Страница 36 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Условная вероятность

1. Известно, что $P(A) = 0.2$, $P(B) = 0.6$ и $P(A \cup B) = 0.4$. Найдите:

1) $P(A \cap B)$;

2) $P_A(B)$;

3) $P_B(A)$.

2. Из коробки, в которой лежат 23 белых и 11 чёрных шаров, наугад берут сначала один, а потом ещё один шар. Известно, что первый шар был белым. Вычислите вероятность того, что второй шар окажется чёрным. Составьте дендрограмму этого опыта.

3. Среди слушателей курсов иностранных языков есть те, кто изучает английский и итальянский языки. Вероятность того, что наугад выбранный слушатель курсов изучает английский язык, равна 60%, а итальянский — 15%. Среди тех, кто изучает английский язык, доля изучающих итальянский составляет 10%. Найдите вероятность того, что наугад выбранный слушатель, изучающий итальянский язык, также изучает английский.

1.

Заметим, что исходные данные содержат противоречие: вероятность объединения событий не может быть меньше вероятности одного из этих событий, то есть $P(A \cup B) \ge P(B)$. В данном случае $0,4 < 0,6$, что невозможно в рамках аксиоматики теории вероятностей. Тем не менее, произведем формальные вычисления на основе предоставленных данных.

1) $P(A \cap B)$

Для нахождения вероятности пересечения событий $A$ и $B$ (совместного наступления событий) воспользуемся формулой сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Выразим из нее искомую величину $P(A \cap B)$:

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$

Подставим известные значения из условия:

$P(A \cap B) = 0,2 + 0,6 - 0,4 = 0,4$

Ответ: $0,4$.

2) $P_A(B)$

Условная вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ произошло, обозначается как $P_A(B)$ или $P(B|A)$ и вычисляется по формуле:

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Подставим значения, полученные и данные ранее:

$P_A(B) = \frac{0,4}{0,2} = 2$

Ответ: $2$ (Этот результат, будучи больше 1, подтверждает противоречивость исходных данных).

3) $P_B(A)$

Условная вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ произошло, обозначается как $P_B(A)$ или $P(A|B)$ и вычисляется по формуле:

$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Подставим значения:

$P_B(A) = \frac{0,4}{0,6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

2.

Пусть событие $Б_1$ — первый взятый шар был белым, а событие $Ч_2$ — второй взятый шар оказался чёрным. Нам нужно вычислить условную вероятность $P(Ч_2|Б_1)$.

Изначально в коробке было 23 белых и 11 чёрных шаров, всего $23 + 11 = 34$ шара.

По условию, первый шар был белым. Это означает, что событие $Б_1$ уже произошло. После этого в коробке осталось:

• $23 - 1 = 22$ белых шара;
• $11$ чёрных шаров.

Общее количество оставшихся шаров: $34 - 1 = 33$.

Теперь вероятность того, что второй наугад взятый шар будет чёрным, равна отношению количества оставшихся чёрных шаров к общему количеству оставшихся шаров:

$P(Ч_2|Б_1) = \frac{\text{количество чёрных шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{11}{33} = \frac{1}{3}$

Дендрограмма (дерево вероятностей) этого опыта:

Дерево состоит из двух уровней ветвления, соответствующих первому и второму извлечению шара.

• Первый шаг (первый шар):
  • Ветвь 1: Вынут белый шар ($Б_1$). Вероятность: $P(Б_1) = \frac{23}{34}$.
  • Ветвь 2: Вынут чёрный шар ($Ч_1$). Вероятность: $P(Ч_1) = \frac{11}{34}$.
• Второй шаг (второй шар):
  • Если первый был белым ($Б_1$):
    • Ветвь 1.1: Второй тоже белый ($Б_2$). Условная вероятность: $P(Б_2|Б_1) = \frac{22}{33}$.
    • Ветвь 1.2: Второй — чёрный ($Ч_2$). Условная вероятность: $P(Ч_2|Б_1) = \frac{11}{33}$.
  • Если первый был чёрным ($Ч_1$):
    • Ветвь 2.1: Второй — белый ($Б_2$). Условная вероятность: $P(Б_2|Ч_1) = \frac{23}{33}$.
    • Ветвь 2.2: Второй тоже чёрный ($Ч_2$). Условная вероятность: $P(Ч_2|Ч_1) = \frac{10}{33}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3.

Введем обозначения для событий:

• $A$ — наугад выбранный слушатель изучает английский язык.
• $И$ — наугад выбранный слушатель изучает итальянский язык.

Из условия задачи нам известны следующие вероятности:

• Вероятность того, что слушатель изучает английский: $P(A) = 60\% = 0,6$.
• Вероятность того, что слушатель изучает итальянский: $P(И) = 15\% = 0,15$.
• Доля изучающих итальянский среди тех, кто изучает английский, составляет 10%. Это условная вероятность изучения итальянского при условии изучения английского: $P(И|A) = 10\% = 0,1$.

Требуется найти вероятность того, что наугад выбранный слушатель, изучающий итальянский язык, также изучает английский. Иными словами, нам нужно найти условную вероятность $P(A|И)$.

По определению условной вероятности:

$P(A|И) = \frac{P(A \cap И)}{P(И)}$

Здесь $P(A \cap И)$ — вероятность того, что слушатель изучает оба языка. Чтобы найти её, воспользуемся формулой для известной нам условной вероятности $P(И|A)$:

$P(И|A) = \frac{P(A \cap И)}{P(A)}$

Выразим отсюда $P(A \cap И)$:

$P(A \cap И) = P(И|A) \cdot P(A)$

Подставим известные значения:

$P(A \cap И) = 0,1 \cdot 0,6 = 0,06$

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность $P(A|И)$, подставив найденное значение $P(A \cap И)$ и известное значение $P(И)$ в первую формулу:

$P(A|И) = \frac{0,06}{0,15}$

Выполним деление:

$P(A|И) = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} = 0,4$

Ответ: $0,4$.

Самостоятельная работа № 20

Независимые события

1. Трижды бросают игральный кубик. Какова вероятность того, что шестёрка выпадет только в третий раз?

2. Три стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в цель. Вероятность попадания первого стрелка составляет 0,8, второго — 0,9, третьего — 0,7. Какова вероятность того, что будет:

1) три промаха;

2) ровно одно попадание?

3. Шесть стрелков одновременно независимо друг от друга стреляют в одну цель. Вероятность попадания каждого стрелка равна 0,9. Поражение цели происходит за одно попадание. Найдите вероятность поражения цели.

1.

Пусть событие $A$ — выпадение шестёрки при одном броске, а событие $B$ — невыпадение шестёрки. Стандартный игральный кубик имеет 6 граней. Вероятность выпадения шестёрки равна $P(A) = 1/6$. Вероятность невыпадения шестёрки (выпадения любой из 5 других граней) равна $P(B) = 1 - 1/6 = 5/6$.

Нам необходимо найти вероятность того, что шестёрка выпадет только в третий раз. Это означает, что при первом и втором бросках шестёрка не выпала, а при третьем — выпала. Поскольку броски кубика являются независимыми событиями, вероятность этой последовательности равна произведению вероятностей каждого из этих событий.

$P(\text{не 6, не 6, 6}) = P(B) \times P(B) \times P(A) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$.
Ответ: $\frac{25}{216}$.

2.

Обозначим вероятности попадания для каждого стрелка: $P_1 = 0,8$, $P_2 = 0,9$, $P_3 = 0,7$.
Тогда соответствующие вероятности промаха будут:
$Q_1 = 1 - P_1 = 1 - 0,8 = 0,2$
$Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0,9 = 0,1$
$Q_3 = 1 - P_3 = 1 - 0,7 = 0,3$

1) три промаха;
Вероятность того, что все три стрелка промахнутся, равна произведению вероятностей промаха каждого из них, так как их выстрелы являются независимыми событиями.
$P(\text{три промаха}) = Q_1 \times Q_2 \times Q_3 = 0,2 \times 0,1 \times 0,3 = 0,006$.
Ответ: $0,006$.

2) ровно одно попадание?
Событие "ровно одно попадание" может произойти в трех несовместных случаях:

1. Первый стрелок попал, а второй и третий промахнулись.
2. Второй стрелок попал, а первый и третий промахнулись.
3. Третий стрелок попал, а первый и второй промахнулись.

Вероятность искомого события равна сумме вероятностей этих трех случаев.
Вероятность первого случая: $P_1 \times Q_2 \times Q_3 = 0,8 \times 0,1 \times 0,3 = 0,024$.
Вероятность второго случая: $Q_1 \times P_2 \times Q_3 = 0,2 \times 0,9 \times 0,3 = 0,054$.
Вероятность третьего случая: $Q_1 \times Q_2 \times P_3 = 0,2 \times 0,1 \times 0,7 = 0,014$.
Суммарная вероятность: $P(\text{одно попадание}) = 0,024 + 0,054 + 0,014 = 0,092$.
Ответ: $0,092$.

3.

Событие "поражение цели" означает, что в цель попал хотя бы один из шести стрелков. Проще найти вероятность противоположного события – что все шесть стрелков промахнутся, и вычесть ее из 1.

Вероятность попадания для каждого стрелка $p = 0,9$.
Следовательно, вероятность промаха для каждого стрелка $q = 1 - p = 1 - 0,9 = 0,1$.

Так как выстрелы независимы, вероятность того, что все шесть стрелков промахнутся, равна произведению их индивидуальных вероятностей промаха:
$P(\text{все промахнутся}) = q^6 = (0,1)^6 = 0,000001$.

Вероятность поражения цели (хотя бы одно попадание) равна:
$P(\text{поражение цели}) = 1 - P(\text{все промахнутся}) = 1 - 0,000001 = 0,999999$.
Ответ: $0,999999$.