Страница 52 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = 9^{\sin x}$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = 9^{\sin x}$, необходимо рассмотреть область значений показателя степени, то есть $\sin x$, и учесть свойства показательной функции.

1. Область значений синуса. Функция $f(x) = \sin x$ принимает значения в отрезке $[-1, 1]$. Таким образом, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство:
$-1 \le \sin x \le 1$.

2. Свойства показательной функции. Функция $g(t) = 9^t$ имеет основание $a=9$. Так как основание больше единицы ($9 > 1$), эта функция является монотонно возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $t$ соответствует большее значение функции $g(t)$, а меньшему значению аргумента — меньшее.

Сопоставив эти два факта, мы можем найти экстремальные значения для функции $y = 9^{\sin x}$.

Наибольшее значение
Наибольшее значение функции $y$ достигается при наибольшем значении показателя степени $\sin x$. Максимальное значение $\sin x$ равно 1. Подставим его в функцию:
$y_{наиб} = 9^1 = 9$.
Ответ: 9.

Наименьшее значение
Наименьшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении показателя степени $\sin x$. Минимальное значение $\sin x$ равно -1. Подставим его в функцию:
$y_{наим} = 9^{-1} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

2. Решите уравнение:

1) $5^{x+1} - 3 \cdot 5^x = 250$;

2) $4^x - 3 \cdot 2^x = 40$.

1) $5^{x+1} - 3 \cdot 5^x = 250$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для преобразования первого слагаемого:

$5^x \cdot 5^1 - 3 \cdot 5^x = 250$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x(5 - 3) = 250$

Выполним вычитание в скобках:

$5^x \cdot 2 = 250$

Разделим обе части уравнения на 2:

$5^x = \frac{250}{2}$

$5^x = 125$

Представим 125 как степень числа 5:

$5^x = 5^3$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = 3$

Ответ: 3

2) $4^x - 3 \cdot 2^x = 40$

Представим $4^x$ как $(2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2$. Уравнение примет вид:

$(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x = 40$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ всегда положительна, то $t > 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t^2 - 3t = 40$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$t^2 - 3t - 40 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для нахождения корней. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 3$

$t_1 \cdot t_2 = -40$

Подбором находим корни: $t_1 = 8$ и $t_2 = -5$.

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.

Корень $t_1 = 8$ удовлетворяет условию $8 > 0$.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $-5 > 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для корня $t_1 = 8$:

$2^x = 8$

Представим 8 как степень числа 2:

$2^x = 2^3$

Отсюда следует, что $x = 3$.

Ответ: 3

3. Решите уравнение:

1) $(7^x + 3)^{x-4} = \left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^{x+6};$

2) $7 \cdot 49^x + 10 \cdot 28^x = 8 \cdot 16^x;$

3) $(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}})^x + (\sqrt{5 - 2\sqrt{6}})^x = 10.$

1) $(7^x+3)x-4 = \left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^x + 6$

В левой части уравнения, скорее всего, допущена опечатка. Стандартный вид подобных уравнений предполагает, что левая часть является квадратным трехчленом относительно $7^x$. Предположим, что исходное уравнение должно выглядеть так: $7^{2x} + 3 \cdot 7^x - 4 = \left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^x + 6$.
Решим это уравнение.
Сначала преобразуем правую часть уравнения:
$\left(\frac{1}{7}\right)^x \cdot 49^x + 6 = (7^{-1})^x \cdot (7^2)^x + 6 = 7^{-x} \cdot 7^{2x} + 6 = 7^{-x+2x} + 6 = 7^x + 6$.
Теперь уравнение принимает вид:
$7^{2x} + 3 \cdot 7^x - 4 = 7^x + 6$.
Перенесем все члены в левую часть:
$7^{2x} + 3 \cdot 7^x - 7^x - 4 - 6 = 0$
$7^{2x} + 2 \cdot 7^x - 10 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $7^x$. Сделаем замену: пусть $y = 7^x$. Так как $7^x > 0$ для любого $x$, то $y > 0$.
$y^2 + 2y - 10 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 4 + 40 = 44$.
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{11}}{2} = -1 \pm \sqrt{11}$.
Получаем два корня: $y_1 = -1 + \sqrt{11}$ и $y_2 = -1 - \sqrt{11}$.
Условию $y > 0$ удовлетворяет только корень $y_1 = \sqrt{11} - 1$ (так как $\sqrt{11} > \sqrt{9}=3$, то $\sqrt{11}-1>0$).
Вернемся к замене:
$7^x = \sqrt{11} - 1$.
Прологарифмируем обе части по основанию 7:
$x = \log_7(\sqrt{11}-1)$.
Ответ: $x = \log_7(\sqrt{11}-1)$.

2) $7 \cdot 49^x + 10 \cdot 28^x = 8 \cdot 16^x$

Это однородное показательное уравнение. Представим основания степеней через простые множители:
$49 = 7^2$, $28 = 4 \cdot 7$, $16 = 4^2$.
Уравнение примет вид:
$7 \cdot (7^2)^x + 10 \cdot (4 \cdot 7)^x = 8 \cdot (4^2)^x$
$7 \cdot (7^x)^2 + 10 \cdot 4^x \cdot 7^x = 8 \cdot (4^x)^2$.
Разделим обе части уравнения на $(4^x)^2$, которое не равно нулю ни при каком $x$:
$7 \cdot \frac{(7^x)^2}{(4^x)^2} + 10 \cdot \frac{4^x \cdot 7^x}{(4^x)^2} = 8 \cdot \frac{(4^x)^2}{(4^x)^2}$
$7 \cdot \left(\frac{7^x}{4^x}\right)^2 + 10 \cdot \frac{7^x}{4^x} - 8 = 0$
$7 \cdot \left(\left(\frac{7}{4}\right)^x\right)^2 + 10 \cdot \left(\frac{7}{4}\right)^x - 8 = 0$.
Сделаем замену: пусть $y = \left(\frac{7}{4}\right)^x$. Так как основание степени положительно, $y > 0$.
$7y^2 + 10y - 8 = 0$.
Решим квадратное уравнение:
$D = 10^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-8) = 100 + 224 = 324 = 18^2$.
$y_{1,2} = \frac{-10 \pm 18}{14}$.
$y_1 = \frac{-10 + 18}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.
$y_2 = \frac{-10 - 18}{14} = \frac{-28}{14} = -2$.
Условию $y > 0$ удовлетворяет только корень $y_1 = \frac{4}{7}$.
Вернемся к замене:
$\left(\frac{7}{4}\right)^x = \frac{4}{7}$.
Так как $\frac{4}{7} = \left(\frac{7}{4}\right)^{-1}$, то
$\left(\frac{7}{4}\right)^x = \left(\frac{7}{4}\right)^{-1}$.
Отсюда $x = -1$.
Ответ: $x = -1$.

3) $\left(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\right)^x + \left(\sqrt{5-2\sqrt{6}}\right)^x = 10$

Упростим подкоренные выражения, используя формулу квадрата суммы/разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Для $5+2\sqrt{6}$ ищем такие $a$ и $b$, что $a^2+b^2=5$ и $2ab=2\sqrt{6}$, то есть $ab=\sqrt{6}$. Подбором находим, что $a=\sqrt{3}$ и $b=\sqrt{2}$.
$5+2\sqrt{6} = 3+2+2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$.
Аналогично, $5-2\sqrt{6} = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$.
Тогда основания степеней в уравнении равны:
$\sqrt{5+2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}+\sqrt{2}$.
$\sqrt{5-2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$.
Уравнение принимает вид:
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x + (\sqrt{3}-\sqrt{2})^x = 10$.
Заметим, что основания степеней являются взаимно обратными числами:
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$.
Следовательно, $\sqrt{3}-\sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1}$.
Сделаем замену: пусть $y = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^x$. Тогда $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^x = ((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1})^x = y^{-1} = \frac{1}{y}$.
Уравнение сводится к:
$y + \frac{1}{y} = 10$.
Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):
$y^2 + 1 = 10y$
$y^2 - 10y + 1 = 0$.
Решим это квадратное уравнение:
$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 100 - 4 = 96$.
$y_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}$.
Получаем два случая:
1. $y = 5 + 2\sqrt{6}$. Вернемся к замене: $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = 5+2\sqrt{6}$.
Так как $5+2\sqrt{6} = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$, то $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$, откуда $x=2$.
2. $y = 5 - 2\sqrt{6}$. Вернемся к замене: $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = 5-2\sqrt{6}$.
Так как $5-2\sqrt{6} = (\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = ((\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-1})^2 = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-2}$, то $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^x = (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{-2}$, откуда $x=-2$.
Ответ: $x = \pm 2$.

4. Решите неравенство:

1) $0,1^{\frac{x^2 - 4x - 15}{x+1}} \ge 0,001$;

2) $0,5^{2x - 3} - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0.$

1) Решим показательное неравенство $0,1^{\frac{x^2 - 4x - 15}{x + 1}} \ge 0,001$.

Для начала приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $0,1 = 10^{-1}$ и $0,001 = 10^{-3}$.

Подставим эти значения в неравенство:

$(10^{-1})^{\frac{x^2 - 4x - 15}{x + 1}} \ge 10^{-3}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$10^{-\frac{x^2 - 4x - 15}{x + 1}} \ge 10^{-3}$

Так как основание степени $10 > 1$, функция $y=10^t$ является возрастающей. Поэтому при сравнении показателей степени знак неравенства сохраняется:

$-\frac{x^2 - 4x - 15}{x + 1} \ge -3$

Умножим обе части на -1, не забыв поменять знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2 - 4x - 15}{x + 1} \le 3$

Теперь решим полученное рациональное неравенство. Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 - 4x - 15}{x + 1} - 3 \le 0$

$\frac{x^2 - 4x - 15 - 3(x + 1)}{x + 1} \le 0$

$\frac{x^2 - 4x - 15 - 3x - 3}{x + 1} \le 0$

$\frac{x^2 - 7x - 18}{x + 1} \le 0$

Для решения используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $x^2 - 7x - 18 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -2$.

Нуль знаменателя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Эта точка не входит в область допустимых значений (ОДЗ).

Отметим точки -2, -1, 9 на числовой оси. Точки -2 и 9, являющиеся корнями числителя, будут включены в решение (закрашены), а точка -1, корень знаменателя, будет исключена (выколота).

Определим знаки выражения $\frac{(x+2)(x-9)}{x+1}$ на полученных интервалах:

• При $x > 9$ (например, $x=10$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$
• При $x \in (-1, 9)$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$
• При $x \in (-2, -1)$ (например, $x=-1.5$): $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty, -2]$ и $(-1, 9]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 9]$.

2) Решим неравенство $0,5^{2x-3} - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0$.

Преобразуем первое слагаемое, используя свойства степеней:

$0,5^{2x-3} = 0,5^{2x} \cdot 0,5^{-3} = (0,5^x)^2 \cdot (\frac{1}{2})^{-3} = (0,5^x)^2 \cdot 2^3 = 8 \cdot (0,5^x)^2$.

Неравенство принимает вид:

$8 \cdot (0,5^x)^2 - 17 \cdot 0,5^x + 2 \le 0$.

Это неравенство является квадратным относительно $0,5^x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 0,5^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$8t^2 - 17t + 2 \le 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $8t^2 - 17t + 2 = 0$ через дискриминант:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 8} = \frac{17 - 15}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

$t_2 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 8} = \frac{17 + 15}{16} = \frac{32}{16} = 2$.

Парабола $y = 8t^2 - 17t + 2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает неположительные значения между своими корнями. Таким образом, решение неравенства для $t$:

$\frac{1}{8} \le t \le 2$.

Оба значения $t_1$ и $t_2$ положительны, что соответствует условию $t > 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену $t = 0,5^x$:

$\frac{1}{8} \le 0,5^x \le 2$.

Приведем все части двойного неравенства к основанию 0,5:

$\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3 = 0,5^3$

$2 = \frac{1}{1/2} = (\frac{1}{2})^{-1} = 0,5^{-1}$

Получаем неравенство:

$0,5^3 \le 0,5^x \le 0,5^{-1}$.

Так как основание степени $0,5$ находится в интервале $(0, 1)$, функция $y=0,5^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степени знаки неравенства меняются на противоположные:

$3 \ge x \ge -1$.

Запишем ответ в стандартном виде:

$-1 \le x \le 3$.

Ответ: $x \in [-1, 3]$.

5. При каких значениях параметра $a$ уравнение $25^x - (a - 4) \cdot 5^x - 2a^2 + 10a - 12 = 0$ не имеет действительных корней?

Данное уравнение $25^x - (a-4) \cdot 5^x - 2a^2 + 10a - 12 = 0$ является показательным. Заметим, что $25^x = (5^x)^2$. Сделаем замену переменной.

Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения, то на новую переменную $t$ накладывается ограничение $t > 0$.

После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$:$t^2 - (a-4)t - (2a^2 - 10a + 12) = 0$.

Исходное уравнение не имеет действительных корней $x$ тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение не имеет положительных корней $t$. Это возможно в двух случаях:

1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней.
2. Квадратное уравнение имеет действительные корни, но все они неположительны (т.е. $t \le 0$).

Рассмотрим эти случаи. Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения:$D = (-(a-4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a^2 + 10a - 12) = (a-4)^2 + 8a^2 - 40a + 48$$D = a^2 - 8a + 16 + 8a^2 - 40a + 48 = 9a^2 - 48a + 64$

Заметим, что выражение для дискриминанта является полным квадратом:$9a^2 - 48a + 64 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 8 + 8^2 = (3a-8)^2$.

Так как $D = (3a-8)^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни. Следовательно, первый случай невозможен.

Значит, исходное уравнение не будет иметь корней, если все корни квадратного уравнения относительно $t$ неположительны. Найдем эти корни $t_1$ и $t_2$:$t = \frac{(a-4) \pm \sqrt{(3a-8)^2}}{2} = \frac{(a-4) \pm (3a-8)}{2}$

$t_1 = \frac{a-4 + 3a-8}{2} = \frac{4a-12}{2} = 2a-6$

$t_2 = \frac{a-4 - (3a-8)}{2} = \frac{a-4 - 3a+8}{2} = \frac{-2a+4}{2} = 2-a$

Чтобы исходное уравнение не имело решений, оба корня $t_1$ и $t_2$ должны быть неположительными. Составим и решим систему неравенств:$\begin{cases} t_1 \le 0 \\ t_2 \le 0 \end{cases}$$\begin{cases} 2a-6 \le 0 \\ 2-a \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство:$2a \le 6$$a \le 3$

Решим второе неравенство:$2 \le a$$a \ge 2$

Пересечением решений этих двух неравенств является отрезок $2 \le a \le 3$. Таким образом, при $a \in [2, 3]$ уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $a \in [2, 3]$.