Страница 32 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 10

Правила нахождения первообразной

1. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = x^2 + \frac{7}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$;

2) $f(x) = 6\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}$ на промежутке $(\pi; 2\pi)$.

2. Для функции $f$ на промежутке $I$ найдите первообразную $F$, график которой проходит через данную точку:

1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{10x - 1}}$, $I = (0,1; +\infty)$, $C(5; 2)$;

2) $f(x) = e^x + \frac{1}{2x - 1}$, $I = (-\infty; 0,5)$, $E(0; 9)$.

3. Скорость материальной точки, которая движется по координатной прямой, изменяется по закону $v(t) = t^2 - 4t$. Найдите формулу, которая выражает зависимость координаты точки от времени, если в момент времени $t = 3$ с точка находилась на расстоянии 18 м от начала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

4. Найдите $\int \sin 8x \sin 5x \, dx$.

1. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = x^2 + \frac{7}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$;

Для нахождения общего вида первообразных необходимо найти неопределенный интеграл от данной функции. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных. Представим функцию в виде $f(x) = x^2 + 7x^{-1/2}$.

$F(x) = \int (x^2 + 7x^{-1/2}) dx = \int x^2 dx + \int 7x^{-1/2} dx$.

Используем табличную формулу для первообразной степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.

$\int 7x^{-1/2} dx = 7 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = 7 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 14x^{1/2} = 14\sqrt{x}$.

Складывая результаты, получаем общий вид первообразных:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + 14\sqrt{x} + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + 14\sqrt{x} + C$.

2) $f(x) = 6\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}$ на промежутке $(\pi; 2\pi)$.

Находим неопределенный интеграл от функции:

$F(x) = \int (6\sin x + \frac{3}{\sin^2 x}) dx = \int 6\sin x dx + \int \frac{3}{\sin^2 x} dx$.

Используем табличные интегралы: $\int \sin x dx = -\cos x + C$ и $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.

$\int 6\sin x dx = 6(-\cos x) = -6\cos x$.

$\int \frac{3}{\sin^2 x} dx = 3(-\cot x) = -3\cot x$.

Складывая результаты, получаем общий вид первообразных:

$F(x) = -6\cos x - 3\cot x + C$, где $C$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = -6\cos x - 3\cot x + C$.

2. Для функции f на промежутке I найдите первообразную F, график которой проходит через данную точку:

1) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{10x - 1}}$, $I = (0,1; +\infty)$, $C(5; 2)$;

Сначала найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{10x - 1}} dx = \int (10x - 1)^{-1/2} dx$.

Используя формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \frac{1}{10} \frac{(10x-1)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{10} \frac{(10x-1)^{1/2}}{1/2} + C = \frac{1}{5}\sqrt{10x-1} + C$.

График проходит через точку $C(5; 2)$, значит $F(5) = 2$. Подставим эти значения:

$2 = \frac{1}{5}\sqrt{10 \cdot 5 - 1} + C \implies 2 = \frac{1}{5}\sqrt{49} + C \implies 2 = \frac{7}{5} + C$.

Отсюда $C = 2 - \frac{7}{5} = \frac{10-7}{5} = \frac{3}{5}$.

Искомая первообразная: $F(x) = \frac{1}{5}\sqrt{10x - 1} + \frac{3}{5}$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{5}\sqrt{10x - 1} + \frac{3}{5}$.

2) $f(x) = e^{x/6} + \frac{1}{2x-1}$, $I = (-\infty; 0,5)$, $E(0; 9)$.

Найдем общий вид первообразной:

$F(x) = \int (e^{x/6} + \frac{1}{2x-1}) dx = \int e^{x/6} dx + \int \frac{1}{2x-1} dx$.

Используя формулы $\int e^{kx} dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ и $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k}\ln|kx+b| + C$, получаем:

$F(x) = 6e^{x/6} + \frac{1}{2}\ln|2x-1| + C$.

График проходит через точку $E(0; 9)$, значит $F(0) = 9$. Подставим значения:

$9 = 6e^{0/6} + \frac{1}{2}\ln|2 \cdot 0 - 1| + C \implies 9 = 6e^0 + \frac{1}{2}\ln|-1| + C \implies 9 = 6 \cdot 1 + \frac{1}{2}\ln(1) + C$.

$9 = 6 + 0 + C \implies C = 3$.

На заданном промежутке $I = (-\infty; 0,5)$ выражение $2x-1$ всегда отрицательно, поэтому $|2x-1| = -(2x-1) = 1-2x$.

Искомая первообразная: $F(x) = 6e^{x/6} + \frac{1}{2}\ln(1-2x) + 3$.

Ответ: $F(x) = 6e^{x/6} + \frac{1}{2}\ln(1-2x) + 3$.

3. Скорость материальной точки, которая движется по координатной прямой, изменяется по закону $v(t) = t^2 - 4t$. Найдите формулу, которая выражает зависимость координаты точки от времени, если в момент времени $t = 3$ с точка находилась на расстоянии 18 м от начала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

Координата точки $s(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$.

$s(t) = \int v(t) dt = \int (t^2 - 4t) dt = \frac{t^3}{3} - 4\frac{t^2}{2} + C = \frac{t^3}{3} - 2t^2 + C$.

По условию, в момент времени $t=3$ с координата точки была $s(3) = 18$.

Подставим эти значения в найденную формулу, чтобы найти $C$:

$18 = \frac{3^3}{3} - 2 \cdot 3^2 + C \implies 18 = \frac{27}{3} - 2 \cdot 9 + C \implies 18 = 9 - 18 + C \implies 18 = -9 + C$.

Отсюда находим $C = 18 + 9 = 27$.

Таким образом, формула зависимости координаты от времени имеет вид:

Ответ: $s(t) = \frac{t^3}{3} - 2t^2 + 27$.

4. Найдите $\int \sin 8x \sin 5x dx$.

Для нахождения этого интеграла воспользуемся тригонометрической формулой преобразования произведения в сумму: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$.

Применим ее к подынтегральному выражению, где $\alpha = 8x$ и $\beta = 5x$:

$\sin 8x \sin 5x = \frac{1}{2}(\cos(8x - 5x) - \cos(8x + 5x)) = \frac{1}{2}(\cos 3x - \cos 13x)$.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int \frac{1}{2}(\cos 3x - \cos 13x) dx = \frac{1}{2} (\int \cos 3x dx - \int \cos 13x dx)$.

Используя формулу $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$, получаем:

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3}\sin 3x - \frac{1}{13}\sin 13x) + C = \frac{1}{6}\sin 3x - \frac{1}{26}\sin 13x + C$.

Ответ: $\frac{1}{6}\sin 3x - \frac{1}{26}\sin 13x + C$.

Самостоятельная работа № 11

Площадь криволинейной трапеции.

Определённый интеграл

1. Вычислите интеграл:

1) $\int_{-1}^{0} (x^2 + 4x)dx;$

2) $\int_{\frac{1}{3}}^{\frac{2}{3}} \frac{16dx}{(3x + 2)^5};$

3) $\int_{-9}^{-3} (x^2 - \frac{2}{x})dx;$

4) $\int_{-\frac{5\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{2}} 2\cos^2 \frac{x}{10}dx;$

5) $\int_{1}^{3} \frac{e^x + x^4}{x^4e^x}dx.$

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = \sin \frac{x}{3}$ и прямыми $y = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \pi;$

2) графиками функций $y = \sqrt{3 - x}$ и $y = \sqrt{5 + x}$ и осью абсцисс.

1)

Для вычисления интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.
$ \int_{-1}^{0} (x^2 + 4x)dx = \left. (\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2}) \right|_{-1}^{0} = \left. (\frac{x^3}{3} + 2x^2) \right|_{-1}^{0} $
$ = (\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2) - (\frac{(-1)^3}{3} + 2 \cdot (-1)^2) = 0 - (-\frac{1}{3} + 2) = -(\frac{5}{3}) = -\frac{5}{3} $.
Ответ: $ -\frac{5}{3} $.

2)

Вынесем константу за знак интеграла и воспользуемся методом замены переменной.
Пусть $ t = 3x + 2 $, тогда $ dt = 3dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{3} $.
Найдем новые пределы интегрирования:
Если $ x = \frac{1}{3} $, то $ t = 3 \cdot \frac{1}{3} + 2 = 3 $.
Если $ x = \frac{2}{3} $, то $ t = 3 \cdot \frac{2}{3} + 2 = 4 $.
$ \int_{1/3}^{2/3} \frac{16}{(3x + 2)^5} dx = 16 \int_{1/3}^{2/3} (3x + 2)^{-5} dx = 16 \int_{3}^{4} t^{-5} \frac{dt}{3} = \frac{16}{3} \int_{3}^{4} t^{-5} dt $
$ = \frac{16}{3} \left. \frac{t^{-4}}{-4} \right|_{3}^{4} = -\frac{4}{3} \left. \frac{1}{t^4} \right|_{3}^{4} = -\frac{4}{3} (\frac{1}{4^4} - \frac{1}{3^4}) = -\frac{4}{3} (\frac{1}{256} - \frac{1}{81}) $
$ = -\frac{4}{3} (\frac{81 - 256}{256 \cdot 81}) = -\frac{4}{3} (\frac{-175}{20736}) = \frac{4 \cdot 175}{3 \cdot 20736} = \frac{700}{62208} = \frac{175}{15552} $.
Ответ: $ \frac{175}{15552} $.

3)

Интеграл от разности равен разности интегралов.
$ \int_{-9}^{-3} (x^2 - \frac{2}{x})dx = \left. (\frac{x^3}{3} - 2\ln|x|) \right|_{-9}^{-3} $
$ = (\frac{(-3)^3}{3} - 2\ln|-3|) - (\frac{(-9)^3}{3} - 2\ln|-9|) $
$ = (-9 - 2\ln(3)) - (-243 - 2\ln(9)) = -9 - 2\ln(3) + 243 + 2\ln(3^2) $
$ = 234 - 2\ln(3) + 4\ln(3) = 234 + 2\ln(3) $.
Ответ: $ 234 + 2\ln(3) $.

4)

Используем формулу понижения степени $ \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $.
$ \int_{5\pi/4}^{5\pi/2} 2\cos^2(\frac{x}{10}) dx = \int_{5\pi/4}^{5\pi/2} 2 \cdot \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{x}{10})}{2} dx = \int_{5\pi/4}^{5\pi/2} (1 + \cos(\frac{x}{5})) dx $
$ = \left. (x + 5\sin(\frac{x}{5})) \right|_{5\pi/4}^{5\pi/2} $
$ = (\frac{5\pi}{2} + 5\sin(\frac{5\pi/2}{5})) - (\frac{5\pi}{4} + 5\sin(\frac{5\pi/4}{5})) $
$ = (\frac{5\pi}{2} + 5\sin(\frac{\pi}{2})) - (\frac{5\pi}{4} + 5\sin(\frac{\pi}{4})) = (\frac{5\pi}{2} + 5 \cdot 1) - (\frac{5\pi}{4} + 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) $
$ = \frac{5\pi}{2} + 5 - \frac{5\pi}{4} - \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{10\pi - 5\pi}{4} + 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5\pi}{4} + 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2} $.
Ответ: $ \frac{5\pi}{4} + 5 - \frac{5\sqrt{2}}{2} $.

5)

Упростим подынтегральное выражение, разделив числитель на знаменатель почленно.
$ \frac{e^x + x^4}{x^4 e^x} = \frac{e^x}{x^4 e^x} + \frac{x^4}{x^4 e^x} = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{e^x} = x^{-4} + e^{-x} $.
$ \int_{1}^{3} (x^{-4} + e^{-x}) dx = \left. (\frac{x^{-3}}{-3} - e^{-x}) \right|_{1}^{3} = \left. (-\frac{1}{3x^3} - e^{-x}) \right|_{1}^{3} $
$ = (-\frac{1}{3 \cdot 3^3} - e^{-3}) - (-\frac{1}{3 \cdot 1^3} - e^{-1}) = (-\frac{1}{81} - \frac{1}{e^3}) - (-\frac{1}{3} - \frac{1}{e}) $
$ = -\frac{1}{81} - \frac{1}{e^3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{e} = \frac{-1+27}{81} + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^3} = \frac{26}{81} + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^3} $.
Ответ: $ \frac{26}{81} + \frac{1}{e} - \frac{1}{e^3} $.

1)

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $ y=f(x) $ (где $ f(x) \ge 0 $), осью абсцисс $ y=0 $ и прямыми $ x=a $ и $ x=b $, вычисляется по формуле $ S = \int_{a}^{b} f(x) dx $.
В данном случае $ f(x) = \sin(\frac{x}{3}) $, $ a = \frac{\pi}{2} $, $ b = \pi $. На отрезке $ [\frac{\pi}{2}, \pi] $ функция $ \sin(\frac{x}{3}) $ неотрицательна, так как ее аргумент $ \frac{x}{3} $ изменяется в пределах от $ \frac{\pi}{6} $ до $ \frac{\pi}{3} $, что соответствует первой четверти.
$ S = \int_{\pi/2}^{\pi} \sin(\frac{x}{3}) dx = \left. -3\cos(\frac{x}{3}) \right|_{\pi/2}^{\pi} $
$ = -3\cos(\frac{\pi}{3}) - (-3\cos(\frac{\pi/2}{3})) = -3\cos(\frac{\pi}{3}) + 3\cos(\frac{\pi}{6}) $
$ = -3 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-3 + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{3(\sqrt{3} - 1)}{2} $.
Ответ: $ \frac{3(\sqrt{3} - 1)}{2} $.

2)

Найдем точки пересечения графиков функций друг с другом и с осью абсцисс.
1. Пересечение $ y = \sqrt{3-x} $ и $ y = \sqrt{5+x} $:
$ \sqrt{3-x} = \sqrt{5+x} \implies 3-x = 5+x \implies 2x = -2 \implies x = -1 $.
При $ x = -1 $, $ y = \sqrt{3-(-1)} = 2 $. Точка пересечения: $ (-1, 2) $.
2. Пересечение с осью $ y=0 $:
$ y = \sqrt{3-x} = 0 \implies x = 3 $.
$ y = \sqrt{5+x} = 0 \implies x = -5 $.
Фигура ограничена снизу осью абсцисс. Сверху она ограничена графиком $ y = \sqrt{5+x} $ на отрезке $ [-5, -1] $ и графиком $ y = \sqrt{3-x} $ на отрезке $ [-1, 3] $.
Площадь фигуры равна сумме двух интегралов:
$ S = \int_{-5}^{-1} \sqrt{5+x} dx + \int_{-1}^{3} \sqrt{3-x} dx $.
Вычисляем первый интеграл:
$ \int_{-5}^{-1} (5+x)^{1/2} dx = \left. \frac{(5+x)^{3/2}}{3/2} \right|_{-5}^{-1} = \frac{2}{3} \left. (5+x)^{3/2} \right|_{-5}^{-1} = \frac{2}{3} ((5-1)^{3/2} - (5-5)^{3/2}) = \frac{2}{3} (4^{3/2} - 0) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} $.
Вычисляем второй интеграл:
$ \int_{-1}^{3} (3-x)^{1/2} dx = \left. \frac{(3-x)^{3/2}}{3/2 \cdot (-1)} \right|_{-1}^{3} = -\frac{2}{3} \left. (3-x)^{3/2} \right|_{-1}^{3} = -\frac{2}{3} ((3-3)^{3/2} - (3-(-1))^{3/2}) = -\frac{2}{3} (0 - 4^{3/2}) = -\frac{2}{3} (-8) = \frac{16}{3} $.
Общая площадь: $ S = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} $.
Ответ: $ \frac{32}{3} $.