Номер 6, страница 53 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

6. Найдите множество решений неравенства

$\log_{0,5}^2 x - \log_{0,5} x - 2 \ge 0.$

Решим неравенство $ \log_{0,5}^2 x - \log_{0,5} x - 2 \ge 0 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$.

Данное неравенство является квадратным относительно $ \log_{0,5} x $. Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \log_{0,5} x $. Тогда неравенство примет вид:

$$ t^2 - t - 2 \ge 0 $$

Найдем корни квадратного трехчлена $ t^2 - t - 2 = 0 $. По теореме Виета, корни уравнения равны $ t_1 = -1 $ и $ t_2 = 2 $.

Разложим левую часть неравенства на множители: $ (t - (-1))(t - 2) \ge 0 $, что равносильно $ (t+1)(t-2) \ge 0 $.

Решением этого неравенства является объединение двух промежутков: $ t \le -1 $ или $ t \ge 2 $.

Теперь выполним обратную замену, подставив $ \log_{0,5} x $ вместо $t$. Получим совокупность двух неравенств:

$$ \begin{bmatrix} \log_{0,5} x \le -1 \\ \log_{0,5} x \ge 2 \end{bmatrix} $$

Решим первое неравенство: $ \log_{0,5} x \le -1 $.

Представим $-1$ как логарифм по основанию $0,5$: $ -1 = \log_{0,5}(0,5^{-1}) = \log_{0,5} 2 $.

Неравенство примет вид: $ \log_{0,5} x \le \log_{0,5} 2 $.

Так как основание логарифма $ 0,5 $ находится в интервале $ (0; 1) $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$$ x \ge 2 $$

Решим второе неравенство: $ \log_{0,5} x \ge 2 $.

Представим $2$ как логарифм по основанию $0,5$: $ 2 = \log_{0,5}(0,5^2) = \log_{0,5} 0,25 $.

Неравенство примет вид: $ \log_{0,5} x \ge \log_{0,5} 0,25 $.

Снова меняем знак неравенства, так как основание меньше единицы:

$$ x \le 0,25 $$

Мы получили, что решение исходного неравенства — это совокупность $ x \ge 2 $ и $ x \le 0,25 $.

Учитывая ОДЗ ($ x > 0 $), получаем окончательное множество решений:

Для $ x \ge 2 $: условие $x>0$ выполняется, следовательно, решением является $ [2; +\infty) $.

Для $ x \le 0,25 $: с учетом ОДЗ $x>0$, решением является $ (0; 0,25] $.

Объединяя эти два промежутка, получаем итоговое решение.

Ответ: $ x \in (0; 0,25] \cup [2; +\infty) $.