}((x + 1)(5 - x)) \ge \log_{0,7}(x + 7)$
Так как основание логарифма $0,7 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$(x + 1)(5 - x) \le x + 7$
$5x - x^2 + 5 - x \le x + 7$
$-x^2 + 4x + 5 \le x + 7$
$-x^2 + 3x - 2 \le 0$
$x^2 - 3x + 2 \ge 0$
Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Неравенство $(x-1)(x-2) \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty)$.
Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $(-1; 5)$:
$x \in (-1; 1] \cup [2; 5)$.

Ответ: $(-1; 1] \cup [2; 5)$.

4) $\log_{\frac{1}{6}}^2(-x) + 0,125\log_{\frac{1}{6}}x^8 \le 6$

Найдем ОДЗ: $-x > 0 \Rightarrow x < 0$.
Упростим второй член: $0,125\log_{\frac{1}{6}}x^8 = \frac{1}{8} \cdot 8 \log_{\frac{1}{6}}|x| = \log_{\frac{1}{6}}|x|$.
Так как по ОДЗ $x < 0$, то $|x| = -x$.
Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{6}}^2(-x) + \log_{\frac{1}{6}}(-x) \le 6$
Сделаем замену $t = \log_{\frac{1}{6}}(-x)$:
$t^2 + t - 6 \le 0$
Корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$ равны $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$. Неравенство $(t+3)(t-2) \le 0$ выполняется при $-3 \le t \le 2$.
Возвращаемся к замене:
$-3 \le \log_{\frac{1}{6}}(-x) \le 2$
Так как основание логарифма $\frac{1}{6} < 1$, при потенцировании знаки неравенств меняются:
$(\frac{1}{6})^2 \ge -x \ge (\frac{1}{6})^{-3}$
$\frac{1}{36} \ge -x \ge 6^3$
$\frac{1}{36} \ge -x \ge 216$
Умножим на -1, снова меняя знаки неравенств:
$-\frac{1}{36} \le x \le -216$
Запишем в стандартном виде: $-216 \le x \le -\frac{1}{36}$.
Данное решение полностью входит в ОДЗ ($x < 0$).

Ответ: $[-216; -\frac{1}{36}]$.

5) $\log_{3x}(x^2 - 6x + 8) < 1$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x^2 - 6x + 8 > 0 \\ 3x > 0 \\ 3x \ne 1 \end{cases}$
Первое неравенство $(x-2)(x-4)>0$ выполняется при $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$.
Второе и третье условия дают $x > 0$ и $x \ne \frac{1}{3}$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (0; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; 2) \cup (4; +\infty)$.
Представим 1 как $\log_{3x}(3x)$:
$\log_{3x}(x^2 - 6x + 8) < \log_{3x}(3x)$
Рассмотрим два случая в зависимости от основания логарифма.
Случай 1: Основание $0 < 3x < 1$, то есть $0 < x < \frac{1}{3}$. Этот интервал входит в ОДЗ.
При таком основании знак неравенства меняется:
$x^2 - 6x + 8 > 3x$
$x^2 - 9x + 8 > 0$
Корни уравнения $x^2 - 9x + 8 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 8$. Неравенство $(x-1)(x-8)>0$ выполняется при $x < 1$ или $x > 8$.
Найдем пересечение этого решения с условием случая $0 < x < \frac{1}{3}$. Получаем $x \in (0; \frac{1}{3})$.
Случай 2: Основание $3x > 1$, то есть $x > \frac{1}{3}$. В ОДЗ это соответствует интервалам $(\frac{1}{3}; 2) \cup (4; +\infty)$.
При таком основании знак неравенства сохраняется:
$x^2 - 6x + 8 < 3x$
$x^2 - 9x + 8 < 0$
Неравенство $(x-1)(x-8)<0$ выполняется при $1 < x < 8$.
Найдем пересечение этого решения с условиями случая $(\frac{1}{3}; 2) \cup (4; +\infty)$. Получаем $x \in (1; 2) \cup (4; 8)$.
Объединим решения из обоих случаев:
$(0; \frac{1}{3}) \cup (1; 2) \cup (4; 8)$.

Ответ: $(0; \frac{1}{3}) \cup (1; 2) \cup (4; 8)$.