Страница 42 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Логарифмические уравнения

Решите уравнение:

1) $\log_8 \log_3 \log_{\sqrt[3]{4}} x = \frac{1}{3};$

2) $\log_{0,5}(3x^2 + 5x - 5) = \log_{0,5}(x + 2);$

3) $\log_4(x - 2) = 1 - \log_4(x + 1);$

4) $\log_3 x + \log_x 27 = 4;$

5) $x^{\log_5 x - 3} = \frac{1}{25};$

6) $x^{\log_5 4} + 4^{\log_5 x} = 128.$

1) $log_8 log_3 log_{\frac{3}{4}} x = \frac{1}{3}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным:

1. $x > 0$
2. $log_{\frac{3}{4}} x > 0$. Так как основание логарифма $\frac{3}{4} < 1$, знак неравенства меняется: $x < (\frac{3}{4})^0 \implies x < 1$.
3. $log_3(log_{\frac{3}{4}} x) > 0$. Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется: $log_{\frac{3}{4}} x > 3^0 \implies log_{\frac{3}{4}} x > 1$. Опять меняем знак, так как основание $\frac{3}{4} < 1$: $x < (\frac{3}{4})^1 \implies x < \frac{3}{4}$.

Объединяя все условия ($x > 0$, $x < 1$, $x < \frac{3}{4}$), получаем ОДЗ: $0 < x < \frac{3}{4}$.

Решаем уравнение, последовательно избавляясь от логарифмов по определению $log_a b = c \iff a^c = b$:

$log_3(log_{\frac{3}{4}} x) = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$

$log_{\frac{3}{4}} x = 3^2 = 9$

$x = (\frac{3}{4})^9$

Полученное значение $x = (\frac{3}{4})^9$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < \frac{3}{4} < 1 \implies 0 < (\frac{3}{4})^9 < \frac{3}{4}$.

Ответ: $(\frac{3}{4})^9$.

2) $log_{0.5}(3x^2 + 5x - 5) = log_{0.5}(x + 2)$

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$\begin{cases} 3x^2 + 5x - 5 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства: $x > -2$.

Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$3x^2 + 5x - 5 = x + 2$

$3x^2 + 4x - 7 = 0$

Это квадратное уравнение. Так как сумма коэффициентов $3 + 4 - 7 = 0$, то один корень $x_1 = 1$. Второй корень по теореме Виета $x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{7}{3}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ:

- Для $x_1 = 1$: $1 + 2 = 3 > 0$ и $3(1)^2 + 5(1) - 5 = 3 > 0$. Корень подходит.
- Для $x_2 = -\frac{7}{3} \approx -2.33$: $-\frac{7}{3} + 2 = -\frac{1}{3} < 0$. Корень не удовлетворяет условию $x + 2 > 0$ и является посторонним.

Ответ: 1.

3) $log_4(x - 2) = 1 - log_4(x + 1)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \implies x > 2 \\ x + 1 > 0 \implies x > -1 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.

Перенесем логарифм в левую часть и воспользуемся свойством суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(bc)$:

$log_4(x - 2) + log_4(x + 1) = 1$

$log_4((x - 2)(x + 1)) = 1$

По определению логарифма:

$(x - 2)(x + 1) = 4^1$

$x^2 + x - 2x - 2 = 4$

$x^2 - x - 6 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 2$):

- $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 > 2$.
- $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 > 2$.

Ответ: 3.

4) $log_3 x + log_x 27 = 4$

ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используем формулу перехода к новому основанию $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$:

$log_x 27 = \frac{log_3 27}{log_3 x} = \frac{3}{log_3 x}$

Подставим в исходное уравнение:

$log_3 x + \frac{3}{log_3 x} = 4$

Сделаем замену $y = log_3 x$ (при этом $y \neq 0$, так как $x \neq 1$):

$y + \frac{3}{y} = 4$

Умножим обе части на $y$:

$y^2 + 3 = 4y$

$y^2 - 4y + 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 1$, $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1. $log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3$
2. $log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 3; 27.

5) $x^{log_5 x - 3} = \frac{1}{25}$

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 5:

$log_5(x^{log_5 x - 3}) = log_5(\frac{1}{25})$

Используем свойство логарифма степени $log_a(b^c) = c \cdot log_a b$:

$(log_5 x - 3) \cdot log_5 x = log_5(5^{-2})$

$(log_5 x - 3) \cdot log_5 x = -2$

Сделаем замену $y = log_5 x$:

$(y - 3)y = -2$

$y^2 - 3y + 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 1$, $y_2 = 2$.

Выполним обратную замену:

1. $log_5 x = 1 \implies x = 5^1 = 5$
2. $log_5 x = 2 \implies x = 5^2 = 25$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 5; 25.

6) $x^{log_5 4} + 4^{log_5 x} = 128$

ОДЗ: $x > 0$.

Воспользуемся свойством логарифма $a^{log_b c} = c^{log_b a}$. Тогда $x^{log_5 4} = 4^{log_5 x}$.

Уравнение примет вид:

$4^{log_5 x} + 4^{log_5 x} = 128$

$2 \cdot 4^{log_5 x} = 128$

$4^{log_5 x} = 64$

Представим 64 как степень 4: $64 = 4^3$.

$4^{log_5 x} = 4^3$

Приравниваем показатели степени:

$log_5 x = 3$

$x = 5^3 = 125$

Корень $x = 125$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 125.

Самостоятельная работа № 7

Логарифмические неравенства

Решите неравенство:

1) $\log_3(3x - 8) > \log_3(7 - 2x)$

2) $\log_{\frac{1}{4}}(x - 2) > \log_{\frac{1}{4}}(x^2 - 3x + 1)$

3) $\log_{0,3}(x - 2) + \log_{0,3}(x - 3) \ge \log_{0,3}(x + 1)$

4) $\log^2_{0,2}(-x) + 0,5\log_{0,2} x^6 \le 4$

5) $\log_{4x}(x^2 + 2x - 3) < 1$

1) $\log_3(3x - 8) > \log_3(7 - 2x)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 3x - 8 > 0 \\ 7 - 2x > 0 \end{cases}$

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x > 8 \\ 2x < 7 \end{cases} \implies \begin{cases} x > \frac{8}{3} \\ x < \frac{7}{2} \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (\frac{8}{3}; \frac{7}{2})$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y=\log_3(t)$ является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$3x - 8 > 7 - 2x$

$3x + 2x > 7 + 8$

$5x > 15$

$x > 3$

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x \in (\frac{8}{3}; \frac{7}{2}) \cap (3; +\infty)$.

Так как $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$ и $\frac{7}{2} = 3.5$, то пересечением является интервал $(3; 3.5)$.

Ответ: $(3; 3.5)$

2) $\log_{\frac{1}{4}}(x - 2) > \log_{\frac{1}{4}}(x^2 - 3x + 1)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x^2 - 3x + 1 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x > 2$.

Для второго неравенства найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 1 = 0$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $x^2 - 3x + 1 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; \frac{3 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; +\infty)$.

Объединим условия ОДЗ: $x > 2$ и $x \in (-\infty; \frac{3 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; +\infty)$.

Оценим значение $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$. Так как $2 < \sqrt{5} < 3$, то $5 < 3 + \sqrt{5} < 6$, и $2.5 < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} < 3$. Учитывая, что $x>2$, общим решением для ОДЗ будет $x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$.

ОДЗ: $x \in (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; +\infty)$.

Решим неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{4} < 1$, поэтому функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 2 < x^2 - 3x + 1$

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1, x_2 = 3$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x \in (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}; +\infty) \cap ((-\infty; 1) \cup (3; +\infty))$.

Так как $2.5 < \frac{3 + \sqrt{5}}{2} < 3$, пересечением является интервал $(3; +\infty)$.

Ответ: $(3; +\infty)$

3) $\log_{0.3}(x - 2) + \log_{0.3}(x - 3) \ge \log_{0.3}(x + 1)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x - 3 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 3 \\ x > -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x > 3$. ОДЗ: $x \in (3; +\infty)$.

Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$.

$\log_{0.3}((x - 2)(x - 3)) \ge \log_{0.3}(x + 1)$

Основание логарифма $0.3 < 1$, поэтому функция убывающая. Меняем знак неравенства:

$(x - 2)(x - 3) \le x + 1$

$x^2 - 5x + 6 \le x + 1$

$x^2 - 6x + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1, x_2 = 5$.

Решение квадратного неравенства: $x \in [1; 5]$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ: $x \in [1; 5] \cap (3; +\infty)$.

Пересечением является полуинтервал $(3; 5]$.

Ответ: $(3; 5]$

4) $\log_{0.2}^2(-x) + 0.5 \log_{0.2}(x^6) \le 4$

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительны:

$\begin{cases} -x > 0 \\ x^6 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0)$.

Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a|b|$ для четной степени $c$:

$\log_{0.2}(x^6) = 6 \log_{0.2}(|x|)$.

Так как по ОДЗ $x < 0$, то $|x| = -x$.

$\log_{0.2}(x^6) = 6 \log_{0.2}(-x)$.

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_{0.2}^2(-x) + 0.5 \cdot (6 \log_{0.2}(-x)) \le 4$

$\log_{0.2}^2(-x) + 3 \log_{0.2}(-x) - 4 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0.2}(-x)$.

$t^2 + 3t - 4 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 3t - 4 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = -4, t_2 = 1$.

Решение квадратного неравенства: $t \in [-4; 1]$.

Вернемся к исходной переменной:

$-4 \le \log_{0.2}(-x) \le 1$

Это равносильно системе:

$\begin{cases} \log_{0.2}(-x) \ge -4 \\ \log_{0.2}(-x) \le 1 \end{cases}$

Основание $0.2 < 1$, поэтому при потенцировании знаки неравенств меняются:

$\begin{cases} -x \le (0.2)^{-4} \\ -x \ge (0.2)^1 \end{cases} \implies \begin{cases} -x \le (\frac{1}{5})^{-4} \\ -x \ge 0.2 \end{cases} \implies \begin{cases} -x \le 5^4 \\ x \le -0.2 \end{cases} \implies \begin{cases} -x \le 625 \\ x \le -0.2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -625 \\ x \le -0.2 \end{cases}$

Решение: $x \in [-625; -0.2]$.

Данное решение полностью входит в ОДЗ $x \in (-\infty; 0)$.

Ответ: $[-625; -0.2]$

5) $\log_{4x}(x^2 + 2x - 3) < 1$

Это неравенство с переменным основанием. Найдем ОДЗ, которое состоит из трех условий:

1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $x^2 + 2x - 3 > 0$.
Корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$ равны $x_1=1, x_2=-3$. Неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

2. Основание логарифма должно быть положительно: $4x > 0$, откуда $x > 0$.

3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $4x \neq 1$, откуда $x \neq \frac{1}{4}$.

Пересекая все три условия ($x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$, $x > 0$ и $x \neq \frac{1}{4}$), получаем итоговую ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

Рассмотрим неравенство на ОДЗ. Так как $x > 1$, основание $4x > 4$. Следовательно, основание $4x > 1$, и логарифмическая функция является возрастающей.

Представим 1 как логарифм по основанию $4x$: $1 = \log_{4x}(4x)$.

$\log_{4x}(x^2 + 2x - 3) < \log_{4x}(4x)$

Так как функция возрастающая, переходим к неравенству для аргументов, сохраняя знак:

$x^2 + 2x - 3 < 4x$

$x^2 - 2x - 3 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни $x_1 = 3, x_2 = -1$.

Решение квадратного неравенства: $x \in (-1; 3)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$x \in (-1; 3) \cap (1; +\infty)$

Пересечением является интервал $(1; 3)$.

Ответ: $(1; 3)$