Страница 50 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Схема Бернулли. Биномиальное распределение

1. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна $\frac{4}{5}$. Какова вероятность того, что в семи выстрелах будет сделано четыре промаха?

2. Игральный кубик бросают восемь раз. Какова вероятность того, что простое число, кратное трём, выпадет:

1) не более двух раз;

2) больше шести раз?

3. Случайная величина $z$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n = 4$ и $p = 0,3$. Найдите $P(2 \le z < 4)$.

1. Это задача на применение схемы Бернулли. Пусть событие "успех" — это промах, а "неудача" — попадание. Всего проводится $n=7$ независимых испытаний (выстрелов). Требуется найти вероятность того, что произойдет ровно $k=4$ "успеха" (промаха).
Вероятность попадания в мишень равна $4/5$.
Следовательно, вероятность промаха ("успеха") в одном испытании составляет $p = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
Вероятность попадания ("неудачи") в одном испытании составляет $q = \frac{4}{5}$.
Формула Бернулли для $k$ успехов в $n$ испытаниях: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.
Подставим наши значения: $n=7, k=4, p=1/5, q=4/5$.
$P_7(4) = C_7^4 (\frac{1}{5})^4 (\frac{4}{5})^{7-4} = C_7^4 (\frac{1}{5})^4 (\frac{4}{5})^3$.
Вычислим биномиальный коэффициент: $C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.
Теперь вычислим вероятность:
$P_7(4) = 35 \cdot \frac{1^4}{5^4} \cdot \frac{4^3}{5^3} = 35 \cdot \frac{1}{625} \cdot \frac{64}{125} = \frac{35 \cdot 64}{625 \cdot 125} = \frac{2240}{78125}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{2240}{78125} = \frac{448}{15625}$.
Ответ: $P_7(4) = \frac{448}{15625}$.

2. В данной задаче также применяется схема Бернулли. Общее число испытаний (бросков кубика) $n=8$.
Найдем вероятность "успеха" в одном испытании. Успехом считается выпадение "простого числа, кратного трём".
Возможные исходы при броске кубика: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Простые числа среди них: $\{2, 3, 5\}$.
Числа, кратные трём: $\{3, 6\}$.
Число, которое является и простым, и кратным трём, только одно — это 3.
Таким образом, вероятность "успеха" (выпадения числа 3) в одном броске равна $p = \frac{1}{6}$.
Вероятность "неудачи" (выпадения любого другого числа) равна $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

1) не более двух раз;
Это означает, что искомое событие произойдет 0, 1 или 2 раза. Пусть $k$ — количество выпадений числа 3. Нам нужно найти $P(k \le 2) = P_8(0) + P_8(1) + P_8(2)$.
Используем формулу Бернулли $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$:
$P_8(0) = C_8^0 (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^8 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{5^8}{6^8} = \frac{390625}{1679616}$.
$P_8(1) = C_8^1 (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^7 = 8 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5^7}{6^7} = \frac{8 \cdot 5^7}{6^8} = \frac{8 \cdot 78125}{1679616} = \frac{625000}{1679616}$.
$P_8(2) = C_8^2 (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^6 = \frac{8 \cdot 7}{2} \cdot \frac{1}{6^2} \cdot \frac{5^6}{6^6} = \frac{28 \cdot 5^6}{6^8} = \frac{28 \cdot 15625}{1679616} = \frac{437500}{1679616}$.
Суммируем вероятности:
$P(k \le 2) = \frac{390625 + 625000 + 437500}{1679616} = \frac{1453125}{1679616}$.
Сократим дробь на 3: $1453125 / 3 = 484375$; $1679616 / 3 = 559872$.
$P(k \le 2) = \frac{484375}{559872}$.
Ответ: $\frac{484375}{559872}$.

2) больше шести раз?
Это означает, что искомое событие произойдет 7 или 8 раз. Нам нужно найти $P(k > 6) = P_8(7) + P_8(8)$.
$P_8(7) = C_8^7 (\frac{1}{6})^7 (\frac{5}{6})^1 = 8 \cdot \frac{1}{6^7} \cdot \frac{5}{6} = \frac{40}{6^8} = \frac{40}{1679616}$.
$P_8(8) = C_8^8 (\frac{1}{6})^8 (\frac{5}{6})^0 = 1 \cdot \frac{1}{6^8} \cdot 1 = \frac{1}{6^8} = \frac{1}{1679616}$.
Суммируем вероятности:
$P(k > 6) = \frac{40}{1679616} + \frac{1}{1679616} = \frac{41}{1679616}$.
Ответ: $\frac{41}{1679616}$.

3. Случайная величина $z$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n=4$ (число испытаний) и $p=0,3$ (вероятность успеха в одном испытании). Вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0,3 = 0,7$.
Нужно найти $P(2 \le z < 4)$. Так как $z$ — дискретная величина (принимает целые значения от 0 до $n$), это условие означает, что $z$ может принимать значения 2 или 3.
Таким образом, искомая вероятность равна $P(z=2) + P(z=3)$.
Вероятность для биномиального распределения вычисляется по формуле: $P(z=k) = C_n^k p^k q^{n-k}$.
Вычислим $P(z=2)$:
$P(z=2) = C_4^2 (0,3)^2 (0,7)^{4-2} = \frac{4!}{2!2!} \cdot (0,3)^2 \cdot (0,7)^2 = 6 \cdot 0,09 \cdot 0,49 = 0,2646$.
Вычислим $P(z=3)$:
$P(z=3) = C_4^3 (0,3)^3 (0,7)^{4-3} = \frac{4!}{3!1!} \cdot (0,3)^3 \cdot (0,7)^1 = 4 \cdot 0,027 \cdot 0,7 = 0,0756$.
Теперь сложим эти вероятности:
$P(2 \le z < 4) = P(z=2) + P(z=3) = 0,2646 + 0,0756 = 0,3402$.
Ответ: 0,3402.

Самостоятельная работа № 23

Характеристики случайной величины

1. В коробке лежат 5 красных и 7 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 4 шара и записывают количество вынутых красных шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

2. Случайная величина $x$ имеет следующее распределение вероятностей.

Значение $x$: 1, 6, 8

Вероятность, %: 40, 15, 45

Найдите:

1) математическое ожидание;

2) дисперсию;

3) стандартное отклонение;

4) среднее абсолютное отклонение.

1.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству вынутых красных шаров. Общее количество шаров в коробке $N = 5 \text{ (красных)} + 7 \text{ (синих)} = 12$. Количество красных шаров $K = 5$. Всего вынимают $n = 4$ шара.

Рассматриваемая случайная величина имеет гипергеометрическое распределение. Математическое ожидание для такого распределения можно найти по формуле, которая отражает среднее ожидаемое число "успехов" (в данном случае, выбор красного шара) в выборке.

Формула для математического ожидания: $E(X) = n \cdot \frac{K}{N}$ где $n$ — размер выборки, $K$ — количество "успешных" исходов в совокупности, $N$ — размер совокупности.

Подставим наши значения в формулу: $E(X) = 4 \cdot \frac{5}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Таким образом, математическое ожидание количества вынутых красных шаров составляет $5/3$.
Ответ: $5/3$

2.

Для решения задачи сначала переведем вероятности из процентов в доли единицы:

• $P(x=1) = 40\% = 0.4$
• $P(x=6) = 15\% = 0.15$
• $P(x=8) = 45\% = 0.45$

Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $0.4 + 0.15 + 0.45 = 1$.

1) математическое ожидание

Математическое ожидание $E(x)$ для дискретной случайной величины вычисляется по формуле: $E(x) = \sum_{i} x_i p_i$ $E(x) = (1 \cdot 0.4) + (6 \cdot 0.15) + (8 \cdot 0.45) = 0.4 + 0.9 + 3.6 = 4.9$
Ответ: $4.9$

2) дисперсию

Дисперсия $D(x)$ характеризует разброс значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Формула для вычисления: $D(x) = E(x^2) - [E(x)]^2$.
Сначала найдем $E(x^2)$: $E(x^2) = \sum_{i} x_i^2 p_i = (1^2 \cdot 0.4) + (6^2 \cdot 0.15) + (8^2 \cdot 0.45)$ $E(x^2) = (1 \cdot 0.4) + (36 \cdot 0.15) + (64 \cdot 0.45) = 0.4 + 5.4 + 28.8 = 34.6$
Теперь вычислим дисперсию: $D(x) = E(x^2) - [E(x)]^2 = 34.6 - (4.9)^2 = 34.6 - 24.01 = 10.59$
Ответ: $10.59$

3) стандартное отклонение

Стандартное (или среднеквадратическое) отклонение $\sigma(x)$ является мерой разброса, равной квадратному корню из дисперсии. $\sigma(x) = \sqrt{D(x)}$ $\sigma(x) = \sqrt{10.59} \approx 3.254$
Ответ: $\approx 3.254$

4) среднее абсолютное отклонение

Среднее абсолютное отклонение $MAD(x)$ — это среднее значение абсолютных отклонений от математического ожидания. $MAD(x) = \sum_{i} |x_i - E(x)| p_i$
Мы знаем, что $E(x) = 4.9$. $MAD(x) = |1 - 4.9| \cdot 0.4 + |6 - 4.9| \cdot 0.15 + |8 - 4.9| \cdot 0.45$ $MAD(x) = 3.9 \cdot 0.4 + 1.1 \cdot 0.15 + 3.1 \cdot 0.45$ $MAD(x) = 1.56 + 0.165 + 1.395 = 3.12$
Ответ: $3.12$