Страница 58 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = 7^{\cos x}$.

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 7^{\cos x}$, необходимо проанализировать ее структуру. Данная функция является сложной, состоящей из показательной функции $y = 7^t$ и тригонометрической функции $t = \cos x$, которая находится в показателе степени.

Первым шагом определим область значений показателя степени, то есть функции $t = \cos x$. Областью значений функции косинуса является отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ выполняется следующее двойное неравенство:
$-1 \le \cos x \le 1$.

Вторым шагом рассмотрим свойства показательной функции $y = 7^t$. Основание этой функции равно 7, что больше 1. Показательная функция с основанием, большим единицы, является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $t$ соответствует большее значение функции $y$, и наоборот, меньшему значению аргумента $t$ соответствует меньшее значение функции $y$.

Исходя из этого, наибольшее значение функции $y = 7^{\cos x}$ будет достигаться при наибольшем значении показателя $\cos x$, а наименьшее значение — при наименьшем значении показателя $\cos x$.

Наибольшее значение показателя $\cos x$ равно 1. Подставим это значение в функцию, чтобы найти ее наибольшее значение:
$y_{наиб} = 7^1 = 7$.

Наименьшее значение показателя $\cos x$ равно -1. Подставим это значение в функцию, чтобы найти ее наименьшее значение:
$y_{наим} = 7^{-1} = \frac{1}{7}$.

Таким образом, мы определили, что область значений функции $y = 7^{\cos x}$ — это отрезок $[\frac{1}{7}, 7]$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 7, а наименьшее значение функции равно $\frac{1}{7}$.

2. Решите уравнение:

1) $2^x + 2^{x-3} = 72;$

2) $9^x - 2 \cdot 3^x = 63.$

1) $2^x + 2^{x-3} = 72$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и преобразуем второе слагаемое:

$2^{x-3} = \frac{2^x}{2^3} = \frac{2^x}{8}$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$2^x + \frac{2^x}{8} = 72$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x \left(1 + \frac{1}{8}\right) = 72$

Упростим выражение в скобках:

$2^x \left(\frac{8}{8} + \frac{1}{8}\right) = 72$

$2^x \cdot \frac{9}{8} = 72$

Теперь выразим $2^x$:

$2^x = 72 \cdot \frac{8}{9}$

Разделив 72 на 9, получаем 8:

$2^x = 8 \cdot 8$

$2^x = 64$

Представим 64 как степень двойки: $64 = 2^6$.

$2^x = 2^6$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$x = 6$

Ответ: $x=6$

2) $9^x - 2 \cdot 3^x = 63$

Представим $9^x$ через основание 3. Так как $9 = 3^2$, то $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$.

Подставим это в исходное уравнение:

$(3^x)^2 - 2 \cdot 3^x = 63$

Это уравнение является квадратным относительно $3^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция $3^x$ всегда положительна, то должно выполняться условие $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 2t = 63$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 63 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:

Сумма корней: $t_1 + t_2 = 2$

Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = -63$

Подбором находим корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -7$.

Теперь вернемся к замене и учтем условие $t > 0$.

Корень $t_2 = -7$ не удовлетворяет условию $t > 0$, так как $3^x$ не может быть отрицательным числом. Следовательно, этот корень является посторонним.

Остается один корень: $t_1 = 9$.

Выполним обратную замену:

$3^x = 9$

Представим 9 как степень тройки: $9 = 3^2$.

$3^x = 3^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$x = 2$

Ответ: $x=2$

3. Решите уравнение:

1) $ (5^x + 4)^{x-3} = 0,2^x \cdot 25^x - 4; $

2) $ 2 \cdot 25^x - 5 \cdot 4^x = 3 \cdot 10^x; $

3) $ (\sqrt{3+2\sqrt{2}})^x + (\sqrt{3-2\sqrt{2}})^x = 6. $

1) Исходное уравнение $(5^x+4)^{x-3} = 0,2^x \cdot 25^{x-4}$, скорее всего, содержит опечатку, так как его решение в элементарных функциях затруднительно. Наиболее вероятной опечаткой является запись $5^x+4$ вместо $5^{x+4}$, так как это приводит к стандартному типу уравнений. Решим исправленный вариант уравнения: $5^{(x+4)(x-3)} = 0,2^x \cdot 25^{x-4}$.

Преобразуем правую часть уравнения. Заменим $0,2$ на $\frac{1}{5}$ (или $5^{-1}$), а $25$ на $5^2$:
$0,2^x \cdot 25^{x-4} = (5^{-1})^x \cdot (5^2)^{x-4} = 5^{-x} \cdot 5^{2(x-4)} = 5^{-x} \cdot 5^{2x-8} = 5^{-x+2x-8} = 5^{x-8}$.

Теперь уравнение имеет вид:
$5^{(x+4)(x-3)} = 5^{x-8}$.

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:
$(x+4)(x-3) = x-8$.

Раскроем скобки в левой части и упростим выражение:
$x^2 - 3x + 4x - 12 = x-8$
$x^2 + x - 12 = x - 8$
$x^2 + x - x - 12 + 8 = 0$
$x^2 - 4 = 0$.

Решая это простое квадратное уравнение, получаем:
$x^2 = 4$
$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

Ответ: $2; -2$.

2) $2 \cdot 25^x - 5 \cdot 4^x = 3 \cdot 10^x$.

Перепишем уравнение, представив основания степеней через простые множители 2 и 5:
$2 \cdot (5^2)^x - 5 \cdot (2^2)^x = 3 \cdot (2 \cdot 5)^x$
$2 \cdot 5^{2x} - 5 \cdot 2^{2x} = 3 \cdot 2^x \cdot 5^x$.

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить однородное показательное уравнение:
$2 \cdot 5^{2x} - 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 5 \cdot 2^{2x} = 0$.

Разделим обе части уравнения на $2^{2x}$ (это выражение никогда не равно нулю):
$2 \cdot \frac{5^{2x}}{2^{2x}} - 3 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{2^{2x}} - 5 \cdot \frac{2^{2x}}{2^{2x}} = 0$
$2 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2x} - 3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x - 5 = 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{5}{2}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - 3t - 5 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Корни для $t$:
$t_1 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
$t_2 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t>0$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной с $t = \frac{5}{2}$:
$\left(\frac{5}{2}\right)^x = \frac{5}{2}$.

Отсюда следует, что $x=1$.

Ответ: $1$.

3) $(\sqrt{3+2\sqrt{2}})^x + (\sqrt{3-2\sqrt{2}})^x = 6$.

Упростим подкоренные выражения, используя формулу полного квадрата $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
$3+2\sqrt{2} = 2 + 1 + 2\sqrt{2}\cdot1 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 + 2\sqrt{2}\cdot1 = (\sqrt{2}+1)^2$.
$3-2\sqrt{2} = 2 + 1 - 2\sqrt{2}\cdot1 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 - 2\sqrt{2}\cdot1 = (\sqrt{2}-1)^2$.

Тогда:
$\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}+1)^2} = \sqrt{2}+1$
$\sqrt{3-2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^2} = \sqrt{2}-1$ (так как $\sqrt{2} > 1$).

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:
$(\sqrt{2}+1)^x + (\sqrt{2}-1)^x = 6$.

Заметим, что основания степеней $(\sqrt{2}+1)$ и $(\sqrt{2}-1)$ являются взаимно обратными числами, так как их произведение равно $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2-1=1$.
Следовательно, $\sqrt{2}-1 = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\sqrt{2}+1)^x$. Тогда $(\sqrt{2}-1)^x = \left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right)^x = \frac{1}{t}$. Условие на замену: $t>0$.
Уравнение принимает вид: $t + \frac{1}{t} = 6$.

Умножим обе части на $t$ (где $t \neq 0$):
$t^2 + 1 = 6t$
$t^2 - 6t + 1 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$.
Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$.
Корни $t = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.
Оба корня, $t_1 = 3+2\sqrt{2}$ и $t_2 = 3-2\sqrt{2}$, положительны.

Возвращаемся к замене и находим $x$ для каждого корня $t$.
1) $(\sqrt{2}+1)^x = 3+2\sqrt{2}$. Так как $3+2\sqrt{2} = (\sqrt{2}+1)^2$, то $(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^2$, откуда $x=2$.
2) $(\sqrt{2}+1)^x = 3-2\sqrt{2}$. Так как $3-2\sqrt{2} = (\sqrt{2}-1)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right)^2 = (\sqrt{2}+1)^{-2}$, то $(\sqrt{2}+1)^x = (\sqrt{2}+1)^{-2}$, откуда $x=-2$.

Ответ: $2; -2$.

4. Решите неравенство:

1) $0,3^{\frac{x^2 - 3x - 24}{x}} \le 0,09$;

2) $2^{2x+1} + 8 \cdot 3^x - 3 \ge 0$.

Исходное неравенство: $0.3^{\frac{x^2 - 3x - 24}{x}} \le 0.09$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 0,3: $0.09 = (0.3)^2$.

Неравенство принимает вид: $0.3^{\frac{x^2 - 3x - 24}{x}} \le 0.3^2$.

Так как основание степени $0.3$ меньше 1 (а именно, $0 < 0.3 < 1$), показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x^2 - 3x - 24}{x} \ge 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 - 3x - 24}{x} - 2 \ge 0$

$\frac{x^2 - 3x - 24 - 2x}{x} \ge 0$

$\frac{x^2 - 5x - 24}{x} \ge 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя находятся из уравнения $x^2 - 5x - 24 = 0$.

Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 8$.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Отметим точки -3, 0 и 8 на числовой оси. Точки -3 и 8 будут "закрашенными" (так как неравенство нестрогое), а точка 0 — "выколотой" (так как она обращает знаменатель в ноль).

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала. Определим знак выражения $\frac{(x+3)(x-8)}{x}$ на каждом из них:

• Интервал $(8; +\infty)$: возьмем $x=9$, $\frac{(9+3)(9-8)}{9} = \frac{12 \cdot 1}{9} > 0$. Знак "+".

• Интервал $(0; 8)$: возьмем $x=1$, $\frac{(1+3)(1-8)}{1} = \frac{4 \cdot (-7)}{1} < 0$. Знак "-".

• Интервал $(-3; 0)$: возьмем $x=-1$, $\frac{(-1+3)(-1-8)}{-1} = \frac{2 \cdot (-9)}{-1} > 0$. Знак "+".

• Интервал $(-\infty; -3)$: возьмем $x=-4$, $\frac{(-4+3)(-4-8)}{-4} = \frac{(-1) \cdot (-12)}{-4} < 0$. Знак "-".

Поскольку мы решаем неравенство $\ge 0$, нас интересуют интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы со знаком "+", включая концы, не обращающие знаменатель в ноль.

Таким образом, решением является объединение интервалов $[-3; 0)$ и $[8; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-3; 0) \cup [8; +\infty)$.

Исходное неравенство: $2^{2x+1} + 8 \cdot 3^x - 3 \ge 0$.

В данном виде неравенство содержит показательные функции с разными основаниями (2 и 3), что не позволяет решить его стандартными школьными методами (например, заменой переменной). Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятный исправленный вариант, который приводит к стандартному решению, это замена основания 2 на 3 в первом слагаемом.

Решим исправленное неравенство: $3^{2x+1} + 8 \cdot 3^x - 3 \ge 0$.

Преобразуем первое слагаемое, используя свойства степеней: $3^{2x+1} = 3^{2x} \cdot 3^1 = 3 \cdot (3^x)^2$.

Неравенство примет вид:

$3 \cdot (3^x)^2 + 8 \cdot 3^x - 3 \ge 0$.

Это неравенство является квадратным относительно $3^x$. Введем замену переменной: пусть $t = 3^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.

Получим квадратное неравенство относительно $t$:

$3t^2 + 8t - 3 \ge 0$.

Для решения найдем корни соответствующего уравнения $3t^2 + 8t - 3 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Графиком функции $y = 3t^2 + 8t - 3$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $3t^2 + 8t - 3 \ge 0$ выполняется при $t \le -3$ или $t \ge \frac{1}{3}$.

Возвращаемся к замене. С учетом условия $t > 0$, нам подходит только решение $t \ge \frac{1}{3}$.

Подставим обратно $3^x$ вместо $t$:

$3^x \ge \frac{1}{3}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$3^x \ge 3^{-1}$.

Так как основание степени $3$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Значит, при сравнении показателей знак неравенства сохраняется:

$x \ge -1$.

Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

5. При каких значениях параметра $a$ уравнение $36^x - (a-1) \cdot 6^x - 2a^2 + a = 0$ не имеет действительных корней?

Данное уравнение $36^x - (a-1) \cdot 6^x - 2a^2 + a = 0$ является показательным. Заметим, что $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2$. Это позволяет свести уравнение к квадратному с помощью замены переменной.

Пусть $t = 6^x$. Так как показательная функция $y=6^x$ принимает только строго положительные значения для любого действительного $x$, на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $t > 0$.

После замены уравнение принимает вид:

$t^2 - (a-1)t - (2a^2 - a) = 0$

Исходное уравнение не имеет действительных корней $x$ в том и только в том случае, если это квадратное уравнение относительно $t$ не имеет положительных корней ($t > 0$). Это возможно в двух случаях:

1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней.
2. Квадратное уравнение имеет действительные корни, но все они неположительны (т.е. $t \le 0$).

Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения:

$D = (-(a-1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2a^2 - a)) = (a-1)^2 + 4(2a^2 - a) = a^2 - 2a + 1 + 8a^2 - 4a = 9a^2 - 6a + 1$.

Полученное выражение для дискриминанта является полным квадратом:

$D = (3a-1)^2$

Поскольку $D = (3a-1)^2 \ge 0$ при любых действительных значениях параметра $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни. Следовательно, первый случай (отсутствие действительных корней) невозможен.

Рассмотрим второй случай: все корни $t$ неположительны. Это означает, что $t_1 \le 0$ и $t_2 \le 0$.

Найдем корни уравнения для $t$, используя формулу корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-(-(a-1)) \pm \sqrt{(3a-1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{a-1 \pm |3a-1|}{2}$

Поскольку $\sqrt{k^2} = |k|$, мы можем записать $t = \frac{a-1 \pm (3a-1)}{2}$.

Вычислим оба корня:

$t_1 = \frac{a-1 + (3a-1)}{2} = \frac{4a-2}{2} = 2a-1$

$t_2 = \frac{a-1 - (3a-1)}{2} = \frac{a-1-3a+1}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$

Чтобы исходное уравнение не имело решений, оба этих корня должны быть неположительными. Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} t_1 \le 0 \\ t_2 \le 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2a - 1 \le 0 \\ -a \le 0 \end{cases}$

Решая первое неравенство, получаем:

$2a \le 1 \Rightarrow a \le \frac{1}{2}$

Решая второе неравенство, получаем:

$-a \le 0 \Rightarrow a \ge 0$

Пересечение решений этих двух неравенств дает итоговый интервал для параметра $a$:

$0 \le a \le \frac{1}{2}$

Таким образом, при $a \in [0; 0.5]$ квадратное уравнение для $t$ имеет только неположительные корни, а значит, исходное показательное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $a \in [0; 0.5]$.