Страница 49 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 21

Случайная величина

1. По таблице распределения вероятностей случайной величины $x$ найдите значение переменной $a$.

1)

2)

2. Дана таблица распределения вероятностей случайной величины $x$.

Найдите:

1) $P(x = 7)$;

2) $P(x = 5)$;

3) $P(x \ge 10)$;

4) $P(x < 8)$;

5) $P(8 \le x < 19)$.

3. Игральный кубик подбрасывают дважды. Случайная величина $x$ равна количеству выпавших при этом троек, а случайная величина $y$ равна $-1$, если при первом подбрасывании выпала тройка, и $1$ в противном случае.

Найдите:

1) распределение случайной величины $x$;

2) распределение случайной величины $y$;

3) распределение случайной величины $z = x + y$.

1.

1) Сумма всех вероятностей в таблице распределения должна быть равна 1. Составим и решим уравнение:
$0,16 + 0,16 + 3a + 0,16 + a = 1$
$0,48 + 4a = 1$
$4a = 1 - 0,48$
$4a = 0,52$
$a = 0,52 / 4$
$a = 0,13$
Ответ: $a = 0,13$.

2) Сумма всех вероятностей, выраженных в процентах, должна быть равна 100%. Составим и решим уравнение:
$17 + 12 + 29 + 19 + a + 23 = 100$
$100 + a = 100$
$a = 100 - 100$
$a = 0$
Ответ: $a = 0$.

2.

1) P(x = 7)
Вероятность того, что случайная величина $x$ примет значение 7, находим прямо из таблицы.
Ответ: $P(x=7) = 24\%$.

2) P(x = 5)
Значение 5 отсутствует в таблице возможных значений случайной величины $x$, следовательно, это невозможное событие.
Ответ: $P(x=5) = 0\%$.

3) P(x ≥ 10)
Это событие происходит, когда $x$ принимает значения 10, 16 или 19. Суммируем их вероятности:
$P(x \ge 10) = P(x=10) + P(x=16) + P(x=19) = 6\% + 7\% + 13\% = 26\%$
Ответ: $P(x \ge 10) = 26\%$.

4) P(x < 8)
Это событие происходит, когда $x$ принимает значения 1 или 7. Суммируем их вероятности:
$P(x < 8) = P(x=1) + P(x=7) = 11\% + 24\% = 35\%$
Ответ: $P(x < 8) = 35\%$.

5) P(8 ≤ x < 19)
Это событие происходит, когда $x$ принимает значения 8, 10 или 16 (значение 19 не включается). Суммируем их вероятности:
$P(8 \le x < 19) = P(x=8) + P(x=10) + P(x=16) = 39\% + 6\% + 7\% = 52\%$
Ответ: $P(8 \le x < 19) = 52\%$.

3.

Вероятность выпадения тройки при одном броске кубика $P(3) = 1/6$.
Вероятность невыпадения тройки $P(\text{не } 3) = 5/6$.

1) распределение случайной величины x;
Случайная величина $x$ — количество выпавших троек при двух бросках. Возможные значения $x$: 0, 1, 2.
$P(x=0)$ (троек не выпало): $P(\text{не } 3) \cdot P(\text{не } 3) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$
$P(x=1)$ (выпала одна тройка): $P(3) \cdot P(\text{не } 3) + P(\text{не } 3) \cdot P(3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36} + \frac{5}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$
$P(x=2)$ (выпали две тройки): $P(3) \cdot P(3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$
Ответ:

2) распределение случайной величины y;
Случайная величина $y$ равна -1, если при первом броске выпала тройка, и 1 в противном случае. Значение $y$ зависит только от первого броска.
$P(y=-1) = P(\text{на первом броске выпала тройка}) = \frac{1}{6}$
$P(y=1) = P(\text{на первом броске не выпала тройка}) = \frac{5}{6}$
Ответ:

3) распределение случайной величины z = x + y.
Рассмотрим все возможные исходы двух бросков и соответствующие значения $x$, $y$ и $z$. Обозначим "3" - выпала тройка, "Н" - не выпала тройка.

• Исход (3, 3): Вероятность $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$. Здесь $x=2$, $y=-1$. Тогда $z = 2 + (-1) = 1$.
• Исход (3, Н): Вероятность $\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$. Здесь $x=1$, $y=-1$. Тогда $z = 1 + (-1) = 0$.
• Исход (Н, 3): Вероятность $\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$. Здесь $x=1$, $y=1$. Тогда $z = 1 + 1 = 2$.
• Исход (Н, Н): Вероятность $\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$. Здесь $x=0$, $y=1$. Тогда $z = 0 + 1 = 1$.

Теперь найдем вероятности для каждого возможного значения $z$:
$P(z=0)$: Это происходит только при исходе (3, Н). $P(z=0) = \frac{5}{36}$.
$P(z=1)$: Это происходит при исходах (3, 3) и (Н, Н). $P(z=1) = \frac{1}{36} + \frac{25}{36} = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$.
$P(z=2)$: Это происходит только при исходе (Н, 3). $P(z=2) = \frac{5}{36}$.
Ответ: