Номер 23, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 23

Характеристики случайной величины

1. В коробке лежат 5 красных и 7 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 4 шара и записывают количество вынутых красных шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

2. Случайная величина $x$ имеет следующее распределение вероятностей.

Значение $x$: 1, 6, 8

Вероятность, %: 40, 15, 45

Найдите:

1) математическое ожидание;

2) дисперсию;

3) стандартное отклонение;

4) среднее абсолютное отклонение.

1.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству вынутых красных шаров. Общее количество шаров в коробке $N = 5 \text{ (красных)} + 7 \text{ (синих)} = 12$. Количество красных шаров $K = 5$. Всего вынимают $n = 4$ шара.

Рассматриваемая случайная величина имеет гипергеометрическое распределение. Математическое ожидание для такого распределения можно найти по формуле, которая отражает среднее ожидаемое число "успехов" (в данном случае, выбор красного шара) в выборке.

Формула для математического ожидания: $E(X) = n \cdot \frac{K}{N}$ где $n$ — размер выборки, $K$ — количество "успешных" исходов в совокупности, $N$ — размер совокупности.

Подставим наши значения в формулу: $E(X) = 4 \cdot \frac{5}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Таким образом, математическое ожидание количества вынутых красных шаров составляет $5/3$.
Ответ: $5/3$

2.

Для решения задачи сначала переведем вероятности из процентов в доли единицы:

• $P(x=1) = 40\% = 0.4$
• $P(x=6) = 15\% = 0.15$
• $P(x=8) = 45\% = 0.45$

Проверим, что сумма вероятностей равна 1: $0.4 + 0.15 + 0.45 = 1$.

1) математическое ожидание

Математическое ожидание $E(x)$ для дискретной случайной величины вычисляется по формуле: $E(x) = \sum_{i} x_i p_i$ $E(x) = (1 \cdot 0.4) + (6 \cdot 0.15) + (8 \cdot 0.45) = 0.4 + 0.9 + 3.6 = 4.9$
Ответ: $4.9$

2) дисперсию

Дисперсия $D(x)$ характеризует разброс значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Формула для вычисления: $D(x) = E(x^2) - [E(x)]^2$.
Сначала найдем $E(x^2)$: $E(x^2) = \sum_{i} x_i^2 p_i = (1^2 \cdot 0.4) + (6^2 \cdot 0.15) + (8^2 \cdot 0.45)$ $E(x^2) = (1 \cdot 0.4) + (36 \cdot 0.15) + (64 \cdot 0.45) = 0.4 + 5.4 + 28.8 = 34.6$
Теперь вычислим дисперсию: $D(x) = E(x^2) - [E(x)]^2 = 34.6 - (4.9)^2 = 34.6 - 24.01 = 10.59$
Ответ: $10.59$

3) стандартное отклонение

Стандартное (или среднеквадратическое) отклонение $\sigma(x)$ является мерой разброса, равной квадратному корню из дисперсии. $\sigma(x) = \sqrt{D(x)}$ $\sigma(x) = \sqrt{10.59} \approx 3.254$
Ответ: $\approx 3.254$

4) среднее абсолютное отклонение

Среднее абсолютное отклонение $MAD(x)$ — это среднее значение абсолютных отклонений от математического ожидания. $MAD(x) = \sum_{i} |x_i - E(x)| p_i$
Мы знаем, что $E(x) = 4.9$. $MAD(x) = |1 - 4.9| \cdot 0.4 + |6 - 4.9| \cdot 0.15 + |8 - 4.9| \cdot 0.45$ $MAD(x) = 3.9 \cdot 0.4 + 1.1 \cdot 0.15 + 3.1 \cdot 0.45$ $MAD(x) = 1.56 + 0.165 + 1.395 = 3.12$
Ответ: $3.12$