Номер 10, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 10

Правила нахождения первообразной

1. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = x^2 + \frac{7}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$;

2) $f(x) = 6\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}$ на промежутке $(\pi; 2\pi)$.

2. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, график которой проходит через данную точку:

1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{10x - 1}}$, $I = (0,1; +\infty)$, $C(5; 2)$;

2) $f(x) = e^x + \frac{1}{2x - 1}$, $I = (-\infty; 0,5)$, $E(0; 9)$.

3. Скорость материальной точки, которая движется по координатной прямой, изменяется по закону $v(t) = t^2 - 4t$. Найдите формулу, которая выражает зависимость координаты точки от времени, если в момент времени $t = 3$ с точка находилась на расстоянии 18 м от начала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

4. Найдите $\int \sin 8x \sin 5x \, dx$.

1. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = x^2 + \frac{7}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$;

Для нахождения общего вида первообразных необходимо найти неопределенный интеграл от данной функции. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных. Представим функцию в виде $f(x) = x^2 + 7x^{-1/2}$.

$F(x) = \int (x^2 + 7x^{-1/2}) dx = \int x^2 dx + \int 7x^{-1/2} dx$.

Используем табличную формулу для первообразной степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.

$\int 7x^{-1/2} dx = 7 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = 7 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 14x^{1/2} = 14\sqrt{x}$.

Складывая результаты, получаем общий вид первообразных:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + 14\sqrt{x} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 14\sqrt{x} + C$.

2) $f(x) = 6\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}$ на промежутке $(\pi; 2\pi)$.

Находим неопределенный интеграл от функции:

$F(x) = \int (6\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}) dx = \int 6\sin x dx + \int \frac{3}{\sin^2 x} dx$.

Используем табличные интегралы: $\int \sin x dx = -\cos x + C$ и $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.

$\int 6\sin x dx = 6(-\cos x) = -6\cos x$.

$\int \frac{3}{\sin^2 x} dx = 3(-\cot x) = -3\cot x$.

Складывая результаты, получаем общий вид первообразных:

$F(x) = -6\cos x - 3\cot x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = -6\cos x - 3\cot x + C$.

2. Для функции f на промежутке I найдите первообразную F, график которой проходит через данную точку:

1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{10x - 1}}$, $I = (0,1; +\infty)$, $C(5; 2)$;

Сначала найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{10x - 1}} dx = \int (10x - 1)^{-1/2} dx$.

Используя формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \frac{1}{10} \frac{(10x-1)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{10} \frac{(10x-1)^{1/2}}{1/2} + C = \frac{1}{5}\sqrt{10x-1} + C$.

График проходит через точку $C(5; 2)$, значит $F(5) = 2$. Подставим эти значения:

$2 = \frac{1}{5}\sqrt{10 \cdot 5 - 1} + C \implies 2 = \frac{1}{5}\sqrt{49} + C \implies 2 = \frac{7}{5} + C$.

Отсюда $C = 2 - \frac{7}{5} = \frac{10-7}{5} = \frac{3}{5}$.

Искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{5}\sqrt{10x - 1} + \frac{3}{5}$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{5}\sqrt{10x - 1} + \frac{3}{5}$.

2) $f(x) = e^{x/6} + \frac{1}{2x-1}$, $I = (-\infty; 0,5)$, $E(0; 9)$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (e^{x/6} + \frac{1}{2x-1}) dx = \int e^{x/6} dx + \int \frac{1}{2x-1} dx$.

Используя формулы $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ и $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$, получаем:

$F(x) = 6e^{x/6} + \frac{1}{2}\ln|2x-1| + C$.

График проходит через точку $E(0; 9)$, значит $F(0) = 9$. Подставим значения:

$9 = 6e^{0/6} + \frac{1}{2}\ln|2 \cdot 0 - 1| + C \implies 9 = 6e^0 + \frac{1}{2}\ln|-1| + C \implies 9 = 6 \cdot 1 + \frac{1}{2}\ln(1) + C$.

$9 = 6 + 0 + C \implies C = 3$.

На заданном промежутке $I = (-\infty; 0,5)$ выражение $2x-1$ всегда отрицательно, поэтому $|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x$.

Искомая первообразная: $F(x) = 6e^{x/6} + \frac{1}{2}\ln(1-2x) + 3$.

Ответ: $F(x) = 6e^{x/6} + \frac{1}{2}\ln(1-2x) + 3$.

3. Скорость материальной точки, которая движется по координатной прямой, изменяется по закону $v(t) = t^2 - 4t$. Найдите формулу, которая выражает зависимость координаты точки от времени, если в момент времени $t = 3$ с точка находилась на расстоянии 18 м от начала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

Координата точки $s(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$.

$s(t) = \int v(t) dt = \int (t^2 - 4t) dt = \frac{t^3}{3} - 4\frac{t^2}{2} + C = \frac{t^3}{3} - 2t^2 + C$.

По условию, в момент времени $t=3$ с координата точки была $s(3) = 18$.

Подставим эти значения в найденную формулу, чтобы найти $C$:

$18 = \frac{3^3}{3} - 2 \cdot 3^2 + C \implies 18 = \frac{27}{3} - 2 \cdot 9 + C \implies 18 = 9 - 18 + C \implies 18 = -9 + C$.

Отсюда находим $C = 18 + 9 = 27$.

Таким образом, формула зависимости координаты от времени имеет вид:

Ответ: $s(t) = \frac{t^3}{3} - 2t^2 + 27$.

4. Найдите $\int \sin 8x \sin 5x dx$.

Для нахождения этого интеграла воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения в сумму: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.

Применим ее к подынтегральному выражению, где $\alpha = 8x$ и $\beta = 5x$:

$\sin 8x \sin 5x = \frac{1}{2}(\cos(8x - 5x) - \cos(8x + 5x)) = \frac{1}{2}(\cos 3x - \cos 13x)$.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int \frac{1}{2}(\cos 3x - \cos 13x) dx = \frac{1}{2} (\int \cos 3x dx - \int \cos 13x dx)$.

Используя формулу $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$, получаем:

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{13}\sin 13x) + C = \frac{1}{6}\sin 3x - \frac{1}{26}\sin 13x + C$.

Ответ: $\frac{1}{6}\sin 3x - \frac{1}{26}\sin 13x + C$.