Номер 4, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

4. Решите неравенство:

1) $0,3^{\frac{x^2 - 3x - 24}{x}} \le 0,09$;

2) $2^{2x+1} + 8 \cdot 3^x - 3 \ge 0$.

Исходное неравенство: $0.3^{\frac{x^2 - 3x - 24}{x}} \le 0.09$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 0,3: $0.09 = (0.3)^2$.

Неравенство принимает вид: $0.3^{\frac{x^2 - 3x - 24}{x}} \le 0.3^2$.

Так как основание степени $0.3$ меньше 1 (а именно, $0 < 0.3 < 1$), показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x^2 - 3x - 24}{x} \ge 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 - 3x - 24}{x} - 2 \ge 0$

$\frac{x^2 - 3x - 24 - 2x}{x} \ge 0$

$\frac{x^2 - 5x - 24}{x} \ge 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя находятся из уравнения $x^2 - 5x - 24 = 0$.

Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 8$.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Отметим точки -3, 0 и 8 на числовой оси. Точки -3 и 8 будут "закрашенными" (так как неравенство нестрогое), а точка 0 — "выколотой" (так как она обращает знаменатель в ноль).

Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала. Определим знак выражения $\frac{(x+3)(x-8)}{x}$ на каждом из них:

• Интервал $(8; +\infty)$: возьмем $x=9$, $\frac{(9+3)(9-8)}{9} = \frac{12 \cdot 1}{9} > 0$. Знак "+".

• Интервал $(0; 8)$: возьмем $x=1$, $\frac{(1+3)(1-8)}{1} = \frac{4 \cdot (-7)}{1} < 0$. Знак "-".

• Интервал $(-3; 0)$: возьмем $x=-1$, $\frac{(-1+3)(-1-8)}{-1} = \frac{2 \cdot (-9)}{-1} > 0$. Знак "+".

• Интервал $(-\infty; -3)$: возьмем $x=-4$, $\frac{(-4+3)(-4-8)}{-4} = \frac{(-1) \cdot (-12)}{-4} < 0$. Знак "-".

Поскольку мы решаем неравенство $\ge 0$, нас интересуют интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Это интервалы со знаком "+", включая концы, не обращающие знаменатель в ноль.

Таким образом, решением является объединение интервалов $[-3; 0)$ и $[8; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-3; 0) \cup [8; +\infty)$.

Исходное неравенство: $2^{2x+1} + 8 \cdot 3^x - 3 \ge 0$.

В данном виде неравенство содержит показательные функции с разными основаниями (2 и 3), что не позволяет решить его стандартными школьными методами (например, заменой переменной). Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Наиболее вероятный исправленный вариант, который приводит к стандартному решению, это замена основания 2 на 3 в первом слагаемом.

Решим исправленное неравенство: $3^{2x+1} + 8 \cdot 3^x - 3 \ge 0$.

Преобразуем первое слагаемое, используя свойства степеней: $3^{2x+1} = 3^{2x} \cdot 3^1 = 3 \cdot (3^x)^2$.

Неравенство примет вид:

$3 \cdot (3^x)^2 + 8 \cdot 3^x - 3 \ge 0$.

Это неравенство является квадратным относительно $3^x$. Введем замену переменной: пусть $t = 3^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.

Получим квадратное неравенство относительно $t$:

$3t^2 + 8t - 3 \ge 0$.

Для решения найдем корни соответствующего уравнения $3t^2 + 8t - 3 = 0$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$.

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Графиком функции $y = 3t^2 + 8t - 3$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство $3t^2 + 8t - 3 \ge 0$ выполняется при $t \le -3$ или $t \ge \frac{1}{3}$.

Возвращаемся к замене. С учетом условия $t > 0$, нам подходит только решение $t \ge \frac{1}{3}$.

Подставим обратно $3^x$ вместо $t$:

$3^x \ge \frac{1}{3}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

$3^x \ge 3^{-1}$.

Так как основание степени $3$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Значит, при сравнении показателей знак неравенства сохраняется:

$x \ge -1$.

Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.