Номер 4, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Решите неравенство:

1) $0,1^{\frac{x^2 - 4x - 15}{x+1}} \ge 0,001$;

2) $0,5^{2x - 3} - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0.$

1) Решим показательное неравенство $0,1^{\frac{x^2 - 4x - 15}{x + 1}} \ge 0,001$.

Для начала приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $0,1 = 10^{-1}$ и $0,001 = 10^{-3}$.

Подставим эти значения в неравенство:

$(10^{-1})^{\frac{x^2 - 4x - 15}{x + 1}} \ge 10^{-3}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$10^{-\frac{x^2 - 4x - 15}{x + 1}} \ge 10^{-3}$

Так как основание степени $10 > 1$, функция $y=10^t$ является возрастающей. Поэтому при сравнении показателей степени знак неравенства сохраняется:

$-\frac{x^2 - 4x - 15}{x + 1} \ge -3$

Умножим обе части на -1, не забыв поменять знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2 - 4x - 15}{x + 1} \le 3$

Теперь решим полученное рациональное неравенство. Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 - 4x - 15}{x + 1} - 3 \le 0$

$\frac{x^2 - 4x - 15 - 3(x + 1)}{x + 1} \le 0$

$\frac{x^2 - 4x - 15 - 3x - 3}{x + 1} \le 0$

$\frac{x^2 - 7x - 18}{x + 1} \le 0$

Для решения используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x^2 - 7x - 18 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -2$.

Нуль знаменателя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Эта точка не входит в область допустимых значений (ОДЗ).

Отметим точки -2, -1, 9 на числовой оси. Точки -2 и 9, являющиеся корнями числителя, будут включены в решение (закрашены), а точка -1, корень знаменателя, будет исключена (выколота).

Определим знаки выражения $\frac{(x+2)(x-9)}{x+1}$ на полученных интервалах:

• При $x > 9$ (например, $x=10$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$
• При $x \in (-1, 9)$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$
• При $x \in (-2, -1)$ (например, $x=-1.5$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty, -2]$ и $(-1, 9]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 9]$.

2) Решим неравенство $0,5^{2x-3} - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0$.

Преобразуем первое слагаемое, используя свойства степеней:

$0,5^{2x-3} = 0,5^{2x} \cdot 0,5^{-3} = (0,5^x)^2 \cdot (\frac{1}{2})^{-3} = (0,5^x)^2 \cdot 2^3 = 8 \cdot (0,5^x)^2$.

Неравенство принимает вид:

$8 \cdot (0,5^x)^2 - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0$.

Это неравенство является квадратным относительно $0,5^x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 0,5^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$8t^2 - 17t + 2 \le 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $8t^2 - 17t + 2 = 0$ через дискриминант:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 8} = \frac{17 - 15}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

$t_2 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 8} = \frac{17 + 15}{16} = \frac{32}{16} = 2$.

Парабола $y = 8t^2 - 17t + 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неположительные значения между своими корнями. Таким образом, решение неравенства для $t$:

$\frac{1}{8} \le t \le 2$.

Оба значения $t_1$ и $t_2$ положительны, что соответствует условию $t > 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $t = 0,5^x$:

$\frac{1}{8} \le 0,5^x \le 2$.

Приведем все части двойного неравенства к основанию 0,5:

$\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3 = 0,5^3$

$2 = \frac{1}{1/2} = (\frac{1}{2})^{-1} = 0,5^{-1}$

Получаем неравенство:

$0,5^3 \le 0,5^x \le 0,5^{-1}$.

Так как основание степени $0,5$ находится в интервале $(0, 1)$, функция $y=0,5^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степени знаки неравенства меняются на противоположные:

$3 \ge x \ge -1$.

Запишем ответ в стандартном виде:

$-1 \le x \le 3$.

Ответ: $x \in [-1, 3]$.