Номер 5, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

5. При каких значениях параметра $a$ уравнение $25^x - (a - 4) \cdot 5^x - 2a^2 + 10a - 12 = 0$ не имеет действительных корней?

Данное уравнение $25^x - (a-4) \cdot 5^x - 2a^2 + 10a - 12 = 0$ является показательным. Заметим, что $25^x = (5^x)^2$. Сделаем замену переменной.

Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения, то на новую переменную $t$ накладывается ограничение $t > 0$.

После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$:$t^2 - (a-4)t - (2a^2 - 10a + 12) = 0$.

Исходное уравнение не имеет действительных корней $x$ тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение не имеет положительных корней $t$. Это возможно в двух случаях:

1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней.
2. Квадратное уравнение имеет действительные корни, но все они неположительны (т.е. $t \le 0$).

Рассмотрим эти случаи. Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения:$D = (-(a-4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a^2 + 10a - 12) = (a-4)^2 + 8a^2 - 40a + 48$$D = a^2 - 8a + 16 + 8a^2 - 40a + 48 = 9a^2 - 48a + 64$

Заметим, что выражение для дискриминанта является полным квадратом:$9a^2 - 48a + 64 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 8 + 8^2 = (3a-8)^2$.

Так как $D = (3a-8)^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни. Следовательно, первый случай невозможен.

Значит, исходное уравнение не будет иметь корней, если все корни квадратного уравнения относительно $t$ неположительны. Найдем эти корни $t_1$ и $t_2$:$t = \frac{(a-4) \pm \sqrt{(3a-8)^2}}{2} = \frac{(a-4) \pm (3a-8)}{2}$

$t_1 = \frac{a-4 + 3a-8}{2} = \frac{4a-12}{2} = 2a-6$

$t_2 = \frac{a-4 - (3a-8)}{2} = \frac{a-4 - 3a+8}{2} = \frac{-2a+4}{2} = 2-a$

Чтобы исходное уравнение не имело решений, оба корня $t_1$ и $t_2$ должны быть неположительными. Составим и решим систему неравенств:$\begin{cases} t_1 \le 0 \\ t_2 \le 0 \end{cases}$$\begin{cases} 2a-6 \le 0 \\ 2-a \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:$2a \le 6$$a \le 3$

Решим второе неравенство:$2 \le a$$a \ge 2$

Пересечением решений этих двух неравенств является отрезок $2 \le a \le 3$. Таким образом, при $a \in [2, 3]$ уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $a \in [2, 3]$.